Considérons une de cercle

Cette proposition est évidente pour tout arc de cercle passant par le point m et n’ayant pas son centre sur la normale mo. 11 suffit donc de l’établir, en considérant exclusivement les arcs de cercle qui touchent en m l’arc amb.

Soit p' le rayon de l’un de ces arcs, supposé distinct, mais d’ailleurs aussi rapproché qu’on veut de l’arc rms.

Si, à partir du point m, la directrice tournait avec une vitesse constante, et que cette vitesse fût égale à

la ligne décrite serait précisément l’arc circulaire au rayon p'. (Voir n° 22.)

Cela posé, soit, en premier lieu ,

11 est d’abord évident qu’au-dessous du point m, l’arc au rayon p' s’écarte de la tangente mp plus que l’arc mr. Il est donc séparé de l’arc ma par l’arc mr et, par conséquent, plus éloigné de l’arc ma que l’arc mr.

Voyons ensuite ce qui se passe au-dessus du point m.

Si faible que soit la différence u' — u, il y a toujours, à partir du point m, une portion de l’arc mb pour laquelle la vitesse angulaire de la directrice reste inférieure à u' et qui, par conséquent, s’écarte moins de l’arc ms que la partie correspondante de l’arc au rayon p'.

Soit, en second lieu ,

Il est d’abord évident qu’au-dessus du point m, l’arc au rayon p' s’écarte moins de la tangente ml que l’arc ms. Il est donc séparé de l’arc mb par l’arc ms, et, par conséquent, plus éloigné de l’arc mb que l’arc ms.

Voyons ensuite ce qui se passe au-dessous du point m.

Si faible que soit la différence u — u', il y a toujours, à partir du point

SUR PLUSIEURS POINTS DE GEOMETRIE, etc.

m, une portion de l’arc ma pour laquelle la vitesse angulaire de la directrice reste supérieure à u' et qui , par conséquent, s’écarte moins de l'arc mr que la portion correspondante de l’arc au rayon p'.

On voit aiusi que, dans tous les cas, il n’est aucun arc de cercle qui puisse, à partir du point m, rester compris entre les arcs amb, rm$. De là résultent les conséquences suivantes :

1° L’arc de cercle rnis esl, parmi tous les arcs de cercle jmscmt par le point m, celui qtii se rapproche le plus de l'arc amb, dans le voisinage du point m;

2° L’arc rms est ta limite sé/mrative des arcs de cercle qui louchent en ni la courbe amb , les uns intérieurement, les autres extérieurement.

Les rapports que nous venons de signaler entre les arcs rms, amb constituent ce qu’on appelle le contact du second ordre, ou l’osculation. Le cercle auquel appartient l’arc rms est dit cercle osculalcur.

27. Nous avons vu que le cercle osculalcur coupait en m l’arc amb. C’est ce qui arrive, en général. Toutefois , le point m pourrait être tel , qu’à partir de ce point, la vitesse angulaire de la directrice fut croissante en deçà comme au delà, ou, qu’au contraire, elle fut décroissante. Il est visible qu’alors , et pour ce point , le cercle osculateur cesserait de couper la courbe.

La courbure en un point d’une courbe dépend exclusivement du rapport qui s’établit pour ce point entre la vitesse angulaire de la directrice et la vitesse du point générateur. Lorsque ce rapport demeure invariable, l’uniformité de la cause se transporte dans l’effet, et la ligne décrite est une circonférence de cercle. Le cercle devient ainsi le type sensible de la courbure, comme la droite l’est de la direction.

Lorsque la courbure change incessamment, et c’est le cas général pour tout arc plan non circulaire, il n’en est pas moins vrai qu’elle affecte en chaque point une détermination complète ; cette détermination ne peut se manifester dans la ligne décrite, vu quelle n’est persistante sur aucune étendue. Veut-on toutefois la rendre sensible? Rien de plus simple. Il suffit de la supposer permanente, à partir du point que l’on considère. Dès lors,

un arc de cercle se substitue à l’arc non circulaire, et la courbure se révèle par la description du cercle osculateur.

28. Soit <o l’angle que la tangente au point m fait avec l’axe des abscisses. Nous avons établi qu’en désignant par p le rayon du cercle osculateur, on avait pour ce point (n° 22 tu )

/ — Lira

AU

L’équation de la courbe étant d’ailleurs nous avons trouvé (n° 24)

tang » = /” (*).

Soit m' l’extrémité de l’arc As, (x 1 , y') les coordonnées de ce point, u' l’angle que la tangente en m' fait avec l’axe des x. Nous aurons de même

et, par conséquent,

lang (u' — «) =

«angu =y'(*'),

Soit encore X la corde de l’arc As , on a évidemment

>. = l/aï’ + sÿ* = w y/ t ^ .

Cela posé , et eu égard aux relations

Au = O U, &X = X — X.

l’on peut écrire, par voie d’identité,

Ung . (a ' - — ) - ■ n - n*'i n*n

AU X K U fi*) M*) * \ùXi

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc.

Or, si l’on passe à la limite et que l’on désigne par f" (x) la dérivée de la fonction f(x) on a évidemment

Lim — — 1 A

Li» ta ”6

vf — U

un /w-rw

Liœ[t -4-

-i + in*))*

«■vmst

Il vient donc, par voie de simple substitution,

Lim

Al [I +/•(«)»] 8 Au f"(x )

Et le problème que nous nous étions proposé (n M 22 et 22 1 ") se trouve ainsi complètement résolu.

Fl» DE LA PREMIÈRE PARTIE.

»l I Lt OTB CA