NOTIONS
L'exposé qui suit est la reproduction de Leçons professées à l'École Polytechnique. La théorie de l'élasticité a été récemment introduite dans les programmes de cette École et le nombre des leçons qui lui sont consacrées est nécessairement fort restreint. On a pensé qu'il ne serait pas sans intérêt pour renseignement de publier un résumé qui, en raison de sa brièveté même, offre l'avantage de ne présenter que les parties strictement essentielles d'une théorie dont les éléments sont épars dans un grand nombre de Traités et de Mémoires originaux.
L — Théorie des tejvsiojvs intérieures.
i . Définition. — Soit un système de points matériels, infiniment rapprochés, dans lequel on suppose des forces intérieures. Imaginons, dans ce système, un élément plan dont Taire soit w^ le plan P de cet élément, indéfiniment prolongé, partage le système en deux parties A et B. Considérons, parmi les actions exercées par A sur B, celles dont la direction traverse oj et supposons
(6) que Ton opère leur réduclion comme si B était un solide invariable. On admet que le système de ces forces est réductible h leur résultante appliquée au centre de gravite M de l'élément plan ( * ), et cette résultante R est ce que Ton appelle la tension élémentaire sur celle des faces de Télément plan qui est contiguë à A.
La résultante R est généralement oblique à l'élément. Si elle est normale k cet élément et dirigée vers A, elle représente une traction; si, encore normale à cet élément, elle est dirigée vers B, elle représente une pression ; si elle est comprise dans le plan de l'élément, on Tappelle tangentielle.
2. La tension élémentaire, sur celle des faces de l'élément qui est contiguë à B, s'obtiendrait de même en composant celles des actions exercées par B sur A dont la direction traverse w. En vertu du principe de Faction et delà réaction, cette nouvelle résultante est égale et opposée k la précédente, de sorte que les tensions élémentaires sur les deux faces d'un élément plan quelconque sont égales et opposées.
3. Il résulte immédiatement de la définition précédente que, si l'on considère dans le système un volume V limité par une surface quelconque, le système des actions exercées par les points extérieurs à V sur les points intérieurs est équivalent au système des tensions élémentaires, exercées sur les faces extérieures de tous les éléments de la surface limite.
(•) En fait, le système des forces considérées est réductible à la résultante R appliquée au centre de gravité de l'élément plan et à un couple dont l'ordre infinitésimal est supérieur de deux unités à celui de la résultante; on ne lient pas compte de ce couple.
4. Divisons la résultante R par Taîre w; on admet que le quotient tend vers une limite finie quand w tend vers zéro, et cette limite E est ce que Ton appelle la tension par unité de sur/ace, ou simplement, la tension au point M sur le plan P. En considérant w comme infiniment petit, on peut poser R = Ea), de sorte que la tension élémentaire s'obtient en multipliant la tension par Taire de Télément.
5. La tension E, sur des plans P parallèles, menés par tous les points d'un système, varie d*un point à un autre en intensité et en direction ; de plus, en un même point M, elle varie avec l'orientation du plan P; enfin, s'il y a mouvement intérieur, pour un point et une orientation déterminés, la tension varie avec le temps.
Si donc on désigne par
X, y^ z les coordonnées du point M ;
a, p, Y les cosinus directeurs de la normale au plan P
dirigée vers la région conliguë à celle des faces de ce
plan à laquelle se rapporte la tension ; X, Y, Z les composantes de la tension ;
les quantités X, Y, Z sont, en général, des fonctions des variables (x, ^, ^; a, P, y; t) qui, si elles étaient déterminées, feraient connaître à chaque instant la direction et l'intensité de la tension élémentaire sur un élément quelconque.
Nous allons établir que la détermination de ces trois fonctions revient à celle de six nouvelles fonctions de quatre variables seulement (x, y^ z^ t) et que, de plus, ces nouvelles fonctions sont liées entre elles par trois équations aux dérivées partielles, linéaires du premier ordre.
Ces diverses relations résultent de la nécessité qu'une portion quelconque du système soit en équilibre sous
(8 ) ractiou des tensions élémentaires exercées sur sa surface et des forces qui sollicitent sa masse.
6. Afin d'exprimer les conditions de cet équilibre, nous considérons un point quelconque M du système et un élément de volume xs dont ce point fasse partie. La densité en M étant p, nous désignerons par proXo, pr^Yo) pnrZo les composantes, suivant les axes coordonnés, de la résultante des forces extérieures qui sollicitent la masse de l'élément rn. Si le système est eu mouvement, les composantes Xo, Yo, Zo doivent comprendre, d'après le principe de d'Alembert, les forces d'inertie dont les valeurs sont, pour l'unité de masse,
~ 'SF' ~'di^' ~'dt^'
Nous désignerons, en outre, par les indices i, 2, 3 les valeurs que prennent les composantes X, Y, Z de la tension lorsque la direction de la normale au plan sur lequel elle s'exerce se confond successivement avec les directions positives des axes OX, OY, OZ. Les neuf quantités
Xi, Yi, Zi,
^2, Yî, Zg,
sont, ainsi que Xq, Yo, Zq et p, des fonctions de quatre variables, qui sont le temps t et les coordonnées x, y^ z du point M.
7. Equilibre du parallélépipède élémentaire. ; — Cela posé, iniaginons que Télément x*5 soit un parallélépipède dont les arêtes a, &, c soient parallèles aux axCvS et dont le point M soit le centre.
On sait que les forces extérieures qui agissent sur cet
(9) élément satisfont aux six conditions d'équilibre d'un solide invariable, suivant lesquelles : ,
1° lia somme des projections des forces sur trois axes est nulle pour chaque axe -,
2° La somme des moments des forces par rapport à trois axes est nulle pour chaque axe.
Le système de ces forces est équivalent aux tensions élémentaires agissant aux centres des six faces dont les aires sont £c, ca^ aby et aux forces ptnXo, pwYo, ptnZo appliquées au point M.
Evaluons d'abord la somme des composantes de toutes les forces suivant l'axe des x\ les faces A et A' donnent à cette somme les deux termes
dont l'ensemble se réduit à m — r-* •
dx
Le groupe des faces B, B' et celui des faces C, CV donnent de même, respectivement, ^'-j-^ ^^ ^ 'IT^'' enfin,
les forces qui agissent sur la masse ajoutent un dernier
dX, d3;
dX,
dy
dXi "^ dz
+ pXo-
dy
dz
+ pYo =
rfZ, dx
^ dy
■^ dz
+ pZo =
( -o) terme pc^Xo* En égalant à zéro la somme de ces forces et en divisant par xs^ on a la première des équations suivantes; les deux autres résultent d'une sommation semblable des composantes parallèles à OY, puis des composantes parallèles à OZ :
8. Écrivons maintenant Téquation des moments par rapport à un axe parallèle à OX passant par le point M. La résultante des forces pwXo, p^Y©, pwZo, étant appliquée au point M, donne un moment nul. Les composantes des tensions élémentaires rencontrent Taxe ou lui sont parallèles, à Texception des deux composantes, parallèles à OZ, appliquées en B, B' et des deux compo-
Fig. 2.
saules, parallèles à OY, appliquées en C, C. Les deux premières sont dirigées en sens contraires et leurs valeurs ne^ diffèrent de la composante caZo relative au point M que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes; elles forment un couple dont le bras de levier
est égal à & et dont le moment est
caZj X 6 = aôc Zj= nrZj.
De même, les forces appliquées en C, C constituent un autre couple dont le moment est — tnYa. L'équation des moments est; par conséquent, xs{Tj2 — Y3) = o; d'où Z,= Y,.
On a deux équations analogues en rapportant les moments h des axes parallèles à OY et OZ passant par le point M, ce qui donne le système
(2) Z2=Y3, X3=Zi, Yi = Xj;
les équations expriment que, des neuf composantes, six soiit égales deux à deux. Afin de préciser les composantes égales, désignons les neuf composantes par la lettre E affectée de deux des indices x^ y^ z; le premier indiquant Taxe perpendiculaire au plan sur lequel s'exerce la tension, le second l'axe parallèle à la composante. On a ainsi
1 Xi = Ex^xi Yi = E,^,y,
Zi = Ex,zi
(3) < Xî=Ejr,a, Y2 = Ey,y,
Z2 = Ey^zi
\ X3 = Ez^xy Y3 = Ez^y,
Z3 = Ez^zi
et les relations (2) deviennent
( 4 ) Ey^z = ^z,yj E2,ar = Ex^zf
Ex,y=Ey^X
Elles expriment que, si Ton intervertit les deux indices, la composante conserve la même valeur.
