Les valeurs (63) donnent d'abord

, , , xdx-^-ydy ,

udx -i[- v dy -^w dz = t — - -h cz dz,

et l'on a, par la relation (62),

X dx -^-y dy — r dr.

Il en résulte que l'expression précédente est égale à £ dr •+- cz^, et qu'elle est par suite la différentielle totale de la fonction

cp = j zdr-h -cz^

Les valeurs (63) des déplacements sont donc les dérivées partielles de la fonction cp et il suffit, pour satisfaire aux équations indéfinies de l'équilibre, d'exprimer que la dilatation cubique est constante. Or on déduit des valeurs (63)

Idu x^ dz y^ dx r^ dr r^ ' dv y^ dz x^

Il en résulte

dr r

et, par suite, eu désignant par a une constante, on peut écrire

(6-) Tr-^-r^^"-

L'intégrale générale de cette équation est

(68) z^ar-^-,

et, en adoptant cette valeur, les déplacements satisfont aux équations indéfinies, quelles que soient les constantes arbitraires a, i, c\ nous allons déterminer ces constantes de manière à satisfaire aux équations définies ou conditions à la surface.

48. Substituons les valeurs (63) dans les expressions (4o) des (N, T). En remarquant que, d'après les relations (66) et (67), on a

= îta -h c, on trouve

I/rr* d- r* \ N3= X(2a + c)-h2[JLC T3=2[X^/^^ — -, ) *

Pour simplifier Tétude des tensions autour d'un point, faisons passer par ce point le plan XOZ \ on a alors

ar=r, J = o,

el les valeurs ei-dessus deviennent

Ni=X(2a-hc)-h2Ui-^9 Ti=:o, ar

^3= l(2a-i-c}-h2iic, T3— o.

Les composantes tangentielles étant nulles, les tensions Ni, N2, N3 sont principales. En remplaçant e par sa valeur (68), les expressions de ces tensions peuvent s'écrire

Ni== 2(1 -h II)

(70) \ TVT .^ V ^ 2!X^

^' ^ ^ N2= 2(X-h jJL)a-hXc-f- -^,

N3 = 2 X a -I- ( X H- 2 [JL ) c.

Désignons maintenant par /q, f\ les rayons des surfaces cylindriques qui limitent intérieurement el extérieurement le solide, et par Pq, P^ les pressions qui s'exercent normalement et unitormément sur ces surfaces; soit enfin F la traction appliquée sur l'unité de surface de chacune des deux bases. En exprimant que l'on a :

2" Sur la surface cylindrique extérieure, '^^^^^ — P^ ^

3° Sur la base, N3= F, on a trois équations

qui déterminent a, i, c, et, par les valeurs que l'on obtient ainsi, toutes les conditions d'équilibre sont satisfaites.

2(A-|-{Jl)a-|-AC ^ =-

-Po,

2(A --h |x)a-i- Âc ^ =-

-Pi,

i\a -\- Çk -^ 'X\i.) c — F,

La première et la deuxième des équations (71) donnent d'abord

rfPi

et ces relations donnent les valeurs définitives de N», N2- Enfin la troisième équation (71) et la première (72) donnent a et c, de sorte qu'on a le système de valeurs