VOLUMES

ANNUELS des pluies '.

SUPERFICIES des bassins.

des débits.

De la Seine

De la Loire

De la Gironde

Du Rhône

De l'Escaut l

Somme i de la Manche

des bassins < de l'Océan

du littoral f de la Méditerranée. .

Observations relatives à la théorie. — Dans la théorie qui va être exposée, je joins aux considérations rationnelles l'indication de propriétés et de résultats d'observation qui justifient ces considérations, ou qui peuvent être utiles pour les applications ; ces notions physiques sur les rivières s'ajoutent à celles qui ont été jusqu'ici l'objet du présent chapitre.

Je rappellerai d'abord que les torrents proprement dits ne peuvent être l'objet d'une théorie mathématique. Quant aux rivières, j'ai eu en vue leur état ordinaire, c'est-à-dire celui dans lequel leurs eaux restent contenues dans leur lit.

Avant de commencer l'exposé de cette théorie, j'ajouterai à ce qui a été dit précédemment sur les grandes crues, et au travail de M. Bel grand, faisant partie de son ouvrage intitulé La Seine, quelques conséquences qu j'ai déduites de l'étude des documents publiés par diverses auteurs pour une période de deux cents trente armées, sur les grandes crues de nos rivières les plus importantes.

37. Nouvelles notions concernant les grandes crues. — Il s'est produit en France, de 1649 à 1879, des crues exceptionnelles dans toutes les saisons, mais on n'en trouve pas pour les mois d'août et de septembre, mois qui sont, en conséquence, ceux du maximum de sécurité. Les probabilités pour que des événements météorologiques fassent élever le niveau des eaux, de

1 Le bassin de l'Escaut comprend ici la partie française des vallées de l'Escaut, dé la Scarpe et de la Lys.

* L'évaluation du volume d'eau reçu en pluie par le sol des bassins repose sur des données plus précises que celui des débits : il faudrait y ajouter le volume d'eau reçu annuellement en neiges par le même sol.

cinq mètres ou plus, au dessus de l'étiage, sont en France pour les autres mois, dans les rapports suivants, celle de janvier étant prise pour unité.

Janvier. Février. Mars. Avril. Mai. Juin. Juillet. Octobre. Novembre. Décembre. 4,00 1,7 1,0 0,6 0,4 0,6 0,4 0,4 0,8 1,00

Les lois du retour de ces phénomènes sont inconnues, et il s'est produit pour un même fleuve, enlre deux crues exceptionnelles, des intervalles variant d'un ou deux mois à un quart de siècle. Quant à la hauteur à laquelle les crues peuvent s'élever au-dessus du zéro des échelles locales, c'est-à-dire d'un étiagebas, mais non excessif comme ceux qui ont été cités précédemment, la plus grande parait être en France, dans la période de 1649 à 1880, celle qui a été atteinte par la Garonne, le 23 juin 1875 ; cette hauteur était de 9 m 70 à Toulouse, de 1 i m 70 à Agen, et de 1 3 m 34 à Caslets. Les grandes crues du Rhône, en aval de Lyon, paraissent être les plus élevées après cellesci : la Seine et la Loire occupent le troisième rang sous le rapport de la hauteur.

Les désastres qui résultent d'une crue exceptionnelle dépendent de divers éléments ; on sait que, pour une même rivière, ils augmentent avec la hauteur de cette crue, sa durée, et le temps nécessaire pour son écoulement; j'ajouterai que, si l'on compare à ce point de vue, les cours d'eau entre eux, il faut considérer en outre la grandeur et la vitesse du volume liquide qui se répand sur les terres ou assiège les maisons, les ponts et les remblais des chemins de fer ; on s'expliqnerait ainsi pourquoi la Loire est la plus dangereuse de nos grandes rivières, tandis que la Seine en est la moins destructive. Soient :

Y la rapidité qu'un cours d'eau acquiert en grande crue, A le volume de son grossissement au-dessus des bords de son lit, o le poids moyen du mètre cube du liquide, y compris les matières solides qu'il entraine. Le volume des sables et graviers qui, en se déposant sur les terres inondées, les stérilise, au moins pour une année, augmente avec A et * ; les affouillements croissent avec V, et la puissance destructive subie par les constructions pourrait être mesurée, à titre comparatif, par le produit

2 g Loi relative aux grandes variations des rivières. — Dans ses observations

sur la Garonne, M. Baumgarten a remarqué en temps d'inondation que, pour une même hauteur aux échelles hydrométriques, le débit était plus fort quand la rivière montait que lorsqu'elle baissait. Pour expliquer ce résultat et en déduire une loi, je remarquerai que, en général, les affluences qui occasionnent les crues plus ou moins rapides doivent produire, dans la partie d'un cours d'eau qui les reçoit, et en aval de cette partie jusqu'à une certaine distance, un accroissement de force vive : or, pour une même hauteur de la surface dans un bief déterminé, la masse liquide y est la même, et, par conséquent, la vitesse moyenne doit être plus grande en temps de crue que pendant les décrues où l'impulsion due à un excès d'affluence n'existe plus* En conséquence Je crois pouvoir énoncer la loi suivante : aux époques de grande variation, pour une même hauteur d'eau dans un bief d'une rivière, la vitesse moyenne y est plus grande pendant les crues que pendant les décrues.

Théorie physico-mathématique.

38. Division rationnelle du cours dune rivière ; phénomènes naturels sur lesquels cette division est basée. — Je divise le cours d'eau considéré, triparties principales dont chacune s'étend, de la section transversale N située immédiatement à l'amont du confluent d'un des tributaires de ce cours d'eau, à la section N" située de la même manière par rapport au confluent suivant; ainsi, chacune des parties principales contient en tête une confluence ; les phénomènes auxquels l'invasion des eaux d'un affluent donne lieu, s'accomplissent dans une région relativement courte ; soit N' la section terminant cette région que je considère séparément, je subdivise la partie souvent très longue qui est comprise entre les sections N' et N", d'après les propriétés suivantes qui résultent des observations des ingénieurs.

A l'exception des cours d'eau très lents, le fond des rivières est ondulé, de sorte que sa distance verticale à la surface est, alternativement, plus grande et plus petite que la moyenne hauteur d'eau ; lorsque cette hauteur est peu considérable, et particulièrement aux époques détiage, le courant est plus rapide au-dessus des hauts-fonds que dans les biefs plus profonds ; ceux-ci sont plus longs que les autres, on en rencontre qui ont de un à deux kilomètres. Cet ordre alternatif des profondeurs

d'une rivière est stable, c'est-à-dire que, si de grandes crues le bouleversent, il se rétablit progressivement après leur écoulement ; c'est une nouvelle preuve de la dépendance qui existe entre le régime ordinaire d'une rivière et l'élat du fond de son lit, dépendance que j'ai constatée en 1846 par des expériences, et signalée en 1854 dans le Traité de la mesure des eaux courantes.

Les inégalités naturelles de la largeur des cours d'eau tendent à compenser celles de la profondeur pour diminuer les différences de section transversale et, par conséquent, de vitesse.

Lorsque, dans un bief déterminé, la hauteur de la surface varie par l'effet d'un accroissement ou d'une diminution du volume liquide que ce bief reçoit, la variation des vitesses moyennes n'a lieu que dans une proportion beaucoup moindre, ce que j'explique par l'inertie de la masse du courant ; or, on a pu voir par le tableau I des variations mensuelles de hauteur, que celles-ci sont étroitement limitées dans l'état ordinaire des cours d'eau ; comme d'ailleurs une journée suffira toujours pour recueillir les données qu'exige l'application des équations qui vont être établies, on pourra adopter la moyenne entre la plus grande et la plus petite des hauteurs qui ont eu lieu pendant ces observations, à moins qu'il survienne une pluie abondante et persistante qui n'avait pas été prévue, cas dans lequel on attendra, pour recueillir les données numériques, que l'effet de cette pluie soit produit.

En définitive, la partie d'une des divisions principales précitées, qui s'étend de la section N' à la section N", peut être subdivisée en tronçons ou biefs dans chacun desquels les facteurs du travail mécanique des forces varient assez peu, soit de l'amont à l'aval à un instant déterminé, soit pendant la durée des observations, pour qu'il soit pratiquement permis d'adopter dans les calculs, des valeurs moyennes de ces facteurs.

39. Quantité de travail moyenne de la résistance du lit à l érosion. — Dans un grand nombre de cas, les parois latérales 1 du lit des rivières, parois que nous nommerons rives, sont usées lentement par le frottement de l'eau et par ses chocs contre les parties saillantes, effet qui se produit d'autant plus facilement que les terres et les sables sont plus pénétrés par le liquide. Dans chaque section transversale, cette corrosion n'a lieu, très souvent,

1 On verra plus loin que le fond des rivières n'est creusé que dans des cas exceptionnels.

avec quelque importance, que d'un côté, parce que le thalweg fluvial, ou, le lieu des plus grandes vitesses de l'eau, est rarement, sur une certaine longueur, au milieu de la largeur de la rivière : dans les parties sinueuses, il se trouve, de l'amont à l'aval, rapproché alternativement de Tune, puis de l'autre, des deux rives, et lorsque, sur la rive la plus éloignée, la vitesse est assez faible pour permettre des dépôts, le lit se déplace latéralement. Soient, en prenant le mètre et le kilogramme pour unités,

/ la longueur de l'une des subdivisions précitées,

£P la partie qui est rongée, du périmètre mouillé P de la section transversale moyenne du lit dans la subdivision considérée 1 ,

w r la vitesse du moyen mouvement de l'eau en contact avec celle partie,

P la résistance à la corrosion sur le mètre carré de surface.

L'intensité totale de la résistance dont il s'agit dans la subdivision considérée, est 6P/p, et le travail de cette résistance peut être exprimé pour l'unité de temps, par 6P/?t# r .

40 * Expression du travail d'entraînement des particules solides qui se mêlent à F eau. — Les matières solides contenues dans un courant ne proviennent souvent qu'en faible partie de l'usure de son lit; le ruissellement des eaux de pluie ou de neige amène dans celui-ci des terres arrachées aux versants du bassin ; en outre, à la suite des inondations, peu après qu'elles se sont écoulées, il se produit fréquemment dans les berges, des glissements ou des éboulements. Au point de vue dynamique, la présence de matières solides dans les courants, a deux effets : 1° la densité moyenne $, ou le poids du mètre cube fluide, est augmentée, ce dont il est facile de tenir compte en substituant dans les relations qui vont être établies, la valeur expérimentale de * pour le bief considéré. Occupons-nous de la seconde conséquence : je ferai remarquer que les particules solides, soit qu'elles se détachent du lit, soit qu'elles s'y trouvent amenées ou précipitées, arrivent dans le courant transversalement à sa direction, ce qui exige, pour chacune de ces particules, une dépense de travail moteur égale à la moitié de la force vive de transport qui lui est communiquée. Au premier abord, l'évaluation de ces forces vives et de leur somme paraît impossible; cependant j'en ai obtenu une expression approximative, en remarquant encore que les matières solides

1 P est la valeur vraie du périmètre mouillé, qui a été désignée précédemment parc S.

158 NOTIONS NOUVELLES D'flYDRACUQUB.

en suspension sont réparties transversalement sans grande inégalité : outre l'aspect des courants dont les eaux sont troubles, je puis citer des observations précises à l'appui de cette proposition. Un ingénieur distingué, M. Baumgarten, ayant mesuré dans la Garonne, en divers points de la section transversale, la proportion des matières solides mêlées à l'eau ', a observé le maximum de cette proportion, tantôt vers le fond, tantôt au milieu de la profondeur, et même quelquefois près de la surface; en outre, les différences qui avaient lieu de l'une à l'autre de ces parties de la section liquide, étaient très faibles. D'un autre côté, d'après les observations analogues qui ont été faites par la savante Commission américaine chargée de l'étude du fleuve Mississipi ', la proportion en poids, des matières solides, augmentait un peu de la surface au fond, ce qui indique une tendance aux dépôts; mais, sur des profondeurs de vingt à trente mètres, l'accroissement total parait n'avoir été que de -y- de la proportion existant près de la surface ; ce qui donnerait au plus une augmentation proportionnelle de ~ par mètre de distance verticale. Les profondeurs ordinaire de nos rivières étant inférieures à la moitié de celles du Mississipi, on voit par cet exemple et surtout par celui de la Garonne, que la répartition des matières solides y est à peu près uniforme.

Gela posé, soit m la somme des masses des particules qui, dans l'unité de temps et sur la longueur l du bief considéré, se sont mêlées à l'eau, et en ont reçu le mouvement de translation longitudinale, nous pouvons admettre que le centre de gravité de cet ensemble de particules solides coïncide avec celui du courant, et, par conséquent, que l'action motrice de la gravité a dépensé, dans l'unité de temps, sur la masse m, une quantité de travail -3- mU 1 , U étant la vitesse moyenne du courant, laquelle est égale au déplacement longitudinal, dans l'unité de temps, du centre de gravité du volume l a. Par suite de l'inégalité des vitesses imprimées aux particules solides, cette expression tend à être un peu trop faible, mais, d'un autre côté, une tendance inverse résulte de l'obliquité du mouvement d'arrivée d'une portion de ces particules.

On trouvera plus loin la détermination de la masse m et l'examen des

1 Annales des Ponts-et-Chaussées, juillet et août 1848.

2 Voir l'ouvrage intitulé : Report upon the physics and hydraulics, of the Mississippi river..., etc. Philadelphie, 1861.

différents cas, ainsi que de nombreux résultats d'observation concernant la proportion des matières solides en suspension dans les rivières.

41 • Du travail d inertie correspondant à la variation totale delà force vive dans une subdivision de rivière. — En établissant la possibilité de prendre, pour chaque subdivision, des valeurs moyennes des facteurs du travail de Faction motrice, et de celui des résistances, j'ai introduit une simplification théorique justifiée par les faits, et sans laquelle les expressions de ces quantités de travail seraient inutilement compliquées d'intégrations ; mais, si nous pouvons obtenir ainsi des résultats suffisamment approximatifs, c'est à la condition de tenir compte, dans les équations finales, du travail correspondant à la variation totale de force vive qui peut avoir lieu dans le bief considéré, de sa section d'amont à sa section d'aval, travail que je représenterai provisoirement par I, et qui est moteur dans ce bief quand la translation de la masse liquide y est ralentie, tandis que, si c'est une accélération qui a lieu, il s'ajoute au travail des résistances.

42. Pertes de travail moteur dues aux réactions des aspérités du lit et d V adhérence du liquide. — Ce qui a été dit dans la première partie de cet ouvrage, au sujet des réactions des aspérités des parois des tuyaux de conduite et des canaux artificiels, est applicable aux rivières, ou aux biefs, ou aux côtés d'un bief, qui ne sont pas rongés par les eaux. La partie du périmètre mouillé P, sur laquelle les aspérités restent fixes, est (1 — b) P : soient w la vitesse du liquide en contact avec ces dernières, et j* la somme des masses des molécules fluides qui les rencontrent, dans l'unité de temps, sur l'unité de longueur ; la perte de travail moteur due aux réactions de ces aspérités, au nombre desquelles il faut comprendre tous les obstacles fixes en saillie sur le lit, peut être évaluée par le produit -^ / f* w*.

En se rappelant aussi les considérations qui concernent la résistance provenant de la tendance des molécules d'eau à adhérer aux parois, et en remarquant que cette résistance doit se produire sur le périmètre mouillé tout entier, on voit que son intensité peut être exprimée ici par « P / : quant à sa quantité de travail, il se présente une difficulté par suite de l'inégalité des vitesses w r et w qui ont lieu, la première, au contact de la surface corrodée, et la seconde, le long de la partie sans érosion des parois du bief considéré ; à cet égard nous ne pouvons, sans tomber dans des complications non pratiques, que prendre la moyenne -f (Wr-f-w,)? entre I e * Y '~