b : 6), et relativement aux arêtes du rhomboèdre, d

5° Par une facette sur les angles des sommets, fig. 76. Cette modification produit deux plans horizontaux, qui deviennent les

i38 nvai i. chapitre iv.

bases de tous les cristaux prismatiques. Combinée avec la modification précédente, elle donne un prisme hexagonal, tourné comme celui de la figure 60. Le signe de ces faces terminales est, relativement aux axes, (a: 006: 006: 006), et relativement aux côtés de l'angle A, (Bl B1 B1), ou a1 (Haiiy).

6° Par trois facettes sur les sommets, correspondantes aux faces, fig. 77. Forme dérivée : rhomboèdre dont la position est la même que celle de la forme fondamentale. La notation des faces de ces rhomboèdres est, relativement aux quatre axes du prisme hexagonal, (m a : 00 6 : b : 6), et par rapport aux arêtes culminantes du rhomboèdre primitif [mB : m B : B], ou a*. Ces rhomboèdres reproduisent dans une position différente, la position normale, ceux que les autres modes de dérivation produisent en position diagonale : c'est une conséquence de ce que les rhomboèdres ne sont que les formes hémicdriques des di-hexaèdrcs, et que par conséquent chaque rhomboèdre doit avoir son rhomboèdre complémentaire.

70 Par trois facettes sur (es sommets , alternes avec les faces, fig. 78. Forme dérivée : autre rhomboèdre, en position diagonale avec le rhomboèdre fondamental.

8° Par six facettes sur les sommets, fig. 79. Forme dérivée: scalénoèdre, qui dans certains cas particuliers peut se transformer en dodécaèdre à triangles isoscèles.

90 Par deux facettes sur les angles latéraux, fig. 80. Forme dérivée : scalénoèdre en général, pouvant dans certains cas devenir un dodécaèdre à triangles isoscèles.

io° Par une facette sur les angles latéraux. Cette modification peut donner lieu à deux cas différents. Généralement la facette modifiante sera oblique à Taxe; on aura alors six plans, qui s'inclineront également trois à trois vers les deux extrémités de l'axe (fig. 81) ; et la forme dérivée sera un rhomboèdre. Les facettes modifiantes peuvent se rejeter soit du côté des faces du rhomboèdre fondamental, soit du côté de ses arêtes culminantes : dans le premier cas, le rhomboèdre secondaire sera tourné dans le même sens que le primitif; dans le second, il aura ses faces en sens inverse. Lorsque ce dernier cas a lieu, il peut se faire qu'il devienne égal à l'autre rhomboèdre; et la combinaison de ces deux rhomboèdres égaux, en position diagonale l'un à l'égard de l'autre, donnera une nouvelle sorte de dodécaèdre À triangles isoscèles, qui simulera encore les di-hexaèdres du système précédent, mais qui s'en distinguera par une symétrie

ÉTUDE DES SYSTÈMES CRISTALLINS. 1 3û .

différente; car, malgré cette ressemblance apparence, il n'est rien autre chose qu'un di-rhomboèdre, c'est-à-dire une réunion de deux rhomboèdres distincts.

La facette modifiante peut être placée sur l'angle latéral, de manière k être parallèle à l'axe, et par conséquent verticale. Dans ce cas, on a pour la modification totale six plans verticaux (fig. 8a), qui sont les pans d'un second prisme hexagonal, tourné comme celui de la fig: 67, et par conséquent en position normale, tandis que celai de la figure 60 est en position diagonale. Le signe des faces de ce prisme est, relativement aux axes (00a: 006:6: 6), et relativement aux arêtes de l'angle latéral, (a D : 2 D : B), ou, selon Hauy et Lévy, c*.

Les deux prismes hexagonaux, si on les considère sous le rapport physique, diffèrent par leur structure, et par conséquent par la disposition des clivages à l'intérieur: ainsi, dans l'espèce du carbonate de chaux, le prisme en position normale se clive sur les arêtes alternatives des bases, tandis qufî le prisme en position diagonale se clive au contraire sur les angles pris alternativement. Ils différent aussi par la manière dont ils se comportent dans leur combinaison avec un même rhomboèdre, par exemple le rhomboèdre fondamental. Les faces de celui-ci, lorsqu'elles s'ajoutent au premier prisme, correspondent à ses pans; lorsqu'elles s'ajoutent au second prisme, elles correspondent à ses arêtes longitudinales. La combinaison des deux prismes hexagonaux donnerait un prisme dodécagone équiangle, analogue par sa base et par sa symétrie au di-dodécaèdre à triangles isoscèles, dont nous avons parlé p. i3a, et qui, pour les mêmes raisons que celui-ci, ne peut jamais avoir une base régulière, en prenant ce mot dans le sens rigoureux que lui donnent les géomètres.

On connaît plus de cinquante espèces minérales dont les formes cristallines se rapportent au système rhomboédrique. Nous citerons ici pour exemples, le calcaire spathique, le corindon, la chabasie, le fer oligiste, le cinabre et la dioptase.

Qutre les deux modes principaux de symétrie qui caractérisent les systèmes di-rhomboédrique et rhomboédrique, le prisme hexagonal en admet d'autres encore, qui pourraient motiver l'établissement d'autant de systèmes particuliers (1). Mais, parce que quelques-uns de ces systèmes n'ont pas été jusqu'à présent

(t) Nous avons admis ces systèmes particuliers dans une classification gêné* raie des systèmes .cristallins, que nous avons proposée en 1840, dans notre Thés*

l4o L1VBE I. CHAPITRE IV.

observés dans la nature, que les autres sont excessivement rares, et que les formes qui leur sont propres ne se montrent jamais que. subordonnées, par rapport à certaines formes des deux systèmes qui précèdent, nous nous bornerons ici à de simples indications, nous réservant de donner plus de détails sur quelquesuns de ces systèmes secondaires, aux articles concernant les espèces minérales qui s'y rapportent.

L'un d'eux est celui que M. Haidinger a le premier observé dans les cristaux d'apatite du Saint-Gotbard et de quelques autres localités. La figure 83 représente l'un de ces cristaux, dont la forme dominante est celle d'un prisme hexagonal. On y voit des facettes additionnelles, placées de biais sur les angles, ctun seul côté de l'arête longitudinale, au lieu de se répéter des deux côtés à la fois, comme cela a toujours lieu dans le système dihexaédrique. Elles sont donc situées six à six vers chaque sommet, donnant par leur ensemble, un solide qui est une forme hémiédrique à l'égard du di-dodécaèdre (fig. 58). 11 suffit en effet, pour l'obtenir, de supprimer dans le dodécaèdre la moitié droite ou la moitié gauche de chaque groupe ou système de quatre faces qui répond à l'un des pans de la forme fondamentale. Ce solide secondaire est une nouvelle espèce de di-hexaèdre, qui se distingue des deux di-hexaèdres du système principal, par sa position anormale ou intermédiaire, étant tournée sur l'axe commun d'une quantité moindre que 3o°, relativement à chacun d'eux. La figure 84 indique la nature du solide fondamental, ou les distinctions à établir dans certaines parties, géométriquement équivalentes, pour rendre raison du changement observé dans la symétrie. Les arêtes horizontales du prisme hexagonal sont toutes identiques entre elles, comme dans le système di-hexaédrique; mais contrairement à ce qui a lieu dans ce système, chaque arête présente une opposition de propriétés physiques, quand on la parcourt de gauche à droite, ou de droite à gauche, en sorte que deux arêtes consécutives ne peuvent s'identifier par superposition, qu'autant qu'on les place l'une sur l'autre sans renversement, en faisant coïncider d'une part les parties gauches entre elles, et d'une autre part les parties droites. C'est pour représenter cette disposition rotatoire des parties dans un plan

sur la structure des cristaux, que nous avons citée précédemment. Les plus importants de ces sous-systèmes sont ceux dont le quart et la tourmaline offrent des exemples, parce que là les hémiédries polaire et rotatoire se lient à des propriétés physiques fort remarquables.

ETUDE DES SYSTÈMES CRISTALLINS. I/}l

horizontal, que nous avons marqué les extrémités de chaque arête par des signes différents.

L'espèce d'hémiédrie qui caractérise le système de l'apatite, et qui se manifeste autour de l'axe principal, perpendiculairement à cet axe, conduit à une forme secondaire à faces parallèles, comme celle d'où dérive le rhomboèdre : on pourrait l'appeler une hémiédrie rotatoire horizontale. Mais on peut imaginer avec quelques cristal lograph es allemands un autre genre de symétrie, d'où résulteraient des formes hémiédriques à faces inclinées. Il suffit pour cela de supposer que dans chaque groupe de quatre facettes, qui sur les di-dodécaèdres répond à l'un des pans du prisme hexagonal, l'hémiédrie fasse évanouir la facette gauche supérieure avec la facette droite inférieure, comme on le voit figure 85 ; ou bien la facette droite supérieure avec la facette gauche inférieure, comme figure 86. Ce nouveau genre d'hémiédrie pourrait être appelé hémiédrie rotatoire oblique, ou plagiédrie. On obtient ainsi pour forme secondaire, un trapézoèdre ou plagièdre hexagonal, figures 87 et 87 6w, à faces non parallèles, et placées de biais en tournant dans chacune des pyramides. Ce solide est composé de douze trapézoïdes égaux, dont les arêtes culminantes sont toutes égales entre elles, mais non les arêtes latérales, qui sont de deux espèces et disposées en zigzag à l'instar de celles des scalénoèdres. La figure 88 représente la forme fondamentale, avec la notation qui convient au cas dont il s'agit.

Dans l'apatite, les facettes obliques sont toutes tournées dans le même sens par rapport aux arêtes longitudinales, par exemple toutes à gauche dans la figure 83, et si l'on vient à renverser le - cristal, elles paraissent alors tournées dans le sens opposé. Au contraire, dans le cas des figures 85 et 86, les facettes obliques paraissent toujours tournées de la même manière , quelle que soit celle des deux bases que l'on place en haut : ainsi, elles- sont tournées vers la gauche, ou sinistrorsàm, dans la figure 85, et tournées vers la droite, ou dextrorsùm, dans la figure 86. Il suit de là, que les cristaux produits par les deux modification*, figures 85 et 86, quoique semblablement formés, ne pourraient pas s'identifier par la superposition, si par la pensée l'on voulait les faire coïncider. Ces cristaux , représentés figures 87 et 87 6m, constituent réellement deux sortes d'individus différents, qui sont inverses l'un de l'autre, présentant entre eux le même rapport qui existe entre la main gauche et la main droite,

l4a LIVRE I. CHAPITRE IV.

ou bien entre la figure d'un polyèdre et celle de son image vue dans un miroir plan. Le premier cristal se nomme un cristal gauche, et le second un cristal droit. Cette distinction d'individus droits et gauches n'a pas lieu dans le système de l'apatite.

On ne connaît point encore d'espèce minérale dont les cristaux comportent le caractère de symétrie exprimé par la figure 88. On a observé cependant quelquefois les facettes d'un trapézoèdre hexagonal, subordonnées aux faces ordinaires du quarz, principalement dans les variétés enfumées de ce minéral. Mais, comme on va le voir, ce trapézoèdre hexagonal, s'il existe réellement, se montre là bien plutôt comme une combinaison de deux autres formes, que comme une forme réellement simple.

Le système du quarz est caractérisé en effet par une autre sorte de trapézoèdre à faces inclinées, qu'on appelle trapézoèdre, ou plagièdre trigonal^ et qui est une forme tétartoédrique à l'égard des di-dodécaèdres du système principal, et une forme hémiédrique à l'égard des scalénoèdies du sous-système rhomboédrique. Sur six des angles solides latéraux du prisme pyramide (fig. 89), qui est la forme ordinaire des cristaux de quarz, sont placées des facettes obliques, dont l'ensemble produit le trapézoèdre (fig. 90), formé de six trapézoïdes analogues à ceux de la figure 87. A ce trapézoèdre correspond une autre forme conjuguée, non superposable à la première, et qui se composerait des facettes du scalénoèdre que l'hémiédrie a supprimées. On a donc encore ici deux solides inverses, l'un droit, et l'autre gauche, produits par une hémiédrie, du genre de celle que nous avons déjà nommée rotatoire oblique.

On voit que les angles solides atteints par les modifications dont il s'agit, sont ceux qui correspondent à trois des six arêtes longitudinales prises alternativement. Les trois autres arêtes, ou plutôt les angles solides situés à leurs extrémités, peuvent rester intacts ou recevoir une semblable modification; cette seconde modification, indépendante de la première, existe ou seule, ou concurremment avec elle. Si les deux modifications sont simultanées, il résulte de leur combinaison un solide à douze faces, que l'on doit considérer comme un double trapézoèdre trigonal: c'est ce solide que l'on a pria pour un trapézoèdre hexagonal, qu'il simule en effet d'une manière parfaite.

Au lieu des facettes trapézoïdales obliques de la modification représentée fig. 89, on observe quelquefois sur les mêmes angles, des facettes également inclinées des deux côtés de l'arête et

ÉTUDE MES SYSTEMES CRISTALLINS. l43

défigure rhombe (fig. 91): elles appartiennent à la variété de quarz que Haiiy a nommée rhombifère. Ces facettes, si elles existaient seules, donneraient un solide composé de deux pyramides triangulaires opposées base à base, ou un di-trièdre (fig. 92), qui n'est plus qu'une limite, un cas particulier du plagièdre ou trapézoèdre trigonal (fig. 90).

L'indépendance des deux groupes d'arêtes longitudinales s'annonce encore par une autre sorte de modification, que représente la figure 93, où l'on voit un de ces groupes modifié par des biseaux. Les six facettes modifiantes, si elles existaient seules, donneraient un prisme di-trigonal ou prisme symétrique à six pans, ayant deux espèces d'angles dièdres. Les mêmes arêtes pourraient être aussi modifiées par une seule facette, auquel cas on aurait un prisme droit triangulaire : mais ce cas ne s'est pas encore rencontré jusqu'à présent.

Enfin, le di-hexaèdre, qui forme la terminaison des prismes du quarz, doit être lui-même considéré comme une combinaison de deux rhomboèdres égaux, qui, quelquefois, se montrent solitairement, ou se distinguent par des différences physiques, en sorte que la forme rhomboédrique fait aussi partie du système cristallin du quarz. Le caractère de symétrie qui distingue ce système remarquable, peut être exprimé d'une manière rigoureuse, au moyen de la notation du prisme fondamental (fig. 94).

Si l'on veut prendre pour forme fondamentale du quarz, le rhomboèdre P,P, qu'on obtient par le dédoublement de la pyramide terminale (fig. 89), il faudra, pour expliquer toutes les particularités du système cristallin du quarz, admettre une différence physique entre les arêtes latérales C et D du rhomboèdre, qui sont inclinées en sens contraires, et, par conséquent, assigner à ce rhomboèdre le caractère de symétrie et la notation qu'exprime la figure 44> pi* lïI W en résultera, comme conséquence, que la structure ne sera point symétrique à droite et à gauche des arêtes culminantes B ; en sorte que les files moléculaires homologues, vues d'en haut sur les faces d'un même sommet, offriront une disposition rotatoire, comme celle qu'indique la figure 45. L'axe principal conservera son caractère d'axe isopolaire; mais les trois axes secondaires, qui joignent les milieux des arêtes G et D, seront devenus. hétéropolaires.

Quant à la forme représentative de la molécule du quarz, le plagièdre ou trapézoèdre dissymétrique (fig. 4&) étant la forme la plus simple, produite par l'hémiédrie dont il s'agit/ on pourra,

l44 L1VBB I. CHAPITRE IV.

conformément à la règle que nous avons établie, p. 95, choisir cette forme caractéristique pour représenter l'élément physique du cristal, cqmme nous avons dit qu'on pourrait prendre le rhomboèdre pour figurer la (molécule dans les espèces rhomboédriques ordinaires. Mais, je ferai remarquer qu'on peut se représenter la forme et la constitution atomique de ces molécules d'une manière plus simple encore, et par cela même plus probable. Tout rhomboèdre (fig. 46} peut, par une troncature sur* ses deux sommets principaux, être réduit à la forme d'un rhomboèdre tronqué ou basé (fig. 47) ' et en prenant ce rhomboèdre basé pour forme représentative du polyèdre moléculaire, on aura un solide, moins simple sans doute au point de vue géométrique, mais plus simple au point de vue de la structure atomique : car, ainsi que l'indique la figure, on peut le regarder comme constitué par six atomes de même espèce, formant deux triangles équilatéraux, disposés parallèlement en sens inverse, c'est-à-dire tournés de 6o° l'un à l'égard de l'autre. Si les deux triangles composants, au lieu d'alterner ainsi, étaient ramenés à la position parallèle et directe, les mêmes atomes formeraient alors un prisme droit triangulaire (fig. 5o). Il suffit maintenant, pour avoir la molécule du quarz, de supposer que les deux triangles prennent une position intermédiaire entre celles qui déterminent les deux cas précédents, et l'on aura l'assemblage dissymétrique, fig. 49» qui sera au plagièdre, fig. 43, ce que le rhomboèdre basé (fig. 47) est au rhomboèdre, fig. 46 : ce sera un plagièdre basé. On voit en quoi cette forme de molécule diffère de celle de la molécule rhomboédrique : elle n'est, pour ainsi dire, que cette dernière molécule qui aurait éprouvé une légère distorsion autour de son axe; on peut la considérer comme une molécule rhomboédrique tordue.

Nous ne nous arrêterons pas ici sur une modification de la symétrie, du genre des hémiédries rotatoires horizontales, qui, dans la craïtonite, l'ilménite et autres fers titanes rhomboédriques, parait donner lieu à des rhomboèdres de position anormale, en réduisant à moitié le nombre des faces de certains dodécaèdres à triangles scalènes ou isoscèles. Mais, celle que l'on observe dans la tourmaline mérite une attention toute particulière. Outre les formes qui caractérisent le système rhomboédrique, on rencontre dans cette espèce d'autres formes qui ne peuvent en faire partie, telles que, des prismes droits triangulaires et des pyramides droites à base équilatérale, qui sont des formes

ÉTUDE DE* WOTÈlttS CRISTALLINS. l45

bémiédriques, à l'égard des prismes hexagonaux et des rhomboèdre? basés du système rhomboédrique. La modification subie par le type fondamental dans son caractère de symétrie est indiquée par la notation de la figure 95, où l'on voit une distinction entre certains sommets, malgré leur égalité géométrique. A cause de l'indépendance des parties terminales opposées, les rhomboèdres et scalénoèdres se trouveront généralement réduits è la moitié du nombre de leurs faces, mais de manière que toutes les laces situées vers un méoA sommet disparaîtront à la fois : c'est une hémiédrie polaire, relative seulement à l'axe principal. Quant aux parties latérales, on voit que le prisme hexagonal qui sait sur les arêtes latérales D, se montrera toujours avec toutes ses (aces; mais il n'en sera pas de même de celui qui provient de la modification des angles solides latéraux, ou du prisme en position normale. Il sera réduit par l'hémiédrie à la forme de prisme droit triangulaire. La forme représentative de la molécule est le tétraèdre trigonal ou pyramide droite à base équiangle (fig. 5 1 , pL III), comme je l'ai dit dans le mémoire déjà cité, et qui a pour titre : Recherches sur la cristallisation. * Enfin, on conçoit une dernière modification hémiédrique du prisme hexagonal, dans laquelle une distinction s'établirait entre les deux groupes de faces alternatives du prisme, tandis que les parties terminales qui se correspondent sur le même pan resteraient semblables: cette modification donnerait encore un prisme droit triangulaire, mais avec la symétrie représentée fig. 96. Quoiqu'on ait cité de semblables prismes dans une espèce du genre mica, il n'est pas encore prouvé qu'ils existent réellement parmi les espèces minérales connues. Un des dérivés les plus Simples de ces prismes triangulaires serait le di-trièdre, ou donble-pyramide à base triangulaire équilatérale.