CHAPITRE VI LA RÉSONANCE

Il est nécessaire, pour comprendre les actions qu'exercent entre eux plusieurs circuits oscillants, d'étudier une catégorie de phénomènes généraux, nommés phénomènes de résonance par analogie avec certains phénomènes de l’acoustique. Ces phénomènes de résonance se rencontrent dans toutes les applications de la Physique où il s’agit de mouvements vibratoires, et 1ls jouent toujours un rôle important. Nous commencerons par l'étude de quelques cas relatifs à la mécanique, et nous étendrons ensuite la notion de résonance aux circuits oscillants électriques.

Résonance mécanique.

Considérons un pendule composé d'une petite sphère très pesante fixée à une tige qui peut osciller autour d’un point de suspension. Écartons le pendule de la position verticale et abandonnons-le à lui-même. Il effectue un certain nombre d'oscillations, la sphère dépassant sa position d'équilibre, remontant au delà, s'arrêtant, redescendant pour dépasser à nouveau sa position d'équilibre, etc. Ces oscillations sont amortes, chacune d'elles étant plus petite que la précédente à cause du frottement de l'air sur le pendule et du frottementdu point de suspension autour de son axe. Le mouvement du pendule oscillant en liberté présente une certaine fréquence naturelle ou fréquence propre d’oscillation f, égale à l'inverse de la période p, ou durée d’une oscillation complète.

Faisons agir maintenant, sur ce pendule qui oscille hbrement, une force périodique de fréquence f”. Gette force périodique peut être obtenue par l’action intermittente d’un électroaimant; supposons, pour simplifier, qu'elle consiste en chocs réguliers ou impulsions que l’on imprime avec la main au te à des intervalles de temps égaux ; la fréquence f d’une telle force périodique est égale au nombre d’impulsions par seconde. Deux cas peuvent se produire ; ou bien la fréquence f” de la force périodique agissante est différente de la fréquence f des oscillations propres du pendule ; ou bien elle lui est égale. Si elle est différente, on se rend compte assez facilement que, après une période transitoire, où la fréquence du mouvement a une valeur mal déterminée, le pendule se met à osciller avec la fréquence de la force périodique qui agit sur lui : on dit qu'ileffectue des oscillations forcées. Les oscillations forcées sont d’aulant plus petites que la fréquence de la force agissante diffère plus de la fréquence propre d'oscillalion du pendule ; elles sont d'autant plus grandes que la fréquence de la forceagissantese rapproche plus de la fréquence propre d’oscillation du pendule. St la fréquence de la force périodique agissante est égale à la fréquence propre d’oscillation, chacune des impulsions agit pour augmenter l'effet de la précédente, et les oscillations du pendule deviennent exlrémement grandes, même pour une valeur très faible de la force périodique agissante. On dit qu'il y a résonance entre les oscillations naturelles du pendule libre et la force périodique agissante.

À cet exemple mécanique correspond à à peu près celui de la balançoire sur laquelle on fait agir une impulsion périodique provenant du mouvement des jarrets : le système comprenant la balançoire et l'opérateur possèdeune fréquence propre d’osaillation, et l'on sait fort bien que, pour atteindre une grande hauteur, 1l faut faire concorder la fréquence des impulsions périodiques avec la fréquence propre d’oscillation.

Un autre exemple est celui d’une troupe d'infanterie traversant au pas cadencé un pont métallique qui possède une certaine élasticité. Si la fréquence de la force périodique agissante (101 la cadence du pas) est différente de la fréquence propre d’oscilla-

üon du pont. ce dernier effectue des oscillations forcées qui sont d'autant plus petites que les fréquences sont plus différentes. Si, par hasard, la fréquence de la force périodique agissante est égale à la fréquence propre du pont, ou en est très voisine, il y a résonance, etles oscillations deviennent tellement grandes que le pont peut se rompre. Dans ce dernier cas, un Bpni établi,

par exemple, pour résister à une charge normale de 5tonnes peut être rompu pàr l'action périodique d'une charge de 1 tonne dont la fréquence concorde. avec la Réquente propre d'oscillation.

An: dernier exemple de résonance mécanique, qui illustre bien ce phénomène, est le suivant : Dans des essais relativement récents, une compagnie de chemins de fer constata que certains wagons, dont la suspension était excellente aux vilesses dre à 85 kilomètres à l'heure et supérieures à 95 kilomètres à l’ heure, présentaient des oscillations intolérables pour les vitesses voisines de 90 kilomètres à l’ heure, Cela provénait d’un phénomène de résonance, la fréquence des chocs des roues sur les joints dé rails étant égale, pour ces vitesses, Ava fréquence propre d’ oscillation dés wagons.

Le application très intéressante du domons de résonance a été réalisée dans certains appareils servant à mesurer la fréquence des courants alternatifs (fréquencemètres Hartmann-Kempf). Si l’on fait agir sur une lame élastique en acier le champ magnétique d’un électro-aimant dont la bôbine est parcourue par un courant alternatif, cette lame effectue des vibrations dont l'amplitude est d'autant plus grande que la fréquence du courant agissant se rapproche plus dé la fréquence propre d’oscillation de la lame. Quand les deux fréquences sont égales, c’est-à-dire quand il y a ‘résonance, l'amplitude des vibrations atteint un maximum très nettement accentué. | 3 ii

Par exemple, en faisant agir sur une lame vibrante, dont la fréquence propre d’oscillation était de 90 périodes par seconde, un électro-aimant dont la bobine était parcourue par un courant alternatif de fréquence variable, on a obtenu photogra-

phiquement la courbe de la figure 26, dans laquelle les longueurs horizontales sont proportionnelles aux valeurs de la fréquence

Fic. 26,

du courant alternaüf, et les longueurs verticales aux valeurs de l'amplitude des oscillations correspondantes.

Pour réaliser un fréquencemètre basé sur les phénomènes de résonance, on dispose, en face de l’un des pôles d’un électroaimant (fig. 27) un certain nombre de lames vibrantes présentant des fréquences propres d’oscillation graduellement différentes. Lorsqu un courant alternatif parcourt la bobine de l'électro-aimant, la lame dont la fréquence propre d'oscillation correspond à la fréquence du courant alternatif, ou les deux lames qui possèdent les fréquences propres les plus voisines de la fréquence du courant alternatif, effectuent des vibrations dont l'amplitude est maxima. Par exemple, on voit sur la

figure 27, d’après les amplitudes de vibration des lames, que la bobine de l’électro-aimant est parcourue par un courant alter-

Fic. 27.

nalf dont la fréquence est comprise entre 100 et 101 périodes par seconde et se rapproche plus de rot que de 100.

Les différents exemples qui précèdent montrent nettement les phénomènes de résonance mécanique qui peuvent se produire. D'une façon générale, on peut dire que tout système susceptible d’osciller peut être amené à présenter de très grandes oscillations sous l'effet de très petites forces périodiques, aglssant avec une fréquence égale à la fréquence propre d’oscillation du système.

Résonance électrique.

Dans le domaine des oscillations électriques, les phénomènes de résonance jouent un rôle très important et conduisent à des amplifications considérables des oscillations.

Considérons deux circuits oscillants 1 et 2 (fig. 28) contenant chacun un condensateur GC, ou CG, et une bobine de self-inducüon L, ou L,. Ces deux circuits peuvent être accouplés inductivement ensemble, la bobine L, étant placée à proximité de la bobine L, de façon à embrasser une plus ou moins grande partie des lignes de force émanant de celle-ci. Le circuit 1 (primaire) contient un éclateur E relié au secondaire d’une bobine de Ruhmkorff ; le circuit 2 (secondaire) contient un appareil de mesure G servant à déterminer l'intensité du courant oscillant qui passe dans le cireuit (") ; le condensateur te est réglable, c'est-à-dire qu'on peut modifier à volonté la ue de sa capacité. Nous supposons que l'amortissement est très faible dans chacun des circuits oscillants, c’est-à- -dire que la résistance électrique de ceux-ci est très minime. Les oscillations électriques qui prennent naissance dans le cireuit primaire sont alors des oscillations persistantes.

Les circuits 1 et 2 possèdent chacun une fréquence propre d'oscillation : c’est la fréquence des oscillations qui prennent naissance lorsque l’un ou l’autre des circuits, n'étant pas accouplé avec le second, est mis en vibration au moyen d'un éclateur alimenté par une bobine de Ruhmkorff. Nous appellerons Ji la fréquence propre du circuit primaire et f; la fréquence propre du cireuit secondaire : cette dernière peut être modifiée à volonté par variation de la capacité du condensateur réglable, puisque la fréquence propre d’oscillation d'un circuit dépend de sa capacité et de sa self-induction. Nous supposerons d’abord que la fréquence /, est plus grande que la fréquence /..

Accouplonsinductivement ensemble les deux circuits, comme

(1) Cet appareil est, par exemple, un ampèremètre thermique, dans lequel le passage du courant échauffe un fil fin qui se dilate ; l'allongement de ce fil est rendu visible et amplifié au moyen d un mécanisme RARE por tant une aiguille indicatrice.

le montre la figure 28, et mettons en fonctionnement la bobine de Ruhmkorff pour engendrer dans le circuit primaire des oscillations électriques. La déviation de l'appareil de mesure G indique que le circuit secondaire est le siège d’un courant oscillant: on dit qu'il effectue des oscillalions forcées. Quand les fréquences propres fi et f; sont sensiblement diflérentes, le courant oscillant secondaire a une faible intensité...

Augmentons peu à peu la valeur de la capacité secondaire pour diminuer la fréquence propre f,: nous constatons que l'intensité du courant oscillant secondaire, indiquée par l’appareil de mesure, augmente, mais très lentement. au début, quand la valeur de la fréquence propre f, se rapproche de la fréquence propre /,. À partir d’un certain moment, lorsque les deux fréquences propres sont assez voisines, l'intensité du courant croît très rapidement quand on augmente la capacité secondaire pour diminuer la fréquence propre f. Quand la fréquence propre f, du circuit secondaire est égale à la fréquence propre f, du circuil primaire, c’est-à-dire quand les deux circuits sont en résonance, l'intensité du courant oscillant secondaire alleint une valeur maxima, très élevée par rapport à la valeur qu'elle présentait peu auparavant : les deux circuits en résonance sont dits accordés ou synlonisés. Si nous continuons à diminuer la valeur de la fréquence propre f, (inférieure malntenant-à /,), l'intensité du courant oscillant retombe, d’abord très rapidement, puis de plus en plus lentement.

Si l’on porte sur une horizontale les valeurs de la capacité du circuit secondaire (en unités arbitraires), et sur les verticales correspondantes les intensités du courant oscillant, mesurées par l'appareil G (également en unités arbitraires), obtient une courbe dont la forme générale est analogue à celle de la figure 29 : une telle courbe est appelée courbe de résonance ("). On voit que, au voisinage de la résonance, une fable variation de la fréquence propre du circuit secondaire produit une très grande variation de l'intensité du courant oscillant

(1) On remarquera combien cette courbe, déterminée expérimentalement sur un circuit électrique oscillant, est mb à la courbe de la figure 26, qui représente la résonance mécanique d’une lame vibrante.

secondaire ; au contraire, une modification de même grandeur relative de la capacité, quand les fréquences f, et f, diffèrent sensiblement, produit une très faible variation du courant oscillant secondaire.

Si l’on introduit dans le circuit primaire une résistance de valeur relativement élevée, de manière à augmenter l’amortissement, on constate que la résonance est beaucoup moins aiguë, c'est-à-dire que la courbe de la figure 29 s’aplatit et

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Haleurs de L'intensite du courant dons le orcut secondaure

Fic. 29.

s’élargit : cela montre l'intérêt qu'il y a à réduire autant que possible l'amortissement dans les systèmes en résonance.

En examinant la courbe de la figure 29, on voit tout l'intérêt que présente le phénomène de résonance, puisqu'il permet d'obtenir, dans un circuit secondaire accordé, des oscillations dont l'amplitude est infiniment plus grande que dans un cireuit secondaire non accordé.

LA RÉSONANCE 6x

Circuits accouplés inductivement.

Etudions de plus près les phénomènes en jeu dans deux circuits accouplés. Nous avons vu, dans le chapitre relatif aux transformateurs, que l’accouplement inductif entre deux circuits est lâche (imparfait) ou rigide (parfait) suivant qu’une faible partie ou la majeure parte des lignes de force émanant d'un des circuits est embrassée par l’autre circuit. La valeur de l’accouplement est indiquée par le coefficient d'accouplement, égal au quotient du coefficient d'induction mutuelle par le produit des deux coefficients de self-induction. Dans le premier cas (accouplement lâche), le circuit secondaire a une certaine indépendance par rapport au circuit primaire et réagit très peu sur celui-ci. Dans le second cas (accouplement rigide), le circuit secondaire est intimement lié au circuit primaire et réagit fortement sur lui.

1° Supposons d'abord que l'amortissement des deux circuits soit négligeable.

On démontre mathématiquement que, dans le système consitué par deux circuits accouplés, 1l se produit en général deux groupes simultanés d’oscillations, ayant chacun une fréquence particulière ; les deux fréquences diffèrent des fréquences propres d’oscillation de l’un et l’autre circuit.

Si les circuits sont en résonance, c’est-à-dire s'ils étaient accor- dés sur la même fréquence avant d’être accouplés ensemble, les fréquences des deux groupes d’oscillations qui prennent naissance sont l’une supérieure et l’autre inférieure à la valeur de la fréquence propre des deux circuits. Les oscillations complexes, résultant de la superposition de ces deux groupes d'oscillations de fréquence différente, présentent des battements et répondent à peu près à la courbe de la figure 30. Si l’accouple-

ment entre les circuits est rigide, les fréquences des deux groupes d’oscillations diffèrent beaucoup de la fréquence propre

des circuits. Si l'accouplement est lâche, ces deux fréquences ont des valeurs voisines de la fréquence propre commune des circuits et tendent à se confondre pour un accouplemént extrémement lâche (”).

Si les circuits accouplés ne sont pas en résonance, c'est-à-dire s'ils possédaient, avant leur accouplement, des fréquences propres différentes, et si l'accouplement est rigide, les oscillations primaire et secondaire ont une seule fréquence commune, qui est intermédiaire entre les fréquences propres des circuits.

2° Supposons maintenant que les circuits présentent chacun un amortissement non négligeable.

Dans ce cas, le calcul montre que le cireuit secondaire est le siège de deux groupes d'oscillations : les unes, oscillations forcées, ont même fréquence et même amortissement que celles du circuit primaire ; les autres, oscillations hbres, ont même fréquence et même amortissement que celles du circuit secondaire. Le courant oscillant dans le circuit secondaire résulte de la combinaison de ces deux groupes d’oscillations de fréquences différentes et d’amortissements différents. Plusieurs cas particuliers peuvent se présenter.

a) Les deux circuits sont complètement accordés, c'est-àdire qu'ils ont même fréquence propre et même amortissement. Dans ce cas, les oscillations du circuit secondaire vont en croissant jusqu'à une certaine valeur qu'elles conservent (fig. 31).

Érc more

b) Les deux circuits ont même fréquence propre, mais n’ont pas le même amortissement. Dans ce cas, les oscillations du circuit secondaire croissent d'abord jusqu'à une certaine valeur,

(1) Ces deux cas, importants pour la pratique de la télégraphie sans fil, sont envisagés dans le chapitre 1x, où la description d’un modèle mécanique facilite la compréhension des phénomènes en jeu.

LA RÉSONANCE 63 sensiblement plus faible que dans le cas précédent, puis décroissent peu à peu (fig. 32). |

c) Les deux circuits ont des fréquences propres différentes

Eric:

et des amortissements égaux ou différents. Les oscillations résultantes du circuit secondaire vont en croissant jusqu'à une valeur maxima, puis décroissent Jusqu'à zéro pour croître à nouveau, et présentent des battements analogues à ceux qu'indique la figure 30 : à cause de l'amortissement, l’amplitude des oscillations maxima dans chaque battement va en diminuant. Ce dernier cas n'a pas d'intérêt en pratique, puisqu'on place toujours les circuits dans les conditions de résonance, ou tout au moins très près de ces conditions, pour obtenir le maximum

d'effet.

Transformateurs pour oscillations électriques.

* Les bobines L, et L, des circuits accouplés de la figure 28 réalisent un transformateur. En télégraphie sans fil, on fait très fréquemment usage de tels transformateurs, avec accouplement lâche ou rigide, pour exciter inductivement un cireuit oscillant au moyen d’un autre. On appelle souvent ces appareils des transformateurs Tesla, du nom de M. Nikola Tesla qui, le premier, en a fait usage pour la production d’oscillations électriques.

Les actions réciproques qu'exercent l’un sur l’autre les deux enroulements parcourus par des oscillations électriques sont différentes de celles qui se manifestent dans les transformateurs ordinaires pour courants de basse fréquence, car, 1c1, les circuits sont généralement accordés ou syntonisés, c'est-à-dire qu'ils sont en résonance. Si le transformateur a un accouplement

lâche et si les deux circuits, présentant un amorlissement néqlgeable, sont en résonance, le rapport de transformation ne dépend pas du rapport des nombres de tours des bobines L, el L, : il dépend seulement du rapport des capacités des deux circuits. Si, au contraire, l’accouplement est rigide et si les deux circuils ne sont pas accordés, le rapport de transformalion dépend, comme pour les transformateurs ordinaires à basse fréquence, du rapport des nombres de tours secondaires et prumaires.

Circuits accouplés directement.

Deux circuits oscillants peuvent être accouplés directement.

Soient par exemple les circuits oscillants 1 et 2 (fig. 33) qui ont une portion commune

AB. Le circuit 1 content un éclateur EE, un condensateur GC, et une bobine de selfinduction L: le circuit 2 content un condensateur C, et une bobine deself-induction L..

Si l’on met en vibrauon le cir-

L à cuit 1, en reliant l’éclateur E

Fic. 33. au secondaire d'une bobine d'induction, le circuit 2 entre aussi en vibration et effectue des oscillations forcées. En modifiant la valeur de la capacité ou de la self induction de ce circuit, on peut l’amener à être en résonance avec le circuit 1, et l'on constate alors que les osaillations engendrées atteignent une amplitude maxima, comme dans le cas de l’accouplement inductif.

Soit R (") la résistance de la portion commune AB. Si cette résistance a une faible valeur, la différence de potentiel entre les points À et B est faible, pour une intensité donnée : du courant oscillant primaire (*). Dans ces conditions, l’accouplement entre les deux circuits est lâche (imparfait).

(1) La résistance R comprend, bien entendu, la résistance ohmique (réelle) et la résistance inductive (apparente): sa valeur est la résultante des valeurs de ces deux

résistances.

(2) Nous avons vu, au chapitre 11 (page 22) que, dans un circuit, l’intensité

Si, au contraire, la résistance R de la portion commune AB a une valeur élevée, c’est-à-dire représente une part importante de la résistance totale du circuit 1 (ce qui a lieu par exemple, «i la majeure partie de la self-induction est contenue dans la portion AB, sous forme d'une bobine L, fig. 34), la différence de potentiel entre les points A et B a une valeur élevée, et A C2 l’accouplement entre les deux cireuits est rigide.

Nous avons rencontré déjà, dans les dispositifs capables de produire des oscillations entretenues (fig. 23 et 24), un exemple de circuits oscillants accouplés directement. Dans ces dispositifs, le circuit oscillant a, avec le circuit principal, une portion commune contenant l’éclateur ou l'arc électrique.

-du courant est proportionnelle à la différence de potentiel agissante et inversemént proportionnelle à la résistance du circuit, c’est-à-dire que l’on a

i—— ou e — Rt.

R Sous la seconde forme, cette égalité montre que, quand une portion de conducleur de résistance R est parcourue par un courant d'intensité , la différence de potentiel entre les extrémités de cette portion de conducteur est égale au produit de la résistance par l'intensité du courant. Plus la résistance est grande, et piüs la différence de potentiel est élevée.