VI. — Mouvements intérieurs des systèmes isotropes
49. Equations des nioui^ements intérieurs. — Considérons un système élastique homogène, isotrope, soustrait à toute force extérieure et indéfini dans tous les sens; supposons que les points de ce système, ayant été déplacés, soient abandonnés avec des vitesses initiales à l'action des forces intérieures. Le milieu se mettra en mouvement, et, si l'on désigne par m, t^, w les projections du déplacement du point dont les coordonnées étaient x, jj z dans l'état d'équilibre, ces projections devront être considérées comme des fonctions de jt, y, z et du temps t.
Ces fonctions satisfont aux équations (44) ^tii, en faisant abstraction des forces extérieures Xq, Yq, Zq,
(48 ) deviennent
(74) {(A + ix)— -+-{xA^ =P^'
Le problème général des mouvements vibratoires consiste à trouver des fonctions m, v^ w satisfaisant à ces trois équations aux dérivées partielles du second ordre, et telles que leurs valeurs initiales, ainsi que celles de
leurs dérivées -77 > -77? -7-? soient des fonctions données dt dt dt
des coordonnées x, j^, z.
Nous nous bornerons à montrer, par un exemple
simple, comment on peut, à l'aide des équations (74)1
étudier les propriétés de mouvements particuliers pour
lesquels on connaît a priori la forme des fonctions qui
représentent les déplacements.
50. Mouvements simples. — On appelle moui^ement sim,ple OM m,ou\^em.ent par ondes planes tout mouvement dans lequel les déplacements sont de la forme
Iu =p cos(aa7 -{- by -\- cz — st -\- cp), ç = q co%{ax -{- by ~h cz — st -\- ^), w = rcos{ax-\- by -\- cz — 5^ + cp),
p^q-, /'5 «, i, c; s^ cp désignant des constantes.
Examinons d'abord les propriétés générales de ces mouvements que Ton a à considérer dans un grand nombre de théories physiques.
ol. Les formules (jS) montrent d^abord que Ton a
constamment
Il ç w
(49) de sorte que, pour un point quelconque, le mouvement est rectiligne.
Désignons par p la distance du point (x, j^, z) au plan, passant par Torigine, représenté par l'équation
(76) aX + 6Y-f-cZ = o.
En posant
on a
Ap = ax -\- hy -H cz,
elles formules (76) peuvent s'écrire
/ u =pcos{hp — 5^ -hep),
(78) ' -. ç = qcos{hp — s^-l-«p),
[ MP> = rcos(Ap — 5f-hcp),
On en conclut que tous les points situés à la même distance du plan représenté par l'équation (76) sont, au même instant, déplacés de la même manière : de là la dénomination de mouvements par ondes planes donnée aux mouvements dont il s'agit.
S2. Pour une valeur donnée de t^ les déplacements u, Uj w prennent les mêmes valeurs lorsque p s'accroît d'une quantité /, telle que /i/ == 27C5 cette quantité, déterminée par la relation
représente ce que l'on appelle la longueur d^ ondulation.
Pour une valeur donnée de p, .les déplacements i/, ç^^ w prennent les mêmes valeurs lorsque t s'accroît d'une
(5o) quantité t, telle que ^x = au^ cette quantité, déterminée par la relation
représente ce que Ton appelle la durée de la vibration .
Enfin y les valeurs des déplacements restent les mêmes si Ton fait croître t de A« et p de Ap, pourvu que Ton suppose
(8j) AAp — 5Ai = o,
par conséquent
Ap
la valeur de 10 étant
La quantité (0, déterminée par la relation (82), représente la vitesse de propagation.
53. Mou\^enients simples compatibles , — Cherchons maintenant les conditions auxquelles doivent satisfaire les déplacements d'un mouvement simple pour que ce mouvement puisse se propager dans un milieu isotrope donné, c'est-à-dire soit compatible avec la constitution de ce milieu.
Les expressions (70) doivent alors satisfaire aux équations (74) î si Ton pose, pour simplifier,
ax -h by -h cz — st -^^ = ^^
les valeurs (78) donnent
6 = — (ap -\- bq -\- cr) sirn}^, -7- = — a{ap -h bq -h cr) cos^,
dx d^u dV^
et la substitulion de ces valeurs, dans la première des équations (74)> donne, en supprimant le facteur commun cos^, la première des équations
!(X -\- \i.)a{ap -\-hq-\- cr)-\-(yLh^— pS')p = o, (X-f- fi)6(a/?H- bq -hcr)-{-{iih'^-'ps^)q = o, (X H- (x) c(ap -+- hq -+-cr)-h(fi.A2 — p^^) r = o,
les deux autres résultant de la substitution des valeurs (^5), faite de la même manière, dans la seconde, puis dans la troisième des équations (74)-
51. Si Ton ajoute les trois équations (83), respectivement multipliées par a, è, c, on trouve
(84) {ap -\-hq-\- cr) [(X -+-i\i.)h'^— p**] = o.
Il faut donc que Ton ait, ou ( ). -f- 2 [jl ) A^ — p52=o, o\x ap -\- bq -\- cr = o .
55. Vibrations longitudinales. — Dans le premier cas, la relation
(X -h 2fl.)A2 — p52 = o
donne, pour la vitesse de propagation w = ^ ,
Déplus, puisque \kh- — 0^2 - — (X + [jL)/i2^ j^s équations (83) donnent
(86) ^ = f = -• abc
Or />, ^, /' sont proportionnels à u, v^ \v\ a^ A, c sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale au plan fixe représenté par l'équation (61)^ donc les relations (86) expriment que la vibration est perpendiculaire au plan de Ponde.
Les vibrations simples, normales à l'onde plane, se propageant avec la vitesse (85), sont dites longitudinales^
56. P'ibrations transversales. — Dans le second cas, Téquation ap + bq -h cr = o exprime que la vibration s'effectue dans le même plan de l'onde; de plus, les relations (83) se réduisent à
|lA2 — ps*= o,
ce qui donne, pour la vitesse de propagation.
La dilatation cubique, donnée par la formule 6= — (ay[7 -f- i^ -hc/)cosA, est égale à zéro, de sorte que le mouvement a lieu sans que la densité du milieu soit altérée.
Les vibrations simples, parallèles à l'onde plane, se propageant avec la vitesse (87), sont dites transitersales,
57. En résumé, les mouvements simples qui peuvent se propager dans un milieu homogène et isotrope appartiennent nécessairement à l'un des deux systèmes de vibrations, longitudinales ou transversales. Les vitesses de propagation, différentes pour les deux systèmes, ont, pour chaque système, une valeur déterminée restant la même quelles que soient les durées et les amplitudes des vibrations propagées. Enfin il est à remarquer que, dans tout mouvement longitudinal, la direction de la vibration est déterminée-, le mouvement est polarise. Au contraire, dans tout mouvement transversal, la vibration n'est assujettie qu'à être dans le plan de l'onde^ son orientation dans ce plan peut être quelconque.
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58. Propagation de la lumière dans un milieu isotrope, — Dans la théorie des ondulations, on attribue les phénomènes lumineux aux vibrations d'un milieu élastique particulier. On admet que, dans les corps non cristallisés, ce milieu peut être considéré comme isotrope et Ton suppose que ses vibrations sont régies par les équations ( 74)» avec la condition spéciale )v -}- 2 [jl =: o.
En posant - = e, les équations peuvent alors s'écrire
dt^ \ dzj
La condition X H- 2 [jl= o attribue une valeur nulle à la vitesse de propagation des ondes longitudinales, de sorte que, par suite de l'hypothèse admise, le milieu ne peut propager que des ondes planes transversales, non polarisées avec la vitesse o) = y/ë^ la même dans toutes les directions.
59. Propagation de la lumière dans un milieu cristallisé. — On peut rattacher la théorie physique de la double réfraction cristalline à la théorie de l'élasticité en admettant que, dans un cristal transparent, il existe trois directions telles qu'en rapportant à ces directions les vibrations de Tétlier, ces vibrations soient régies par
les équations
/' d^ii /. db\
[dï^='[^''-di)'
(«^^ Vdrr-fK'^-'-dyy
qui ne dîHèrenl de celles des corps isotropes que par la substitution de trois coefficients distincts e,/, g au coefficient unique e.
Pour qu'un mouvement, représenté par les formules (75), puisse se propager dans le milieu, il faut que les déplacements m, ^, w satisfassent aux équations (89); en opérant comme au n° 53, on trouve les trois conditions
/ s^p = e [h'^p — a{ap -+• bq -^ cr)], (90) I s^q = f[h'-q — b{ap -\- bq -h cr)],
\ s^r = g[k^r — c{ap -\- bq -\- cr)].
Désignons par /, m, n les cosinus directeurs de la normale à l'onde plane, de sorte que
abc
/=-, m = -ry n = -r-
En divisant par /i* les équations (90) et observant que ^ = (i>, il vient
/ (a>2 — e)p =^ — el {Ip -h mq -h nr).
Ces équations sont linéaires et homogènes en p, q, /•, et, en éliminant ces trois quantités, on a une équation du troisième degré en w^ donnant les vitesses différentes avec lesquelles une onde plane peut se propager dans la direction (/, m, n). Pour faire Télimination, il suffit d'écrire les équations de la manière suivante :
(92) — —j — = — -/ — = . = —(^lp-^niq-\-nr)
el fm gn ^ ^ ^ ^
0)2 — e (jd^ — / 0)2 — g On en déduit immédiatement l'équation
(|ui admet une racine nulle.
(91) <^ {îM^ — f)q=—fm{lp-\-mq-\-nr),
' g)r = — gn{lp H- mq -H nr).
( 55 ) Pour cette racine, les équations (92) donnent
ces équations correspondent à un mouvement simple longitudinal; mais la condition o)2= o montre que ce mouvement ne peut pas se propager.
Les deux autres racines o)^ sont fournies par Téquation
(94) ;;^^zre-^-;;^:rj-^;;^^^ = ^^
qui coïncide avec Téquation aux vitesses des ondes planes trouvée par Fresnel.*
A chacune de ses racines correspond, d'après les équations (77)7 une direction déterminée de la vibration, de sorte que, dans chaque direction, se propagent, avec des vitesses différentes, deux ondes planes polarisées.
( Extrait des Nouvelles Annales de Mathématiques^ 3* série, t. Vil ; novembre et décembre 1888. )
U97fr Paris — 1o«pr. GAUTHIER-VILLARS ET FILS, quai des Grands-AugastlDs. &5
