Introduction des N, T. — Nous poserons désormais
Ex,X= Ni, Eyy= Nj, Ez^Z = N3 ,
Ey,s= Ti, E-^a;= T2, Ex,y= T3.
D'après cette notation, les N donnent les composantes
normales de la tension pour les Irois plans perpendiculaires aux axes et les T donnent les composantes tangentielles qui sont égales deux à deux. Le système des neuf composantes est alors représenté par le tableau suivant
et les équations (i) peuvent s'écrire
10. Équilibre du tétraèdre élémentaire. — Supposons, en second lieu, que l'élément de volume tïj, dont le point M fail partie, soit un tétraèdre dont les arêtes AB, AC, AD sont parallèles aux axes. Désignons par a,
Fig. 3.
jî, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à la face BCD, par to Taire de cette face, par to,, W2, W3 les aires des trois faces triangulaires respectivement perpendiculaires à OX, OY, OZ.
( «3 ) D'après un lliéorènie sur la projection des aires,
on a
(6) 0)1 = ato, u)j= pto, t03=Y^-
Cela posé, les tensions élémentaires sur les quatre faces du tétraèdre et les forces qui sollicitent sa masse se faisant équilibre, les sommes des projections de ces forces sur chaque axe doivent être nulles.
En projetant les forces sur l'axe des x, les faces w, Cl),, 0)2, CU3 donnent respectivement les termes wX, — W|N,, — W2T3, — W3T2; les forces qui agissent sur la masse donnent le terme pnrXoi 77 étant le volume du tétraèdre qui est un infiniment petit du troisième ordre négligeable par rapport aux autres qui sont du second. En égalant à zéro la somme de tous ces termes et en ayant égard aux équations (6), on a la première des équations suivantes
( Z = T,a4-TiP-hN3Y,
les deux autres équations résultant d'une sommation semblable des composantes parallèles à OY, puis parallèles à OZ.
Les équations (7) montrent comment X, Y, Z dépendent de a, p, y; il résulte de ces équations que la détermination de X, Y, Z se réduit à celle des six fonctions N,T, lesquelles sont à quatre variables x, y^ z, t et doivent vérifier les trois équations (5), qui sont aux dérivées partielles linéaires du premier ordre.
H. Composante de la tension suivant une direction quelconque, — Soit MN(a, p, y) la normale à un plan
{ '4 ) P passant par le point M *, projetons la tension correspondante sur une direction quelconque MS(a', p', y'). Désignons cette projection par E,,^;, le premier indice se rapportant à la normale au plan et le second à la direction suivant laquelle on estime la tension. On a
et, en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs (7), on obtient
l E„,,= Ntaa'-+-N2pp'+N3YY' + Tt(pY'-HTP') ^"^^ \ -4-T2(Ya'-i-aY')-+-T3(a3'-+-pa').
Cette expression ne changeant pas quand on permute les deux systèmes de variables (a, P,y), (a', P', y')^ on a
ce qui démontre un théorème général dont la réciprocité des composantes tangentielles (n^'S) n'est qu'un cas particulier.
12. Surface directrice. — En particulier, la composante de la tension, normale au plan sur lequel elle s'exerce, s'obtient en confondant la direction MS avec la direction MN. En désignant cette composante par N. la formule (8) donne
(9) N = Nia«-i-Njp2-+-N3Y«-l-2TipY-H2T2Ya-+-2Tjap,
et cette composante sera une traction ou une pression suivant que sa valeur sera positive ou négative.
Supposons maintenant qu'à partir du point M on porte, sur la normale au plan, une longueur MN dont
le carré représente la valeur absolue de ^ et, le point M
étant pris comme origine, désignons par x^y, z les
( «5 ) coordonnées du point N. On aura
en prenant le signe + ou — suivant que N est positif ou négatif. En portant dans Téquation (9) les valeurs a, p, Y tirées des équations (10), il vient
(11), Niar*-+-Nj^»-f-N3^î-h2Ti7^-hîAT,ziF-f-2T3a?7 = iti,
de sorte que le lieu du point N est une surface du second degré ; cette surface est dite directrice.
Lorsque la valeur de N conserve le même signe, quelle que soit la direction (a, p, y), cette surface est un ellipsoïde^ mais, si cette valeur change de signe, Tellipsoïde est remplacé par le système de deux hyperboloïdes, dont l'un correspond au signe -4-, l'autre au signe — . Ces deux hyperboloïdes, dont Tun est à une nappe et Taulre à deux nappes, sont conjugués, c'està-dire qu'ils ont le même centre avec les mêmes axes et un même cône asymptote.
La composante N est nulle pour les plans qui sont perpendiculaires aux génératrices du cône asymptote et Ton a, sur ces plans, des tensions tangentielles.
13. Tensions principales, — Si Ton prend pour axes coordonnés les axes principaux de la surface directrice, les rectangles disparaissent de son équation, de sorte que Ton doit avoir T< = o, T2= o, T3 = o; les composantes tangentielles sont donc nulles sur des plans perpendiculaires aux nouveaux axes, et les tensions sur ces plans se réduisent à leurs composantes normales. Donc, en tout point du système, il y a trois plans sur lesquels les tensions sont normales.
Les trois tensions, normales aux plans sur lesquels elles s'exercent, sont dites principales n
14. Ellipsoïdes des tensions, — On obtient une autre surface du second degré, qui est toujours un ellipsoïde, en portant, à partir du point M, sur la direction même de la tension, une longueur ME égale à sa grandeiu\
En effet, les coordonnées du point E sont alors les composantes X, Y, Z de la tension et l'on déduit des relations (7), pour a, P,y, des valeurs linéaires en X, Y, Z. En portant ces valeurs dans Téquation
on a Téquation d'un ellipsoïde.
Les directions des axes de cet ellipsoïde se confondent avec celles des tensions principales^ car, en prenant celles-ci pour axes coordonnés, on a
et, des équations (7) réduites aux suivantes
X = Nia, Y = N,p, Z = N3Y, on tire l'équation
qui est celle d'un ellipsoïde rapporté à ses axes.
15. Formules de transformation des tensions, — Supposons que l'on change la direction des axes coordonnés \ soient
X = OLiX' -\- oL^y H- as z%
- = Tia?'H- Y2y-f- Y3^'
( '7 ) les formules de transformation, dans lesquelles les lettres a, p, Y affectées des indices i, 2, 3 représentent, suivant la règle connue, les cosinus des angles que les nouveaux axes font avec les anciens.
Nous avons désigné par (N, T) les composantes des tensions exercées, au point M, sur des plans perpendiculaires aux anciens axes ; appelons de même
les composantes, suivant les nouveaux axes, des tensions exercées, au même point M, sur des plans perpendiculaires aux x\ y ^ z'.
Les (N', T') sont les coefficients de l'équation de la surface directrice rapportée à des parallèles aux nouveaux axes, menées par le point M, et il suffit de porter les valeurs précédentes de x^ y^ z dans Téquation (1 1), pour obtenir les expressions suivantes qui donnent les (N', T') en fonction des (N, T),
N; = N,aî-i-Njpî-^N3YÎ-+-2T,piYi -f-aTîYiai + aTsaipi,
N2'=Nia|H-N2pl-i-N3Y|-^2T,PjY2
N'3 = N,al + N2p|-^N3Y§ + 2T,?3T3 -t-2T2Y3a3-H'îT3a3p3;
T; = Nia2a3H-N2p2p3-t-N3Y2Y3-^T,(p2Y3^Y2p3) -HTj(Y2a3-+-a2Y3)+T3(a2p3H-p2a3)»
T'2=:Nia3ai+N2P3Pi + N3Y3Yi-^Ti(p3Yi--Y3?i) -+-T2(Y3ai-+-a3Yi)-+-T3(a3Pi-r-p3ai),
r3-Niaia2-+-N2Pip2+N3YiY2-^Ti(piY2-+-Yi|32 -+-T2(Yi«2-HaiY2) f-T3(a,?2 !-Pia2).
