MOTIONS NOUVELLES D'HYDRAULIQUE

tesses précitées, moyenne qui sera représentée par w. En conséquence, Yeir pression approximative de la quantité de travail dont il s'agit sera «P/to.

Enfin, nous renverrons encore à la première partie de ce livre pour toutes les autres considérations relatives au frottement du liquide sur les parois.

43. Evaluation du travail moteur total dépensé dans V unité de temps sur le bief considéré. — Concevons un plan horizontal passant par la ligne d'eau supérieure de la section d'amont *, et désignons par a' l'aire de cette section, et U' la vitesse moyenne correspondante du

courant, û" et U" les quantités analogues pour la section d'aval, O une moyenne entre la plus grande et la plus petite des sections du bief, ûU le débit de ce bief, y' et y" les distances verticales respectives des centres de gravité des

sections liquides û' et û", à la surface du courant dans ces sections, Z la hauteur du plan horizontal précité, au-dessus du centre de gravité de

la section d'aval.

La quantité de travail moteur de la pesanteur est

aQU(Z-y').

En outre, le corps liquide du bief subissant, sur sa section d'amont, une pression motrice * y' ù', et, sur sa section d'aval, une contrepression — $y"û" qui est la réaction de la masse liquide suivante, il faut tenir compte du travail moteur qui peut résulter de ces forces : or, chaque section liquide étant prise perpendiculairement à la direction du courant, la pression et la contrepression précitées sont parallèles à cette direction aux points où elles sont respectivement appliquées, de sorte que la quantité de travail de chacune d'elles dans l'unité de temps, est le produit de son intensité par la vitesse fluviale du centre de pression correspondant.

Cela posé, j'ajouterai que, dans les sections ordinaires des rivières, qui nous occuperont plus loin, la distance verticale du centre de pression au centre de gravité n'est qu'une faible fraction de la profondeur, en sorte que les vitesses de ces deux points diffèrent très peu entre elles, ce qui permet de substituer Tune à l'autre : or, j'ai démontré que le déplacement du centre de gravité dans la direction du courant et dans l'unité de temps,

1 Voir plus loin, les notions sur les sections des rivières.

est égal à la vitesse moyenne qui a lieu pour la section considérée ; on peut donc évaluer très approximativement le travail résultant des forces dont il s'agit^ par la différence

Sy'Q'U' — $y"Q"lK

Les auteurs qui ont appliqué le calcul à des courants liquides ont admis qu'il passé à chaque instant, dans toutes les sections, des volumes fluides égaux, ce qui donne ici

(e) Û'U' = Û"U" = ÛU,

mais, en ce qui concerne les rivières, cette notion ne doit pas être admise sans examen. Les subdivisions qui nous occupent actuellement, ne reçoivent, à ciel ouvert, aucun affluent, et si, pendant une pluie, les ruissellements qui y arrivent peuvent n'être pas répartis uniformément sur la longueur /, il ne faut pas oublier que la théorie doit être appliquée quand l'effet de cette pluie est entièrement produit ; il semble donc que l'égalité précédente soit exacte; mais il faut remarquer qu'elle peut être troublée par l'invasion de quelque source intérieure : or, si l'on ne peut jauger directement le volume fourni par une semblable source, il y a lieu d'admettre qu'il est, en général, très faible par rapport au débit de la rivière : en effet, parmi les sources extérieures que nous voyons couler, et qui sont produites par les mêmes causes, celles qui ne constituent pas l'origine d'un cours d'eau, ont un faible jaillissement, et sont peu productives ; or, le débit des veines liquides cheminant entièrement sous le sol et perçant une paroi du lit, doit être plus faible encore, parce que la vitesse d'entrée de ces veines est diminuée par la résistance à la pénétration, de l'eau de la rivière, et par la contrepression due à la hauteur de la surface audessus de l'orifice d'introduction, contrepression que le mouvement du courant affaiblit peu, car il est toujours lent au contact des parois. Quant aux nappes d'eau souterraines, elles sont situées à des profondeurs plus grandes que celles auxquelles le fond des rivières se trouve ordinairement.

Enfin, comme il s'agit ici du travail des pressions, je ferai remarquer que les sources intérieures n'en produisent pas ou presque pas, dans la direction du courant, attendu qu'elles arrivent transversalement à cette direction.

162 NOTIONS NOUVELLES D'hYDHAULIQUE*

En conséquence de ces diverses considérations, nous pouvons regarder comme suffisamment approximative, dans les cas où elle n'est pas exacte, l'égalité (e), de sorte que nous avons pour le travail résultant des pressions que le corps liquide du bief subit en amont et en aval, SU a (y' — y"), et, pour le travail moteur total dépensé sur ce bief,

8ÛU(Z — y")

quantité dans laquelle Z — y" est la chute à la surface, ou li.

Cette expression impliquerait, en toute rigueur, la constance de la moyenne section, de sa vitesse moyenne U, et de la chute superficielle, mais il s'agit ici d'obtenir des approximations suffisantes pour la pratique ; or, comme on a pu le voir précédemment, les variations ordinaires de la section liquide sont très faibles par rapport à la superficie totale de cette section, au moins dans le temps nécessaire pour les observations : d'un autre côté, les chûtes li varient moins encore, parce que les oscillations verticales de la surface d'un bief sans débordement en affectent la longueur toute entière.

Quant aux vitesses moyennes, je ferai remarquer que l'inertie de la masse liquide qui subit une diminution ou reçoit un accroissement passager d'alimentation, s'oppose aux variations de ces vitesses, variations qu'elle ralentit et limite d'autant plus que leur cause est moins persistante et que le volume liquide accru ou diminué est plus considérable. Cette nouvelle observation fait ressortir une propriété des rivières à grande masse, propriété qu'on pourrait nommer la stabilité relative des vitesses moyennes. Pour en présenter immédiatement une application utile, soient

Q le débit qu'un jaugeage a donné pour une hauteur d'eau H, on a U = -rr- ;

pour une autre hauteur H' à laquelle correspond une valeur û 3 de la section liquide, on peut calculer assez approximativement le nouveau débit par le produit U û 2 , pourvu que H — H' ou H' — H soit une faible fraction de H, par exemple 0, 1 .

44. Perte de travail moteur correspondante aux mouvements non transitoires du liquide. — Dans l'exposé des notions nouvelles relatives au régime uniforme, j'ai fait voir que l'on peut exprimer par le produit $û li (U — w), la perte de travail due aux tourbillonnements et aux autres mouvements

non-lranslatoires de Peau, c'est-à-dire le travail des résistances intermoléculaires et des réactions d'inertie opposées à ces mouvements ; or, il est facile de reconnaître que cette expression est applicable, avec une approximation suffisante, au cas du régime ordinaire des rivières et pour les biefs sans confluents que nous considérons d'abord ici. En effet, elle ne contient, en ce qui concerne les vitesses, que la différence U — w\ or, cette différence, sans être rigoureusement constante, doit varier très peu d'une extrémité à l'autre de chacun des biefs précités, puisque les vitesses U et w augmentent ou diminuent simultanément et de faibles quantités. Quant à la chute superficielle /i, c'est, dans tous les régimes, celle qui a lieu de l'amont à l'aval ; enfin, d'après les propriétés et la condition sur lesquelles notre division du cours des rivières est basée, on peut attribuer ici à 0, U et w, les valeurs moyennes qui entrent dans les expressions dynamiques précédentes.

45. Equation du travail. — Le travail moteur total SûU U est égal à la somme des quantités suivantes : 1* travail résultant des diverses résistances du lit à la translation du courant et à la corrosion des parois ; 2° travail des résistances intermoléculaires et des réactions d'inertie des masses liquides qui participent aux mouvements non-translatoires ; 3° partie du travail moteur qui est dépensée pour vaincre l'inertie des matières solides auxquelles le mouvement de translation du courant est communiqué dans le bief considéré ; 4° plus ou moins la moitié de la variation de la force vive de la masse liquide écoulée, d'amont en aval, suivant que le courant est accéléré ou ralenti. En appliquant ce principe et employant les expressions établies précédemment, nous obtenons, toute réduction faite, l'équation

(4) 8 a ÎW = P « W + 6Pptt>, + — \kW* % + — • — U* ± -y.

Pour exprimer la masse p, je rappellerai que la partie du périmètre mouillé sur laquelle les aspérités restent fixes, est (1 — b) P, et je remarquerai qu'on peut prendre la saillie moyenne de ces aspérités, saillie que je désignerai par*, pour épaisseur de la zone liquide dans laquelle des molécules sont alternativement arrêtées et remises en mouvement ; comme,

d'ailleurs, il peut arriver qu'une fraction — du fluide composant cette zone

passe librement entre les obstacles, nous avons

164 NOTIONS NOUVELLES D'HYDBAULIQUE.

En représentant par P le produit M U qui peut être regardé comme

une mesure de la rugosité des parois, cette expression devient

!i=-i(l-»)pP Wo .

Quant à la masse m, désignons par

é le poids des matières solides mêlées à l'eau, par unité de volume du liquide qui s'écoule à l'extrémité d'aval du bief qui précède celui que Ton considère,

e" la proportion analogue qui a lieu au commencement du bief qui suit celui-ci.

Si e" est supérieure à é, la proportion des matières solides qui se sont introduites dans le bief considéré, pendant qu'il y passait un volume n U de liquide, c'est-à-dire dans l'unité de temps, est e" — e\ donc

m = aU, d où — - m U 2 = — a U 3 .

46. Equation d'une subdivision de rivière. — En substituant les expressions de y. et de 4" w U* dans l'équation (4), divisant cette équation par P w, et désignant par Ri le rayon moyen de la section liquide a, nous obtenons

w ^ w r ^ v w * 2g ^ \ l J w 2 g Pw /

Chacune des subdivisions sans confluent, donne lieu à une équation analogue à celle-ci. Pour les tronçons qui reçoivent un affluent, les expressions générales des différents termes qui viennent d'être écrits seront les mêmes, mais l'évaluation du travail d'inertie 1 exige d'autre? considérations : je vais déterminer la formule de ce travail pour l'un et l'autre cas.

47. Expressions complètes du travail et inertie correspondant aux variations de la force vive de translation, d'amont en aval : 1° Cas des biefs sans confluent. Ancienne et nouvelle formules. — On sait que, par suite de l'inégalité des vitesses, dans chaque section d'un courant liquide la force vive est plus grande que celle qui aurait lieu si toutes ces vitesses étaient égales

PfcOPRIÉTÉS ET THÉORIE DU MOUVEMENT DBS RIVIÈRES. 165

entre elles, et, par conséquent, à la vitesse moyenne, mais on 6e borne à multiplier le carré de cette vitesse par un coefficient numérique plus grand que l'unité. D'après Coriolis, la valeur de ce coefficient serait 1,47 dans l'hypothèse où la loi de distribution des vitesses serait exprimée par des arcs d'ellipse, et 1,16 en supposant une loi parabolique. M. Raumgarten, au moyen de l'observation des vitesses dans six sections de la Garonne 1 , a obtenu, indépendamment de toute hypothèse, les résultats suivants :

Vitesses moyennes . . . l m ,459 — 1,510 — 1,670 — 2,100 — 2,360 — 2,396 Valeurs du coefficient . 1 ,226 — 1,305 — 1,345 — 1,218 — 1,220 — 1,492

Il suffit de voir les différences de ces valeurs dans une partie, qui n'était pas très longue, d'une seule rivière, pour reconnaître la nécessité d'une théorie. D'après celle de M. Dupuit 1 , en désignant par «' le facteur dont il s'agit, on aurait

de sorte que, M étant la masse liquide considérée, sa force vive serait

Quant au cas où l'on aurait à évaluer la différence des forces vives d'amont en aval d'un bief, cas qui est celui dont nous avons à nous occuper ici, d'après M. Dupuit... » la différence entre les forces vives dans les deux sections doit être multipliée par un coefficient spécial a" entièrement différent de a'... » et la formule de ce facteur serait

x» loo / Y -™y p »

U' et U" étant respectivement les vitesses moyennes dans la section d'amont et dans celle d'aval. II paraît difficile d'admettre avec l'auteur que le coefficient «" soit toujours plus petit que l'unité, tandis que «' est toujours plus grand que celle-ci : d'ailleurs, M. Dupuit a considéré le cas abstrait où la section liquide serait » un rectangle indéfini », et l'on verra plus loin combien les sections des rivières s'éloignent de celte hypothèse.

1 Voir les Annales des Ponts et Chaussées, année 1847.

1 Etudes sur le mouvement des eaux dans les canaux découverts, par M. Dupuit, inspecteur général des Ponts-et-Ghaussées. 2* édition, Paris 1863.

166 NOTIONS NOUVELLES D'BYDRÀCLIQCE.

J'ai exposé précédemment une théorie de la force vive des courants, au moyen de laquelle j'ai établi une expression de la chute motrice employée pour vaincre l'inertie du liquide, depuis l'origine première du courant jusque dans une section où la vitesse moyenne est U; cette expression, que Ton peut, évidemment, appliquer aux rivières considérées dans leur état ordinaire, est

V et w désignant respectivement, dans la section considérée, la plus grande et la plus petite des vitesses de translation ; N représentant le résultat de l'intégrale définie d'une fonction qui dépend de la loi des vitesses. En conséquence, si nous désignons les valeurs de Y et de tu, par Y 1 et w* pour la section d'amont du bief considéré, et par V" et w" pour celle d'aval, puis, par z, la partie de la chute li 9 qui correspond au travail d'inertie I, nous avons

(6) z = 2g U + J-. [ (V* - wT - (V - Wf\ .

et I = SûU*.

lncidentellement, nous pouvons donner une expression du coefficient a" expression qui est, d'après les deux relations précédentes,

et qui peut, dans certains cas, donner une valeur numérique inférieure à l'unité.

48. Cas cT un tronçon qui reçoit un affluent. — Pour le tronçon d'amont de chacune de nos divisions principales des rivières (5), soient : <* Taire de la section d'aval de l'affluent, et u la vitesse moyenne dans cette section d'embouchure,

&i et Ui, la section et la vitesse moyenne du cours d'eau récepteur, dans la partie, peu éloignée du confluent, où le (rouble local produit parles eaux affluentes devient insensible, et où le mouvement de translation de ces eaux, progressivement infléchi par celui de la rivière, est arrivé à se confondre, au moins à peu près, avec ce dernier.

La masse liquide qui, dans l'unité de temps, fait invasion, a pour valent

Ui.

— — , et la perte de force vive qu'elle subit entre les sections *> et a iy peut être exprimée approximativement par

(7) — — K u - Ui)«

d'après un théorème généralement admis par les hydrauliciens pour les changements brusques de dimensions. En conséquence, le travail moteur d'inertie produit dans l'unité de temps sur le courant récepteur, par l'impulsion des eaux affluentes, peut être évalué par la différence

c'est la valeur qui doit être, ici, attribuée à I.

La moitié du produit (7) représente le travail moteur dépensé en pure perte, dans l'unité de temps, pour engendrer et entrelenir les tourbillonnements et les remous que le courant affluent excite autour de lui jusqu'à la section ^ du cours d'eau récepteur, dans laquelle le mouvemeut du liquide se confond avec celui de ce cours d'eau.

49. Observations concernant V ensemble d'une rivière et de ses affluents. — La force vive possédée par les eaux d'un affluent à leur entrée dans la rivière qui le reçoit, étant due à une partie du travail moteur dépensé par la gravité sur cet affluent, ne doit être regardée comme donnant lieu à un gain dynamique, que dans l'étude séparée du cours d'eau récepteur. En conséquence, si, pour obtenir l'équation du système d'une rivière et de ses affluents, on additione membre à membre les équations établies pour toutes les parties qui composent cet ensemble hydraulique, il faut, auparavant, supprimer les termes analogues à l'expression 8 de I, car, si on les conservait, un même travail de la gravité serait compté deux fois ; mais, il faut introduire dans le résultat de l'addition, la somme des termes correspondant aux forces vives perdues dans les confluences, et exprimées comme il vient d'être dit. Quant aux variations de la force vive de translation, qui peuvent avoir lieu de l'amont à l'aval de chaque bief, il serait inutile, en vue d'une équation finale d'ensemble, de les considérer séparément pour chaque bief, attendu que, remontant jusqu'à l'origine première de la rivière, on peut prendre pour valeur de la variation totale de la force vive de translation, celle que ce cours d'eau possède en arrivant à son embouchure.

168 NOTIONS NOUVELLES b'HYDBAULIQUI.

Considérations et résultats <f observation pour les applications de la théorie.

50. Du fond des rivières, et de la partie corrodée de leur lit. — Le fond ondulé des rivières est le réceptacle des matières solides entraînées qui se déposent, soit par suite d'un ralentissement, soit par l'effet de leur densité ; aussi tend-il plutôt à s'exhausser lentement qu'à être creusé, excepté dans quelques cas particuliers, par exemple, lorsque les eaux portées, par suite d'un coude, contre des collines qui les resserrent, donnent lieu, surtout en temps décrues, à des courants inférieurs rapides; les digues longitudinales produisent aussi, dans certains cas, un creusement, mais nous nous occupons ici des cours d'eau à l'état naturel ou libre. On a, notamment, constaté des exhaussements du fond, aux lieux où des rivières, en aval d'un passage resserré entre des collines ou des montagnes, débouchent dans une plaine : ainsi, l'un des ingénieurs les plus distingués de l'Italie, M. Brunati, a remarqué que, dans leur partie supérieure, le Pô et ses affluents relèvent continuellement leurs lits. Ces exhaussements, d'ailleurs lents, sont des conséquences des élargissements qui s'opèrent au sortir des gorges, et des diminutions de vitesses qui en résultent.

Nous voyons qu'en général, le fond ne doit pas être compris dans la partie corrodée b P du périmètre mouillé P : pour connaître celles des parois latérales, qui sont entamées, on aura le témoignage des riverains que l'on pourra d'ailleurs contrôler en remarquant qu'à égalité de cohésion des matières constituantes, la corrosion, s'il s'en produit, doit avoir lieu du côté où l'eau en contact avec la rive est animée de la moins faible vitesse. Enfin, la vue de revêlements défensifs est une indication sûre.

51 . Cas où Von n'a pas à tenir compte, soit des corrosions, soit du travail d'entraînement. — Lorsque les eaux du bief ou tronçon considéré sont limpides,

e' f — e' = o, et p = o

ce qui supprime deux termes dans l'équation de ce bief. Dans le cas contraire, l'observation de la proportion des matières solides en suspension, faite en amont et en aval du tronçon, donnera la valeur de S — e' : lorsque cette différence sera nulle ou à très peu près, cela indiquera le plus souvent que le trouble des eaux a été entièrement produit en amont du bief ; cependant, si celui-ci est long, il ne faudrait pas faire p — o avant de s'assurer

qu'il n'y existe pas d'érosion notable, car le fait que e" — é = o, peut provenir de quelque dépôt. Comme, d'ailleurs, c'est sur les rives, un peu audessous de la surface du courant, que les érosions doivent être le plus actives, il sera toujours facile de voir s'il s'en détache des particules solides, en quantité qui mérite qu'on en tienne compte.

52. Résultats d observation relatifs à la proportion des matières solides en suspension dans les rivières. — Cette proportion sera toujours facile à déterminer : on recueillera, dans les sections indiquées précédemment, et en prenant les soins nécessaires pour éviter des accumulations de matières solides dans le récipient, un volume connu des eaux troubles, par exemple dix litres, on pèsera ce volume, puis on le filtrera, et, après avoir desséché lentement le résidu jusqu'à une température de cent degrés, on en prendra le poids. D'après les résultats obtenus par divers ingénieurs, j'ai établi le tableau suivant qui indique en kilogrammes le poids des matières solides qui ont été trouvées, les circonstances n'étant pas exceptionnelles, dans un mètre cube du liquide en mouvement.

NOTIONS NOUVELLES d'hTMA CLIQUE.