Définition de la vitesse. — On vient de voir que, dans
le mouvement uniforme défini plus haut, la loi qui lie les
espaces aa', 56', cc*...^ aux temps, est représentée par une
hgne droite AaVc'df...; or, puisque tous les triangles
Aaa', Abb\ Ace'..., sont semblables, les rapports des espaces
, aa' bV cd aux temps correspondants^, ^i» t-*-> sont tous égaux.
Si l'on désigne en général un espace quelconque par la lettre E et le temps correspondant par T, il s'ensuivra que
le rapport ^ de Fespace parcouru au temps employé à le parcourir d^wn mouvement uniforme sera constant.
La grandeur de ce rapport indique la rapidité du mouvement, car il est clair que, pour un même temps T, plus l'espace E sera grand, plus le mouvement sera rapide. Ce
rapport constant a reçu le nom de vitesse, et se désigne ordinairement par la lettre V, de sorte que Ton écrit ^ = V. Ce qui veut dire que la vitesse dans le mouvement uniforme est le rapport constant de V espace parcouru au temps employé à le parcourir.
On remarquera aussi que, si le temps que Ton considère
est l'unité de temps, on aura T = 1 et ^ = y = V, ef alors
on dit que la vitesse eu mouvemeru umtfçrwe esi Veepace^ h eh&^ min parcouru dans Vvmté de temps.
Si, par exemple, on dit qu'une Jocomotive a parcouru d'up mouvement uniforme 40 kilomètres ou 40 000 mètres en 1 heure ou en 3600 secondes, elle avait une vitesse égale
40 000°* à y = 11"", 11. Ce qui revient à dire qu'elle parcourait
H*, 11 par seconde.
Un <^eval qui, en marchant an pas allongé, parcoml; 8 kilomètres ou 8000 mètres en 1 heure ou en BfiOO secondes, a
8000"^ une vitesse moyenne ou uniforme de ^^ = 2*,22 en 1 seconde.
La même définition s'applique au mouvement circulaire lorsque des circonférences ou des arcs égaux sont décrits dans des temps égaux. Ainsi um roue d'engrenage qui accomplit toujours 10 tours dans l'espace de 60 secondes,
est animée d'une vitesse de ^ = ^ de tour en l seconde.
bO Jb •
12. Expression de ^espace parcouru, — Puisque l'espace parcouru divisé par le temps est égal à la vitesse, il s'ensuit que cet espace est égal à la vitesse .multipliée par le temps ou la durée du mouvement. A l'aide de cette règle, on peut calciner l'espace parcouni, quand on comiait h vitesse et le temps.
Sachant par exemple qu'une diligence marche à une vitesse de 10 kilomètres à l'heure, on voit qu'en 4 heures elle aura avancé de 10 kil. x 4 ou de 40 kilomètres.
DU HODYBHENT. H
15. Èhuvemum wrii. — Lorsque le rapport des espaces parcourus aux temps , au lieu de rester constant , change sans cesse de valeur, on dit que le mouvement est mrié.
14. Mouvement accéléré. — Quand les espaces parcourus dans des temps égaux vont sans ces^e en croissant, le mouvement est dit accéléré. Il est alors évident que, si l'on représente de même que précédemment les temps par des lignes d'abscisses Aa, A&, Ac..., et les espaces parcourus par désordonnées ew', bb\ cc'...^ les pomtsV, h\ c'..., ainsi déterminés, formeront une ligne courbe qui s*éloignem de plus en plus rapidement de la ligne des abscisses vers laquelle elle tournera sa convexité.
Le mouvement de la chute des corps dans Fair nous offre un exemple journalier d'un mouvement qui va en s'accélérant.
Supposons, par exemple, que l'observation nous apprenne que les temps et les espaces correspondants suivent la marche suivante :
Temps I 1» j 2» I 3* I 4" I 5» I 6"
Espaces.... | 0-,949 | 0-,196 | 0*,442 I 0",787 | l-,225 I l-,763
et qu'on les représeate en prenant 0",005 pour l" et 10 mill. pour 1°" d'espace parcouru, on obtiendra la courbe de la figure ci-dessus.
Cette courbe donne par ses coordonnées le temps correspondant à un espace parcouru quelconque , et réciproquement l'espace parcouru dans un temps quelconque.
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, les espaces étant pris pour abscisses à l'édielle de 0»,0l pour l'",00, et les temps pour ordonnées à celles de 5 mill. pour une seconde, si l'on veut avoir le temps employé à parcourir un espace de â^^^dO, on portera 2<^S 3 ou 23 miU. sur la ligne des abscisses, à partir
de son origine B ; au point m ainsi déterminé on élèvera une ordonnée mm\ qu'on limitera à sa rencontre avec la courbe ; et en divisant le nombre de millimètres que contient cette ordonnée par 5, le quotient indiquera le nombre de secondes cherchées.
S'il s'agissait de trouver l'espace parcouru au bout de 4", on élèverait en B, sur la ligne des abscisses, une perpendiculaire ko égale à 4 X 5 mill. = 20 mill. Par le point o on mènerait une parallèle à la ligne des abscisses, et cette ligne rencontrerait la courbe en un point p* dont l'abscisse kp exprimée en millimètres donnerait le nombre de mètres parcourus dans 4 secondes. Cette courbe, qui fournit les valeurs correspondantes des temps Bt des espaces parcourus en représente la relation ou la loi.
18. Mov/oemera retardé, — Lorsqu'au contraire les espaces parcourus dans des temps égaux vont sans cesse en diminuant, le mouvement est dit retardé. Si l'on continue à représenter graphiquement la loi de ce mouvement, les ordonnées ou les espaces parcourus croissent de moins en moins rapidement»
et la courbe s'éloigne de moins en moins de la ligne des abscisses, et lui présente sa concavité.
Le mouvement des corps qu'on lance dans l'air, tels que les jets d'eau, offre un exemple d'un mouvement qui se retarde graduellement à mesure qu'ils s'élèvent , et s'éteint même tout à fait.
16. Mouvement périodique. — La nature et les machines ne nous offrent que très-rarement des mouvements uniformes, quoique certains espaces égaux ou des nombres de tours égaux puissent être parcourus dans des temps égaux. Il y a ou il peut y avoir, dans un même espace ou dans im tour, des accélérations ou des re lards périodiques dans le
mouyement, et qui se compensent après certains intervalles qu'on nomme des périodes,
La ligne qui représente la loi du mouvement est alors une courbe ondulée, tournant tantôt sa convexité, tantôt sa concavité, vers Taxe des abscisses.
Quand la périodicité est bien établie, et que des intervalles égaux ou des nombres de tours égaux sont parcourus dans des temps égaux , ce mouvement varié peut être remplacé par un mouvement moyen , supposé uniforme , et tel que les espaces totaux ou les nombres de tours observés soient parcourus dans le môme temps. La vitesse de ce mouvement moyen est ce que l'on nomme la vitesse moyenne du mouvement périodique.
C'est ainsi que Ton remplace le mouvement "varié des pistons par un mouvement moyen dont on prend la vitesse uniforme égale au quotient de la longueur d'une course par sa durée. Par exemple , quand le piston d'une machine à vapeur a une course de 1"»,30, et qu'il donne 26 coups doubles en 1 minute, la durée d'une course simple est de
-—- = r',154: par conséquent la vitesse moyenne du piston
1^ 30 est de ;, ' = 1">,126 pour 1 seconde.
Mais, malgré cette convention, il ne faut pas perdre de vue que ces mouvements périodiques sont variables, et surtout que, dans les exemples analogues à celui qui précède , tels que le mouvement des pompes, des châssis de scie, etc., la vitesse devient nulle au commencement et à la fin de chaque période, tandis que vers le milieu de la course elle est beaucoup plus grande que la vitesse moyenne.
17. Vitesse dans le mouvement varié. — Nous avons dît que, dans le mouvement uniforme, on appelait vitesse le rapport
14 &U MOUVfiMKNT.
constant de l'espace parcouru au temps correspondant. Mais quand le mouvement est varié, ce rapport cesse d'être constant, et il s'agit de savoir ce que c'est ijue la vitesse dans ce genre de mouvement.
18. De rinertie. — Pour cela il est nécessaire d'énoncer ici une propriété fondamentale de la matière ou des corps en général. C'est qu'un corps ne peut, par lui-même, changer son état de mouvement, et qu'il tend à persévérer dans le mouvement qu'il possède, tant qu'une cause étrangère n'agit pas pour l'en faire changer. D'après cette loi de la nature, que l'observation vérifie chaque jour, le mouvement d'un corps ne peut s'accélérer ou se retarder que par une cause extérieure. Si donc, à un Instant quelconque du mouvement, la cause qui accélère ou retarde le mouvement cessait son action , le rapport de l'espace parcouru au temps , au lieu d'être variable, deviendrait constant» et le mouvement serait uniforme avec une vitesse constante égale ^ la valeur de ce rapport. Cette vitesse constante, que le corps conserverait si, à l'instant où on le considère, son mouvement cessait de varier, est ce que l'on nonmie la vitesse dans le mouvement varié.
Puisqu'à partir de l'instant où la cause d'accélération ou de retard cesse d'agir le mouvement devient uniforme, le rapport des espaces parcourus aux temps devient aussi constant, et la courbe qui représentait la loi du mouvement dégénère en une droite qtii lui est tangente au point correspondant.
On a des exemples de mouvements d'abord accélérés qui deviennent ensuite uniformes , par la drate des corps dans l'eau, par cdle du parachute des ballons dans l'air, etc.
Dans les applications que l'on fera de cette règle, il faut bien faire attention qu'en disant que la vitesse doit être mesurée par le rapport de mp à wp, l'on doit entendre le rap* port des grandeurs réelles de ces quantités exprimées en nombres et non pas toujours celui des longueurs mêmes qui les représentent sur le dessin.
DU lOUTEMBNT. 15
Ces déux rapports sont égaux si Ton a pris la même longueur pour représenter l'unité d'espace et celle de temps, ce qui est plus simple et évite tout embarras.
Mais quelquefois l'on est forcé de prendre des échelles différentes, et alors il faut, d'après ces échelles, prendre pour mp l'espace et pour np le temps que chacune de ces longueurs représente. En ayant celte attention l'on ne commettra aucune erreur.
Dans le mouvement uniforme, la vitesse étant le rapport des espaces parcourus aux temps correspondants, ou celui des ordonnées aux abscisses, cette vitesse dans le mouvement varié sera donc donnée par l'inclinaison de la tangente à la courbe sur la ligne des abscisses, ou par le rapport des ordonnées mp de cette droite à ses abscisses npy comptées depuis le moment où elle coupe la ligne des abscisses. Si, par exemple, Ton veut avoir la vitesse en un point m de la courbe du mouvement correspondant à un temps Ap, on mènera en ce point m une tangente à cette courbe, et la vitesse cherchée sera donnée par le rapport de mp à fip.
Hais il est bon de remarquer que, la tangente se confondant avec la courbe sur l'étendue d'un arc infiniment petit mn, le rapport de mn à np est le même que celui du chemin éléiûentaire mW = e à l'élément de temps correspondant mm'f=Aty de sorte que l'on a pour la valeur de la vitesse V dans le mouvement varié
TiT) mtn' t
np
Uexpression générale de la vitesse dans un mouvement varié quelconque sera donc
dans la<|Ml|e
V exprime là vitesse du mouTement uniforme qui succé^
derait au mouvement varié si la cause qui produit la variation du mouvement cessait d'agir,
e le chemin élémentaire parcouru dans Télémeutda temps t.
19. Méthode approximative pour mener des tangentes à une courbe quelconque. — Le tracé d'une tangente à une courbe dont on ne connaît pas la nature, où la génération présente toujours de l'incertitude quant au point de contact, si la direction de la tangente est donnée, ou quant à la direction si à l'inverse le point de contact est donné. Il y a, selon la courbure plus ou moins grande des courbes , des méthodes approximatives, et en voici une qui, sans être rigoureuse, donne au résultat qu'elle fournit une grande probabilité d'exactitude.
Étant donnée la loi d'un mouvement représentée par une courbe Amn dont les abscisses sont les temps et les ordonnées
les espaces parcourus à une certaine échelle; la tangente mT par son inclinaison ou par
le rapport ^ fournit la valeur de la vitesse de ce mouvement au bout du temps AP.
Or, cette vitesse étant tout à fait indépendante de l'échelle à laquelle on représente par une courbe la loi du mouve-
mP ment, il s'ensuit que la valeur numérique du rapport .ppdoit
rester la même, si l'on double ou si l'on réduit à moitié l'échelle des ordonnées mP, tandis que sa valeur absolue devient double ou se réduit à moitié, ce qui exige que les tangentes menées aux points m' et m'^ ainsi déterminées passent toutes parle point T.
De là résulte le procédé suivant :
Construisez la courbe à des échelles différentes pour les ordonnées, mais en gardant la même échelle pour les abscisses. Par tous les points m, m\ m".... correspondants à
une même abscisse, menez à la règle des tangentes à la courbe, toutes ces lignes devront rencontrer la ligne des abscisses en un même point T, qui se trouvera ainsi déterminé très-approximativement par tâtonnement. En joignant ensuite ce point à Tun quelconque des points m, m\ m", ou aura la direction très-probable de la tangente en ce point.
Cette construction s'applique évidemment à toute espèce de courbe quelle que soit la loi ou la relation qu'elle représente.
On verra plus tard (m 168) que, pour les mouvements produits par des systèmes articulés, si fréquemment employés dans les machines, il y a une méthode rigoureuse pour mener les tangentes aux courbes qui représentent la loi du mouvement d'un point quelconque de leurs organes.
90. Observation sfwr la variation de la vitesse dans les mouvements périodiques. — En appliquant la méthode graphique précédente à des mouvements périodiques dont la loi est représentée au n* 16, par des courbes qui présentent alternativement leur convexité et leur concavité à la ligne des abscisses, on voit que l'inclinaison de la tangente ou la vitesse correspondante depuis l'origine va en croissant jusqu'an point ou au moment où la courbe change de direction ou s'infléchit. A ce point, qu'on nomme point cCinflexionj la xitesse a sa plus grande valeur. A partir de ce moment, l'inclinaison de la tangente ou la vitesse diminue graduellement jusqu'à un nouveau point d'inflexion de la courbe, où elle atteint sa plus petite valeur, puis elle recommence à croître.
Dans le mouvement des pompes, des pistons de machines à vapeur, des chflssis de scie, des machines soufflantes, etc., la vitesse devient nulle à la fin de chaque période. La tangente à la courbe devient horizontale, et son inclinaison sur la 4igne des abscisses est nulle. On verra plus loin qu'entre les deux instants du commencement et de la fin d'une même course, tous les organes atteignent un maximum de vitesse que nous apprendrons à déterminer.
pu MOUVEMENT.
2i, Du mouvement uniformément accéléré ou retardé. — Il est fort rare, comme nous l'ayons déjà dit, que dans les machines le mouvement spit laiiforaie, malgré tous les moyens que Ton emploie pour en diminuer les irrégularités. Il importe donc d'étudier les mouvements variés. Parmi oes mouvements, les plus simples sont ceux où la vitesse crott ou décroit de quantités égales pour des temps égaux. Dans le premier cas. Ton dit qu'à partir du repos le mouvement est uniformément accéléré; dans le sec^id, qu'il est uniformément retardé.
Étudions . d'abord le mouv^nent uniformément accéléré» et supposons que le corps ou le point que nous considérons parte du repos.
La représentation graphique des circonstances que présente ce mouvement nous permettra de les étudier et d'en déduire les lois t)ar de simples considérations géométriques. Puisque le corps part du repos et que sa vitesse croit de quantités égales pour des temps égaux, si l'on porte sur
une ligne d'abscisses AT des intervalles égaux Aa, ab^ bc...^ à une échelle quelconque» pour représenter des temps égaux, puis qu'en chaque point de division on élève des perpendiculaires oa, bb, ce..., représentant, à une échelle donnée, les vitesses correspondantes, il est clair que tous les points a\ b'y c'..., ainsi déterminés, seront situés sur une même ligne droite passant par le point A, car on a l'égalité des rapports
aa' ^W cc' ^ kâ — Jb-^kc — ^^''
a*' ei^
attendu que tous les triangles kaa\ klb', Aco\.., sont semblables.
Les ordonnées de cette droite représentant les vitesses Y, et les abscisses les temps T» on voit qu'en général le rapport
DU MOiJVfiMSNT; 19
de la vitesse au temps pendant lequel elle a élé aequise est constant, ce que l'on ex^œe en écrivant pour des ntesses V, V, V", etc., et des temps correspondants T, T', T", ete-, quelconques.
Si l'on nomme Yi la vitesse acquise au bout de la première seconde de l'accélération, on aura aussi
D'où Ton voit que, si l'on connaissait la vitesse acquise par le corps après la première seconde de l'accélération de son mouvement, on déduirait facilement sa vitesse après un temps quelconqèie T, car on aurait V =• ViT.
Ce qui signifk que, dans xm mov/vement wUfarmément accéléré à partir du repoSy la vitesse acquise par le corps au bout d^im temps quekonqvSf exprimé en secondes^ est égale à la vitesse acquise pendosU la première seconde mtiUyi^liie pa^* k wmbre d^ secondes écoulées.
Gela posé, si l'on considère un intervalle de temps infiniment petit fÇf il est clair que I'qu pourra, pour «e temps élémentaire, regarder la vitesse comme instante et ^ale
à la moyenne arithmétique " "7^^ des vitesses /f et gg' ; car
cette moyenne arithmétique s'approchera d'autant plus de la vitesse réelle que J'intervalle de temps considéré fg sera moindre, et à la limite de petitesse du temps /y, elle lui sera rigoureusement égale.
On peut donc, dans cet intervalle de temps infiniment petit que nous désignons par r, regarder le mouvement comme uniforme avec cette vitesse moyenne, et par conséquent l'espace infiniment petit e, parcouru dans le xaèmçi intervalle, sera égal à la vitesse constante muJtipUée par le temps Cn** 11), et Ton aura ,
Or ce produit est précisément Taire du petit irapèze élémentaire fjfgg^ : donc cette aire représente l'élément de chemin 6 parcouru pendant ce temps élémentaire.
L'espace total E , parcouru d'un mouvement uniformément accéléré pendant le temps T, étant la somme de tous les espaces élémentaires analogues à e , il s'ensuit que dans l'hypothèse actuelle, où le corps part du repos, l'espace E est représenté par la surface du triangle total ADD', dont la base AD=T, et dont la hauteur DD' = V = ViT est la vitesse acquise au bout de ce temps. Donc cet espace a pour valeur.
• E = iADXDD'=iTxViT=iViT«,
d*ou résulte que dans le mouvement uniformément accéléré à partir du repos, les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps.
Réciproquement, tout mouvement dans lequd les espaces parcourus à partir du repos sont proportionnels auœ carrés des temps employés à les parcourir est wn mouvement uniformément accéléré.
Car, si l'on a trouvé par l'observation que les rapports
sont égaux, que l'on pose
puis que l'on conçoive un mouvement uniformément accéléré tel, que la vitesse acquise par le corps après la première seconde soit égale à
0U MOUVBMfiNT. 21
on aura pour la loi de ce mouvement la relation
qui, pour toutes les valeurs que l'on pourra assigner au temps, fournirait les mêmes valeurs de l'espace parcouru E que la condition donnée par hypothèse de FégaUté des rapports
E __E' __E^lv .
p rjv» r£fft 2 *
Les deux mouvements seront donc identiques.
Le produit -ViT" représentant la moitié de Faire VT du
rectangle ÂDD'A', qui exprimerait le chemin parcouru par le corps pendant le temps T d'un mouvement uniforme avec la vitesse V, l'on voit que, dam le mouvement uniformémmt accéléré y V espace parcouru au bout (ïun temps quelconque à partir du repos est égal à la moitié de celui qui serait parcouru, pendant le mime temps, d'im mouvement uniforme, a/vec la vitesse finale.
Si l'on considère les espaces E et E' respectivement parcourus au bout des temps T = AD et T' = AB, ils seront, d'après ce qui précède > représentés par les aires des triangles ADD', ABB', et, d'après une propriété des triangles semblables, ils seront entre eux comme les carrés des côtés homologues, ce qui donne la proportion.
aire ADD' : aire ABB' :: DD^ : Bff* ou
E :E':: V« : V», d'où Ton tire
Si l'espace E' et la vitesse V'sont ceux qui correspondent à la première seconde depuis le départ, on a, d'après ce qui a été dit plus haut,
r=Vi E'=iViT» = iVi:
et par suite, lÈ=—y*=—,y%
d'où l'on tire V«=2ViE..
Ce qui montre que, dans le mouvement uniformément accéléré, à partir du repos, le carré de la vitesse V acquise par le corps après qu'il a parcouru un espace E e^^ égale au produit de cet espace par le double de la 'oitesse acquise par le corps après la première seconde de V accélération.
Les lois du motiTement uniformément accéléré à partir du repos peuvent donc être représentées par les trois formules suivantes :
1» V= VjT qui donne la vitesse V acquise par le corps après un ten^>$ quelconque T, quand on connaît k vitesse Yi à la fin de la prenâère seconde d'accélération;
2<' Ëss^ViT* qui donne l'espace paroonra au bout d'un temps quelconque T, ou 'P=^— qui donne le temps que le corps met à parcourir un espace E;
3° V'^2yiE qui donne la vitesse acquise par le corps après qu'il a parcouru un espace E, ou
E=^ qui donne l'espace que le corps doit parcourir pour acquérir une vitesse V.
22. Représentation graphique. — Ces trois lois ou formules peuvent être représentées par des constructions graphiques qu'il est bon de connaître, parce qu'elles servent à retrouver ces lois quand on a déterminé les valeurs des espaces, des temps ou des vitesses, qui se correspondent dans des mouvements observés.
La première V=ViT est, comme nous l'avons dit au numéro 21, représentée par une ligne droite dont les abscisses sont les temps et les ordonnées les vitesses.
DU MODVBIIENT.
La deuxième, E = i ViP ou T*=|e, est représentée
par une courbe telk, que, si l'on prend les temps pour abscisses et les chemins parcourus pour ordonnées, les carrés des abscisses ou des longueurs portées sur la ligne AX seront proportionnels aux ordonnées, ou aux longueurs portées dans le sens de la ligne AY, ce qui est le caractère particulier d'une courbe appelée parabole dont Taxe serait celui des ordonnées^ Lès courbes de ce genre jouissent de propriétés qui permettent de les recimiiattre, et qu'il n'est pas inutile de rappeler succinctement. Ainsi dans le cas actuel, où le corps part du repos. Taxe des abscisses est la tangente au sonsnet de la courbe , Taxe des ordonnées est son axe transverse. Cette courbe a deux branches, l'une à droite, l'autre à gauche de Taxe des ordonnées; icm ses points sont également distants d'un point P, appelé son foyer ^ situé sur l'axe transrerse, et d'une droite F'F qu'on nonmie directrice y et qui est parallèle à l'axe , à une dislance AF égale i AF, de sorte que pour un point quelconque M on a toujours MF = MP'.
l^ronmèneunetangenteMTàkicourbe,laligneTP, qu'elle détermine sur l'axe des abscisses, se nomme la stms^cmgerUef et
elle est double de V abscisse AP.
Si par le p0)nt S où la tangente coupe Taxe des ordonnées AY on élève une perpendiculaire SF à la tangente, cette ligne passera par le foyer P , ce qui permet de déterminer ce foyer, et de reconnaître si une courbe donnée, dont l'axe des ordonnées, passant par son origine est connu, est une parabole. Car il suffit de mener à la règle une série de
tangentes , d*éleyer à ces lignes des perpendiculaires aux points où elles coupent Taxe des ordonnées. Si la courbe est une parabole , toutes ces perpendiculaires se couperont en un même point qui sera le foyer.
Enfin la normale en un point quelconque M de la courbe intercepte sur la ligne des abscisses une' longueur PN qu'on nomme la som-normaley et qui est constante. Cette propriété permet de reconnaître si une courbe dont on connaît une portion ainsi que Taxe de ses ordonnées est une parabole, et de déterminer la position de Taxe de ses abscisses ainsi que le foyer, quand on connaît la direction de Taxe et deux tangentes à la parabole en des points donnés.
Réciproquement, si Ton veut que le mouvement d'un corps, qui , en partant du repos , passe d'une position à une autre , s'exécute par une accélération uniforme , il faudra que la loi de son mouvement soit représentée par une parabole, qu'il est facile de tracer.
Sachant, par exemple, que le corps, en partant du repos, doit parcourir -un espace de 0™,20 en 0",50 d'un mouvement uniformément accéléré, pour déterminer la parabole cherchée il suffira de prendre sur une ligne d'ordonnées , à une échelle quelconque, de 0'",010 par mètre, par exemple, une longueur AP = 0"*,20 ; d'élever en P une perpendiculaire PM, représentant le. temps 0*^,50 à une échelle convenable , pour laquelle il sera plus commode de prendre la même unité que pour les espaces ; de porter au-dessous de A , AT = AP ; de joindre les points T et M ; d'élever en A une perpendiculaire à AY ; par le point S, où elle rencontre la tangente TM, d'élever une perpendiculaire SF à cette tangente : le point F , où cette dernière ligne rencontrera l'axe des abscisses, sera le foyer de la parabole cherchée, dont le tracé sera facile à terminer. La courbe ainsi tracée représentera la loi du mouvement cherché , et fournira les espaces correspondants à des temps quelconques , et vice versa.
25. Mouioemeru uniformément retardé. — Les lois du moa- Tement uniformément retardé sont exactement les mêmes
que celles du mouvement uniformément accéléré. G*est ce qu'il est facile de faire voir.
Si Ton trace une ligne d'abscisses AX sur laquelle on porte les temps» et une ligne d'ordonnées sur laquelle on prenne AA' , égale à la vitesse Y' que possède le corps au moment où son mouvement commence à se retarder, il est clair, d'après la définition du mouvement uniformément retardé, que, la vitesse devant décroître de quantités égales pour des temps égaux, si, pour un temps Aa, elle a diminué de Oio', pour un temps double Aô = 2Aa elle diminuera de 6i6'=2aia'; pour un temps Ac = 3Aa elle diminuera de dc* = Zcka' ; de sorte que tous les triangles Aoia', A W, Acic'..., seront semblables, et que tous les points A', a\ b', o'..., seront une ligne droite. La loi de décroissance de la vitesse sera donc représentée par la droite A' a' V c\ et si l'on nomme Yi la quantité dont la vitesse aura diminué dans la première seconde, au bout du temps T elle aura diminué de YiT, et sera alors, en l'appelant Y, égaleàY=Y'— YiT.
n est d'ailleurs évident, par la figure, que la vitesse sera devenue nulle, ou le corps parvenu au repos, quand la vitesse perdue ou la quantité DD'' à retrancher de AA' s^era égale à AA', ou que l'on aura V'=YiT, ce qui
Y' donne T=:?7- pour le temps au bout duquel un corps
animé d'une vitesse Y' arrive au repos quand son mouvement se retarde uniformément, et qu'il perd la vitesse Yi dans la première seconde de son mouvement retardé.
Ainsi, par exemple, si un corps est animé d'une vitesse de 2 mètres, et que son mouvement se retarde uniformément de manière qu'il perde QrfiO dans la première
26 DU MOCVEVENT.
seconde de ce mouvement retardé , il sera parrenu au repos
au bout d'un temps :
On remarquera que ce temps T=^ est précisément le
même que celui qui serait nécessaire au corps pour acquérir la même vitesse d'un mouvement uniformément accéléré, par lequel il recevrait au bout de la première seconde, la môme vitesse Vi.
24, Espaces parcourus dans le mouvement uniformément retardé. — Maintenant il est clair (n' 11) que^ si le corps continuait à se mouvoir uniformément avec sa vitesse initiale V, il parcourrait dans le temps T=AD quelconque un espace égal à V'T, représenté, par exemple, par la surface du rectangle ADD'A ; mais si l'on considère ce qui se passe pendant un intervalle de temps infiniment petit fg, on verra, par un raisonnement identique à celui du n» 21, que le mouvement, pouvant être regardé, penclant ce temps élémentaire, comme uniforme avec la vitesse moyenne
"^ , le chemin parcouru de ce monvesnenl uniforme serait exprimé par ^ "^^^ Xfg, produit qui exprime pré-
cisément l'aire du petit trapèze élémentaire f^g.
Donc le chemin parcouru dans un élément de temps fg est représenté par la surface du petit trapèze correspondant ff'g'g ; et le chemin total parcotiru au bout d'un temps quelconque, T=Ad, par exemple, étant la somme de tous les espaces élémentaires analogues, sera représenté par la somme de tous les trapèzes de A en rf, ou par le trapèze total Add'A!; or ce trapèze est égal au rectangle Addik\ diminué du triangle k%d\ lequel a évidemment pour, mesure
lArfiXd,d' = iTxV,T = iv,T«, attendu que Arfi=T ou le temps, et did'=ViT où la dimi-
nution de la vitesse éprouvée par le corps pendant le temps T ; et comme le rectangle kddiA' est égal au chemin VT que le corps aurait parcouru d'un mouvement uniforme pendant le teipps T avec la vitesse initiale Y' il s'ensuit que Tespaoe parcouru par le corps:, qui est représenté par le trapèze Âeb^T, et que nous appellerons E, a pour expression
E=rVT— iViP.
Telle est la seconde loi ou formule du mouvement uniformément retardé.
Il est clair, d'après la figure , que l'espace parcouru par le corps quand sa vitesse sera nulle, ou qu'il sera parvenu au repos, sera représenté parle triangle ADA', dont la surface
a pour valeur - AD X AA'. Or AD, c'est le temps qui s'éz
coule depuis le commencement du retard jusqu'à celui où
la ^tesse est devenue nulle , et nous l'avons trouvé égal à
Y T=^. L'on a donc alors V'=ViT; ce qui donne
E=ViT«-iy,'P = iViT».
ce qui était d'ailleurs évident, puisque les triangles ADA' et ADD' sont égaux , et que le second a pour surface
Ainsi l'on voit que le corps arrivera au repos après avoir parcouru un espace précisément égal à celui qu'il aurait parcouru dans le même temps, d'un mouvement uniformément accéléré, dans lequel il aurait acquis an bout de la première seconde précisément la même vitesse qu'il perd dans le mouvement retardé.
La loi du mouvement uniformément retardé peut encore être représentée par une courbe, car il suffit de mettre dans la relation
les valeurs successives du temps prises pour abscisses, pour
en déduire celles de l'espace parcouru correspondant ; et en prenant celles-ci pour ordonnées , on construirait la courbe *.
On remarquera que la valeur de l'espace p|rcouru se con^ pose de deux quantités : Tune YT, qui est* la valeur de l'espace que le corps parcourrait dans le temps T d'un mou-
* Il n'est sans doute pas inutile d'indiquer ici un tracé de la parabole d'une exécution facile, lorsque l'on connaît, comme dans le cas actuel, son axe transverse BD, son sommet A' et l'un de ses points A.
On prolonge AD d'une longueur D0 = AD, on partage AD, à partir du point A, en parties égales, en quatre par exemple, numérotées 1, 2, 3, 4,
et par les points de division l'on mène les lignes \\\ 22', 33' 44', parallèles à BD. On partage de môme A"D en quatre parties égales numérotées 11, :2i, 3i, 4i, à partir de D. On joint le point avec les points li, 2i, 3i, 4i par des droites que l'on prolonge jusqu'à leurs rencontres 1', 2', 3', 4' avec les parallèles à BD. Les points 1', 2', 3', 4' appartiennent à la parabole , qui se trouve ainsi tracée par points.
Cherchons en effet le rapport du carré de l'ordonnée CI' = Oy d'un point quelconque de la courbe à son abscisse A^C , et admettons que d'après la construction y=nAD, c'est-à-dire contienne n parties de AD. L'on a aussi , d'après la figure ,
DI, = A*'D-nAD = (l-n)A''D.
L'on a pris DO = AD, et, par suite,
01 = OD H- y = A'T) -f-nAD = (l + n)AD.
D'une autre part, les triangles semblables Ole' et ODli nous donnent
0D=Ai):Dl.::01;Il' = ('+")^^/-''>^'° =(l-n')iL'D, et, par suite, ^
a?=A''C=A''D — l'=A''D-(n — n')A"'D = nU"'D.
D'où il suit que
t/' nUD* AD* % ""n'A^D^A^D*
Ce qui montre que pour un point quelconque de la courbe obtenue par le tracé ci-dessus, le rapport du carré de l'ordonnée à l'abscisse est constant, ce qui est le caractère de la parabole.
yement uniforme avec la Vitesse initiale Y', et dont l'autre - ViT, est précisément l'expression du chemin que
le corps parcourrait , à partir du repos , d'un mouvement uniformément accéléré tel 9 qu'il acquerrait au bout de la première seconde précisément la vitesse qu'il perd dans le même temps d'un mouvement retardé. D'après cela , voici comment ou peut construire la courbe.
Soit A l'origine, on mènera une ligne AB inclinée de fagon que la tangente trigonométrique de l'angle qu'elle forme avec l'axe des abscisses soit égale à Y'. Pour des abscisses égales à T les ordonnées de cette droite seront évidemment égale à YT; ayant donc pris Aa=T, on mènera l'ordonnée aa' de la droite AB, puis au-dessous de d on portera 'a'ai=-Yi'P, et l'on aura un point 0| de la courbe.
Y' La vitesse étant nulle lorsque T=^, la tangente à la
courbe au point correspondant sera horizontale, et l'or- ^^ donnée de ce point sera
OU égale à la moitié de l'ordonnée de la droite correspondante à
T=^AD, et qui est
Si Ton nomme T' la distance aD , et E' la distance aiC, on voit , d'après la figure , que l'on aura Aa = AD — aD , ou
et aai=A'D — oic
ou
de sorte qu'en mettant pour E et pour T ces valeurs dans la relation de l'espace parcouru et du temps, elle devient
ou, en effectuant le calcul et changeait de signes,
E' = iv,T".
Ainsi la relation entre la distance aD = A!'c et cùi est précisément la même que pour la courbe du mouvement accéléré ; la courbe du mouvement uniformément retardé , à partir d'une vitesse V jusqu'au repos, est donc une parkbole renversée et exactement la même que celle du mouvement uniformément accéléré à partir du repos pour lequel Vi, aurait la même valeur, et qui durerait pendait un temps lolal
égalàT = ^.
Si l'on rapporte au-dessous du point A une longueur AC = - ViT*, ou égale au chemin total parcouru dans le mouvement retardé jusqu'à l'instant du repos, puis que par le point C on mène à AD une paY^llèle CA' égale à T =y » et qu'à partir du point A^ ainsi déterminé, on construise sur A'G, comme ligne d'abscisses ou des temps, la courbe du mouvement uniformément accéléré à partir du repos, on ^ verra que cette courbe aura en A pour tangente la ligne AB, • qui est aussi la tangente au même point pour la courbe du mouvement retardé ; ce qui est évident, puisque cette tangente, dont l'inclinaison fournit la vitesse du mouvement uniformément accéléré , forme avec A'D' un amgle dont la Lingente trigonométrique est
B2;2AC__Vi AD'~ T -y;~^*
c'est-à-dire la vitesse initiale du mouvement retardé. Par
pu MOUVEMENT. 31
conséquent, les deux courbes ont même tangente en A, même ordonnée et même abscisse aux points A' et A'', en les prenaiU pour A'' en dessus et à droite de A, et pour A' en dessous et à gauche. On trouverait évidemment la même distance du foyer F à A'' que du foyer F' à A'.
n suit de cette comparaison que, si le corps part du repos et se meut d'un mouvement unifbrmémait accéléré jusqu'à ce qu'il ait acquis une vitesse V en parcourant un
espace
puis qu'à partir de cet instant il se meuve d'un mouvement uniformément retardé jusqu'au repos, il parcourra dans cette seconde période le même espace dans le même temps que dans le mouvement accéléré et que la loi du second mouvement sera représentée par la même courbe que le premier, mais symétriquement placée.
Nous verrons l'usage de cette propriété pour le tracé de cames.
26. Cas ùù te corps possède une certaine vitesse quand son nwuvenunt conmence à s^aeoélérer. — Si le corps était déjà j^ animé d'une vitesse uniforme V, W^" au moment où son mouvement j j j commence à s'accélérer, il est jT jjj facile de voir, d'abord , qu'en 1^1 j ^ prenanties temps T pour abscisses Li — 1 — et les vitesses pour ordonnées, la Vitesse à rorigine du mouvement, V'=AA'; cette vitesse devant encore croître de quantités égales pour les temps égaux, si l'on porte les temps égaux Aa, 06, 6e..., sur la ligne AX des abscisses; que l'on élève aux points a, 6, <;.•., des perpendiculaires afi^ hh\ ce'..., qui coupent la ligne A'IK parallèle à AX auxpcHntsoi, 6i, Ci, di..., les quantités ai»', 6i6', ^c', etc., qui représentent les accroissements, de la vitesse, seront proportionnettes aux
temps, et tous les points A' a', Vj c\ d\ etc., seront sur une même ligne droite.
On Terrait de même que Tespace parcouru dans un élément de temps infiniment petit fg serait représenté par la surface du petit trapèze élémentaire fg^f^ et que par conséquent Tespace total parcouru depuis l'origine du mouvement où la vitesse était y'=:AA', jusqu'à un instant AD, après lequel la vitesse serait devenue DD'=V"=V'+ViT, serait représenté par la surface totale du trapèze ADD'A'. qui est égale à celle du rectangle ADD'iA' = VT augmentée du triangle A'DiD', pour lequel on a
A'DiD' = iDiD'xA'Di=iViTxT=|ViT«.
De sorte que l'espace total serait représenté par l'expression
E=VT+JViT».
26. Représentation graphique. -^ Si Ton veut représenter ce mouvement par une construction graphique, on voit qu'en prenant les temps pour • abscisses et les espaces parcourus pour ordonnées, l'espace parcouru au bout d'un temps T =^AB se composera de l'espace BBi=y'T qui serait parcouru dans le même temps, d'un mouvement uniforme, avec la vitesse initiale V augmenté de l'espace BiB' qui serait parcouru dans le même temps, à partir du repos, d'un mouvement uniformément accéléré, dont la vitesse acquise après la première seconde serait Vj.
Cette discussion montre que toutes les circonstances des mouvements uniformément accélérés ou retardés peuvent être représentées par des constructions graphiques, auxquelles nous aurons recours pour l'étude des mouvements produits par les organes des machines.
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