OA = OM = OA

De là résulte, comme conséquence immédiate, le théorème suivant :

Les perpendiculaires, élevées sur ta directrice aux deux extrémités d'un arc quelconque et en son milieu , concourent en un même point , équidistant du milieu et des extrémités.

En vertu de ce théorème, ce ne sont pas seulement les trois points A, M, A' qui se trouvent sur la circonférence décrite du point O comme centre avec le rayon OA, mais aussi les points P et Q , milieux des arcs AM, MA', puis les milieux des arcs AP, PM, MQ, QA\ cl ainsi de suite à l’infini. L’arc AA' se confond donc tout entier avec Tare de cercle ayant son centre en O, et OA pour rayon.

Il est ainsi démontré que la trace d’un point qui se meut uniformé-

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc.

ment sur une droite, tandis que la droite tourne uniformément autour de ce point, est une circonférence de cercle.

Désignons par As la quantité dont le point générateur avance sur la droite directrice, tandis que celte droite tourne autour de ce point de l’angle Au. Par hypothèse, le rapport est constant : on a donc

arc AMA'

— ■= »= ronst.

a» angl BI.V

Mais, d’un autre côté, si l’on désigne par R le rayon de l’arc de cercle AMA', il vient

arc AMA' angl BI.V

On a donc aussi

On voit par là que le rayon de la circonférence décrite a pour valeur la raison de proportionnalité existant entre les grandeurs correspondantes As et Au. Il n’importe en rien que la génération simultanéo de ces deux grandeurs soit plus ou moins rapide; tant que le rapport-^ demeure constant, la circonférence décrite reste la même.

Génération de toute courbe plane.

22. Soit une courbe quelconque plane. Supposons qu’un point mobile se meuve uniformément le long de. cette courbe. C’est là une hypothèse qui, en général, nous est évidemment permise. Qu’exprime-t-elle, d’ailleurs? Elle exprime simplement qu’il y a uniformité dans le mouvement du point générateur sur la droite directrice. Cela posé, deux cas seulement sont possibles, suivant que la rotation de la directrice autour du point générateur est ou n’est pas uniforme.

Dans le premier cas, l’angle décrit par la directrice d’un point à un

autre est constamment proportionnel à l’arc intercepté, et, comme nous l’avons vu tout à l’heure, cet arc est circulaire.

Dans le second cas, la directrice tourne avec une vitesse incessamment variable. Les angles qu’elle décrit ne sont pas proportionnels aux arcs interceptés, et ces arcs ne sont plus circulaires.

Soit m un point quelconque de la ligne décrite et u f) la vitesse affectée par la directrice dans sa rotation autour de ce point. Par cela seul qu’elle varie sans cesse, la vitesse u semble échapper à toute mesure. Cependant rien n’empêche qu’on se la représente telle qu’elle est en m, indépendamment des changements qu’elle subit au delà. Rien n’empêche qu’on lui conserve, par la pensée, cette seule et même détermination supposée permanente. Qu’arrive-t-il, dans celte hypothèse, où la rotation de la directrice devient uniforme à partir du point m? Nous le savons déjà : une circonférence de cercle se substitue à la courbe réellement décrite.

Considérons d’abord cette circonférence dont nous désignerons par p le rayon et par ds un arc quelconque ayant son origine en m ; du étant l’angle décrit par la directrice d’une extrémité à l’autre de l’arc ds, on a, conformément à ce qui précède,

1 du p d»

et l’on peut prendre ce rapport pour mesure de la vitesse u.

En exprimant la vitesse u par la formule

i du p ds

on offre à l’esprit une image sensible qui le satisfait et le repose. Toutefois , le rapport des grandeurs du,ds, demeure inconnu , et c’est à la courbe réellement décrite qu’il faut recourir pour résoudre complètement la question proposée.

22“'. Soit As un arc mesuré à partir du point m, sur la courbe effec-

{*) On entend par vitesse le degré de rapidité avec lequel la rotation commence à partir du point m.

Sl!R PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc.

tive; soit Ao> l’angle décrit par la directrice d’une extrémité à l’autre de l’arc As. A partir du point tn la directrice tourne avec une vitesse incessamment variable, c’est-à-dire avec une vitesse qui commence par croître ou par décroître, et qui reste toujours croissante ou toujours décroissante pendant un certain intervalle. Supposons l’arc As égal à cet intervalle ou plus petit. Soit d’ailleurs Au le changement subi par la vitesse u, d’une extrémité à l’autre de l’arc As.

Cela posé, la vitesse u doit être considérée comme toujours croissante ou comme toujours décroissante pendant la description de l’arc As, c’està-dire à partir de la valeur u jusqu’à la valeur u -j~ Au.

Dans le premier cas, Au est positif, et l’on a évidemment :

I* su > Uii»;

2° 4» < (u ■+■ su) SI.

Dans le second cas, Au est négatif, et l’on a de même :

i* Su < has;

2* SU > (U -4- 4tt) 4».

De là résulte dans les deux cas, c'est-à-dire en général,

su =« ( u -f* usu) si;

/i étant une quantité comprise entre zéro et l’unité.

La valeur déduite pour u de l’équation précédente est

âCJ

14 = — MAW.

Cette valeur suppose uniquement que l’arc As ne dépasse pas un certain degré de grandeur. Elle subsiste donc nécessairement lorsque, après avoir pris l’arc As suffisamment petit, on l’assujettit à décroître et à converger vers zéro; mais alors la quantité Au converge elle-même vers zéro. On voit donc clairement que la vitesse u a pour mesure la limite vers

laquelle le rapport — converge, lorsque chacune des grandeurs Au, A s. décroît indéfiniment. C’est ce qu’on exprime en écrivant

u = lira —

La solution cherchée se trouve d’ailleurs tout entière dans la formule générale

I du au

C lis AS

Nous montrerons plus loin comment, en chaque point d’une courbe plane, l’expression

Lim —

se trouve entièrement déterminée par l’équation de cette courbe.

Tangentes aux courbes planes.

25. Soit m l’origine d'un arc mn pris, comme on voudra, sur une courbe plane, et»nt la position que la directrice affecte à cette origine.

Soit ms une droite partant de m et située, par rapport à ml, du même côté que l’arc mn, dans le voisinage du point m.

Soit, enfin, As la portion d’arc décrite, à partir du point m, pendant le temps nécessaire à la directrice pour tourner d’un angle égal à ims.

L'angle tins étant, par hypothèse, suffisamment petit, il est visible que l’arc As est une partie de l’arc mn nécessairement comprise entre les droites tnt, ms.

Imaginons que la droite ms tourne autour du point m de manière à se rapprocher indéfiniment de la droite mt ; tant que la droite ms ne se confond point encore avec la droite ml, l’angle tms n’est point nul, et il y a toujours une portion As de l’arc mn comprise, à partir du point m, entre

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 37

les deux droites mt, ms. De là résultent évidemment les conséquences suivantes :

1° Aucune droite, aucune portion de droite, ne peut, à partir du point m, rester comprise entre la directrice et la courbe;

2° Dans le voisinage du point m, la directrice est plus rapprochée de l’arc mn que toute autre droite parlant de ce même point;

3” La directrice est la limite des sécantes menées par le point m {*).

Les rapports que nous venons de signaler entre la directrice mt et l’arc mn constituent ce qu’on appelle le contact du premier ordre entre une droite et une courbe. On exprime ce rapport d’une façon brève et simple, en disant de la directrice mt qu’elle est tangente en m à l’arc mn.

2i. S’agit-il maintenant de déterminer pour un point quelconque d’une courbe la position correspondante de la directrice, c’est-à-dire la tangente en ce point. Rien n’est plus simple.

Soit m le point choisi sur la courbe pour y mener une tangente et (x, y ) les coordonnées de ce point. Soit t un second point pris sur la courbe dans le voisinage du point m, et ayant pour coordonnées

(y -t- mj, x sx).

L'angle que la sécante nu fait avec l’axe des x étant désigné par «, l’on a généralement

tang x — — .

Cela posé, concevons que le point « se rapproche indéfiniment du point m. La sécante mi se rapprochera indéfiniment d’une certaine position qui n’est autre que celle de la tangente cherchée. Si donc on désigne par u l’angle de celle tangente avec l’axe des x, on a nécessairement

tang a = lini

(*{ Désignons par t le poiut où une sécante partant de ni rient couper l'arc mn , et supposons que le point t se rapproche indéfiniment du point m. La sécante mi tournera autour du point m . et convergera ainsi vers une certaine position déterminée. La droite, qui fixe cette position, est désignée , en général , sous le nom de limite des sécantes.

L'équation de la courbe étant, par hypothèse,

On sait que la limite du rapport

jiy f(x Ar) —f(x )

SX AX

est la dérivée (x). On a donc

et, par conséquent,

lang u = f (*),

u = arc tang f'(x).

25. Soit dx un accroissement quelconque de l’abscisse x, égal ou non à Ax.

Soit dy l’accroissement de l’ordonnée y, correspondant, pour la tangente, à l’accroissement dx, on a évidemment

tang a

Ïï.

Il vient donc aussi

ày dy

tang u = lim * — = — *= f (x).

ax dx

Celte dernière équation peut être considérée comme résumant l’ensemble des rapports rationnels existant entre les courbes planes et leurs tangentes.

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc

Courbure des courbes planes. — Cercle osculateur.

courbe quelconque, autre qu’une circonférence

Soit amb un arc pris, comme on voudra, sur cette courbe, et assez petit pour satisfaire aux conditions exprimées n° 22 6 ".

Soit m un point de l’arc amb et pmt la tangente en ce point.

La vitesse angulaire de la directrice est, par hypothèse, toujours croissante ou toujours décroissante pendant la description de l’arc amb. Si donc elle est croissante de m en b, elle est décroissante de m en a, et réciproquement. Pour fixer les idées, nous supposerons quelle croît de m en bel que, par conséquent, elle décroît de m en a.

Considérons séparément les arcs mb, ma, et désignons par u la vitesse affectée parla directrice dans sa rotation autour du point m. (Voir n“22.)

Soit rms l’arc de cercle qui se substituerait à l’arc amb, si, à partir du point m, en deçà comme au delà, la vitesse angulaire de la directrice demeurait constante et égale à u.

Puisque la vitesse w croît de m en b, il est visible que l’arc mb doit s’écarter plus que l’arc ms de la tangente mt.

De même aussi la vitesse u décroissant de m en a, l’arc ma doit s’écarter moins que l'arc mr de la tangente mt.

Il suit de là que l’arc rms coupe en m l’arc amb.

Celte circonstance est très-digne de remarque, vu que les arcs rms. amb, ont en m une tangente commune pmt.

Une autre circonstance non moins remarquable consiste en ce qu’aucun arc de cercle ne peut, à partir du point m, rester compris entre les arcs amb, rms.