CARACTÈRE GÉOMÉTRIQUE DES AXES

UN AXE PRINCIPAL, PERPENDICULAIRE A TROIS AUTRES AXES SECONDAIRES, ÉGAUX ENTRE EUX, ET SE CROISANT SOUS DES ANGLES DE 60°.

Il existe deux systèmes principaux, qui sont originaires du prisme hexagonal régulier, pris pour forme fondamentale, savoir: le système hexagonal à modifications holoédriques (système dîhexaédrique ou di-rhomhoédrique), et le système hexagonal à modifications hémiédriques et à faces parallèles (système rhomboédrique proprement dit). Ces deux systèmes ont des formes qui sont propres à chacun d'eux et d'autres qui leur sont communes ; mais ces dernières n'ont pas le même caractère de symétrie, et par conséquent ne se modifient pas de la même manière dans l'un et l'autre système. Toutes ces formes ont d'ailleurs pour caractère commun, d'avoir un axe principal a, unique en son espèce^ que nous supposerons toujours dirigé verticalement, et trois autres axes secondaires 6, 6, 6, perpendiculaires au premier, égaux entre eux et se coupant sous des angles de 6o° (fig. 53).

I. SYSTÈME DI-HEXAÉDR1QUE OU DIRHOMROEDR1QUE. CARACTÈRE PRTSIQCE DES AXES.

UN AXE PRINCIPAL, ISOPOLAIRE, SEXLATÉRAL (À*).

Le nom de di-hexaédrique est tiré de celui de di-hexaèdre, qui, d'après les règles de nomenclature que nous avons adoptées, peut servir à caractériser et à dénommer l'une des formes principales du système, savoir le dodécaèdre à base hexagonale et à triangles isoscèles. Celui de di-rhomboèdre vient de ce que le rhomboèdre, étant une forme hémiédrique par rapport au di-hexaèdre, celui-ci peut être considéré comme étant un double rhomboèdre.

Les figures 53 et 54, pi. VI, représentent un prisme hexagonal, choisi pour forme fondamentale; la seconde avec la notation qui convient à sa symétrie, dans le cas de modifications toutes holoédriques. Ce solide a deux bases égales et horizontales, qui sont des hexagones réguliers, et six pans ou faces latérales, qui

ETUDE DES SYSTEMES CRISTALLINS. l3l

sont des rectangles égaux. 11 a douze angles solides égaux A, «composés de deux angles plans égaux et d'un troisième, qui diffère des premiers ; ses arêtes sont de deux sortes, savoir : douze arêtes horizontales B, égales entre elles, ou arêtes des bases, formées par la rencontre de faces inégales, et six arêtes verticales G, pareillement égales entre elles, mais non avec les précédentes, et formées par la rencontre de faces égales.

D'après ces caractères de symétrie, le prisme hexagonal est susceptible de cinq sortes de modification, savoir : de deux espèces de modification sur les angles, d'une seule espèce de modification sur les arêtes des bases, et de deux sortes de modification sur les arêtes verticales.

Le prisme hexagonal, fig. 54) peut être modifié sur les angles:

i° Par une seule facette, coupant également les deux arêtes B de l'angle A, comme on le voit fig. 55 ; on a ainsi douze facettes modifiantes, qui, prolongées suffisamment, produisent le dodécaèdre hexagonal ou di-hexaèdre (fig. 56).

La notation des faces de ce di-hexaèdre, exprimée seulement en fonction des côtés de l'angle modifié, est (ma: 6:6)ouem, m représentant un nombre rationnel simple, eniier ou fractionnaire. Si Ton y fait entrer les quatre axes, elle devient : (ma: b : —

b.: b). Il suffit de mesurer un seul de ses angles dièdres, pour pouvoir déterminer complètement un pareil solide. Dans chaque espèce minérale, on rencontre un grand nombre de variétés de cette forme, et toujours leurs axes sont en rapport simple avec ceux de la forme fondamentale.

2° Par deux facettes également inclinées sur les pans, de part et d'autre de l'arête commune C (fig. 57); toutes ces facettes réunies donneront un solide à vingt- quatre triangles scalènes égaux, partagés en deux pyramides dodécaèdres à. base horizontale, ou un di-dodécaèdre (fig. 58).

La notation générale de ces di-dodécaèdres est(ma:nb:pb:b). Ces formes sont rares, et leurs faces sont toujours subordonnées dans les combinaisons dont elles font partie.

Le prisme hexagonal peut être modifié sur les arêtes verticales :

i° Par une seule facette, également inclinée sur les deux pans, ou coupant également les arêtes B, B, comme fig. 59 ; ce qui conduit à un autre prisme hexagonal (fig. 60). Ce prisme secondaire et celui de la figure 54 diffèrent par leur position, en ce que

S 3a LITRE I. CHAPITRE IV.

Fan des deux est tourné sur son axè de 3o° par rapport à l'autre. La combinaison des deux prismes, représentée par la figure 60, t est un prisme dodécaèdre équiançle (1).

a° Par deux facettes, formant biseau (fig. 61); forme dérivée : prisme dodécaèdre symétrique, à angles alternativement égaux fig. 62).

La section transverse de ces prismes est de même nature que la base des di-dodécaèdres. Leur notation générale est (00 a: nb: pb:b).

Enfin, le prisme hexagonal peut être modifié sur les arêtes des bases , par une seule facette, inclinée généralement d'une manière inégale sur la base et sur le pan correspondant (fig. 63). Cette modification conduira à un nouveau di-hexaèdre (fig. 64), qui différera par sa position de celui de la figure 56. On voit, en effet, que les deux solides sont situés de manière que les faces de l'un correspondent aux arêtes de l'autre, et réciproquement ; et, si l'on supposait ces deux solides égaux en dimensions, il faudrait, pour les ramener à être parallèles, que l'on fît tourner l'un d'eux de 3o° autour de son axe. La combinaison des deux dihexaèdres (fig. 56 et fig. 64) donnerait une espèce particulière de didodécaêdre à triangles isoscèles (2).

On voit que de même qu'il existe deux prismes hexagonaux, de position différente, il existe pareillement deux ordres de dihexaèdres, qui se distinguent par leur position. Dans les uns, les faces de la pyramide correspondent aux angles du prisme fondamental : ce sont les di-hexaèdres de position normale. Dans les autres, les faces de la pyramide répondent aux angles du prisme fondamental : ces di-hexaèdres sont dits être en position diagonale.

Nous aurions pu prendre pour forme fondamentale du système di-rhomboédrique, le di- rhomboèdre lui-même, que là figure 64 représente avec la notation qui lui est propre, et ce choix eût été d'autant plus convenable que le di-rhomboèdre ou

(1) Ce prisme est seulement éqniangle, et 1100 pas régulier, comme le disent la plupart des auteurs. Pour qu'il fût régulier, il faudrait que les côtés de ses bases fussent égaux; or, il est facile de Toir que les plans qui transformeraient les bases en dodécagones réguliers, couperaient chaque arête B en parties qui seraient dans un rapport irrationnel avec l'arête entière, ce qui ne saurait avoir lieu, d'après la loi générale qui règle les troncatures.

(2) Ce di-dodécaèdre serait une double pyramide régulière, si les di-hexaèdres combinés étaient égaux entre eux. Mais l'existence simultanée de deux dihexaèdres à faces également Inclinées sur l'axe n'est pas possible, parce que les laces de l'un d'eux couperaient les arêtes de l'autre dans des rapports irrationnels. D n'y a donc pas de di-dodécaèdres à sommets réguliers dans le système di-hexaédrique. ,

di-hexaèdre est une des formes simples du système. Nous aurions eu à considérer deux espèces d'angles, les angles terminaux A et les angles latéraux E, et deux sortes d'arêtes, les arêtes culminantes B, et les arêtes C de la base. Les angles A auraient été dans le cas d'être modifiés par une, par six et par douze facettes; les angles E par une, deux et quatre facettes, et chaque sorte d'arêtes par une et par deux facettes; mais plusieurs de ces modifications reproduisant le même solide, nous eussions «eu en dernière analyse les mêmes résultats que ci-dessus. Sans entrer dans plus de détails à ce sujet, nous nous bornerons à faire remarquer que la modification des angles A, des arêtes C, ou des angles E par une facette, et celle des angles E par deux facettes seulement, ne donnent point de solides complets, c'est-à-dire fermés ou limités de toutes parts; car l'une ne produit que deux plans horizontaux (fig. 65), qui sont les bases des prismes du système, et les autres ne donnent que les pans de ces mêmes prismes, c'est-à-dire des faces verticales, au nombre de six ou de douze (fig. 66). Chacune de ces modifications ne peut donc exister seule, ou sans être combinée avec d'autres faces. Ainsi l'on voit que le prisme hexagonal et le prisai è dodécaèdre ne sont pas des formes simples, mais des combinaisons de deux modifications différentes. Les seules formes du système qui soient simples, parmi les formes complètement fermées, sont le di-hexaèdre et le di-dodécaêdre à triangles scalènes.

Les cristaux de plusieurs espèces minérales se rapportent au système di-rhomboédrique; nous citerons comme exemples, les minéraux appelés béryl, néphéline, pyromorphite, etc.

a. système rhomboédrique; système hexagonal, a modifications

PARA-HÉM1ÉDRIQUES.

OU AXE PRINCIPAL 1S0P0LAIRE, SEXLATÉRAL, A CÔTÉ3 ALTERNES (jA1). FORME REPRÉSENTATIVE DE LA MOLÉCULE : LE RHOMBOÈDRE.

Dans ce système, malgré l'égalité géométrique qui existe entre les six arêtes des bases, et entre les six pans du prisme hexagonal, les choses se passent comme si l'identité n'avait lieu qu'entre les arêtes horizontales alternatives, et comme si tout n'était pas symétrique à droite et à gauche de chaque arête verticale. C'est

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ce qu'exprime la notation de la figure 67. D'après cette symé* trie particulière, les modifications simples ne peuvent avoir lieu que par une facette sur les angles A et sur les arêtes G; en outre, la modification des arêtes B doit se faire indépendamment de celle des arêtes B', et réciproquement.

En modifiant donc par une facette les six arêtes B, comme on le voit figure 68, pi. VII, et en prolongeant ces facettes jusqu'à ce qu'elles s'entrecoupent, on aura pour forme dérivée un solide composé de six rhombes égaux (fig. 69), auquel Haiïy a donné le nom de rhomboïde , nom que la plupart des cristallographes ont remplacé par celui de rhomboèdre (1). Ce solide est évidemment, d'après son mode de génération, une forme hémiédrique à l'égard du di-hexaèdre.

Le rhomboèdre a ses faces disposées symétriquement autour d'un axe vertical, passant par deux axes solides opposés, A A. Ces deux angles, qui sont égaux entre eux, sont des angles réguliers, ou formés d'angles plçms égaux, et par conséquent aussi d'angles dièdres égaux ; les sommets de ces deux angles s'appellent les sommets du rhomboèdre. On dit qu'un rhomboèdre est obtus ou aigu, selon que l'angle plan ou l'angle dièdre, qui fait partie des angles terminaux , est plus grand ou plus petit que 900. La figure 69 représente un rhomboèdre aigu , et la figure 70 un rhomboèdre obtus. Il y a dans un rhombQèdre une seconde espèce d'angles solides : savoir: les six angles solides latéraux E, qui sont composés chacun de deux angles plans égaux, et d'un troisième qui diffère des premiers. Enfin, on doit distinguer deux sortes d'arêtes, les six arêtes culminantes B, dont trois supérieures, et trois inférieures, et les six arêtes latérales D : en effet, les angles dièdres situés en D sont suppléments des angles dièdres en B. Un rhomboèdre est parfaitement déterminé, quand on donne la valeur de l'angle dièdre qui correspond aux arêtes culminantes. On remarquera que le système des quatre axes du prisme hexagonal se retrouve dans cette forme , et que sa

(1) On aurait peut-être dû conserver la dénomination de rhomboïde, que les écrits de savants nombreux et célèbres (Haûy, Malus, Biot,Arago, Fresnel, etc.) semblaient avoir consacrée, et cela avec d'autant plus de raison que la dénomination nouvelle n'est pas elle-même à l'abri de toute critique. Mais ce changement de nom, motivé sur ce que le mot rhomboïde sert à désigner dans plusieurs langues le parallélogramme, ayant été presquo généralement adopté, nous avons cru devoir, sur ce point, nous conformer à l'usage. Le changement dont il s'agita d'ailleurs cet avantage, qu'il en amènera sans doute un autre non moins utile, savoir : la substitution du mot rhomboïde à la dénomination ai longue et si peu commode de parallélogramme.

ÉTUDE DBS SYSTÈMES CRISTALLINS. l35

disposition esc telle que Taxe principal se confond avec celui du rhomboèdre, tandis que les trois axes horizontaux coïncident avec les droites menées du centre du rhomboèdre au milieu des arêtes latérales D.

Le rhomboèdre étant la forme la plus remarquable du système, et celle qui se rencontre le plus communément, il est d'usage de la prendre pour forme fondamentale, et d'en faire dériver toutes les autres par des modifications qui, à son égard, sont toutes hoioédriques. Ce solide ayant deux sortes d'angles et deux sortes d'arêtes, est susceptible d'un gçand nombre de modifications, qui s'identifient tellement dans leurs résultats, que les formes'simples du système se réduisent à deux solides seulement, le rhomboèdre et le scalénoèdre ; encore ce dernier pourrait-il être considéré lui-même comme l'assemblage de deux solides égaux de la première espèce ; mais les formes de même genre, qui proviennent de modifications diverses, sont distinguées entre elles par leurs positions différentes dans les combinaisons.

Le rhomboèdre fondamental (fig. 69) peut être modifié : i° par une facette tangente sur les arêtes culminantes (fig. 71). Cette modification conduit à un second rhomboèdre, plus surbaissé que celui d'où l'on est parti, et qui est tourné différemment, les faces de l'un correspondant aux arêtes de l'autre, et réciproquement ; tel est le rhomboèdre de la figure 70. Quand deux formes de même genre, et qui ont un axe principal commun, sont ainsi placées l'une par rapport à l'autre, de manière que les faces de l'une répondent aux arêtes ou aux angles de l'autre, et réciproquement, on dit que les faces de ces deux formes alternent entre elles, ou que ces formes sont l'une à l'égard de l'autre en position diagonale.

La notation des faces du rhomboèdre tangent est, relativement aux quatre axes du prisme hexagonal (—a : 00 6 : 6 : 6); et

par rapport aux arêtes culminantes du rhomboèdre [B ; B : co B], ou, suivant la notation très-simple employée par Haùy et les autres cristallographes de son écolo, b1.

Si 6ur le premier rhomboèdre tangent* on suppose qu'il se fasse une nouvelle modification tangente, on aura un troisième rhomboèdre plus obtus, dont le signe sera (-r-0 : a> 6 : 6 : 6). On peut

obtenir ainsi une série de rhomboèdres tangents les uns aux autres, et de plus en plus obtus, dont les axes seront comme les

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nombres—-,— .,—..., i représentant l'axe du rhomboèdre pri- 2 4 o

mitif, et les axes secondaires étant supposés avoir la même valeur dans toute la série.

Celui-ci, à son tour, peut être considéré comme étant le rhomboèdre tangent d'un rhomboèdre plus aigu, dont le signe serait (a a : 006 : 6 : 6) ; ce dernier serait tangent à un troisième, et ainsi de suite, en sorte que la série dont il vient d'être question se continue en sens inverse par une autre suite de rhomboèdres de plus en plus aigus, dont les axes sont entre eux comme les nombres a, 4» 8..,, etc. Haiiy, qui a signalé l'existence de cette série de rhomboèdres, pouvant être dérivés l'un de l'autre, par un même procédé géométrique (1), a de plus fait connaître une autre relation remarquable, qui peut avoir lieu entre les deux portions de la série, qui se composent Tune des rhomboèdres réellement obtus, et l'autre des rhomboèdres aigus; il a fait voir que, si le rapport de a à 6 dans le rhomboèdre fondamental est rationnel, ou tout au moins le carré de ce rapport, alors les termes qui se correspondent deux à deux dans les moitiés supérieure et inférieure , à partir du premier rhomboèdre obtus et du premier aigu, jouissent de la propriété qu'il nomme inversion des angles, et qui consiste en ce que les angles plans de l'un sont égaux aux angles dièdres de l'autre, et réciproquement ; et que les sections principales des deux rhomboèdres sont équiangles (a).

2° Par deux facettes sur les arêtes culminantes, comme on le voit figure 72; la forme dérivée est en général un scalénoèdre (fig. 74), sorte de dodécaèdre pyramidal, formé de triangles scalènes égaux, et dont les arêtes moyennes ne sont pas réunies dans un plan, comme celles du di-hexaèdre et du di-dodécaèdre. En prenant les (aces de ce solide alternativement, on a deux systèmes de faces, dont chacun donne un rhomboèdre; on peut donc considérer ce solide comme une combinaison de deux rhomboèdres égaux, dans une position relative telle, que l'un est censé avoir tourné de moins que 6o° par rapport à l'autre, autour de Taxe commun. Dans un certain cas, la forme dérivée se changera en un dodécaèdre à triangles isoscèles, semblable aux di-rhomboèdres du système précédent, mais ce dodécaèdre n'en conservera pas moins la symétrie qui est propre aux scalénoèdres en général, dont il n'est qu'un cas particulier.

(1) Traité de Cristallographie, par flafiy, 1« vol., p. 299. M ibidm, 1«to1., p.391.

ÉTUDE DES SYSTÈMES CRISTALLINS. l37

La notation des faces du scalénoèdre est semblable à celle du di-dodécaèdre, dont il est une forme hémiédrique; Weiss l'écrit

ainsi :— (m a : n b : p b : 6). Si on la rapporte aux arêtes du rhom-

boèdre générateur, elle devient (BmBl B°°),m pouvant être entier ou fractionnaire, ou plus simplement, d'après Haùy et Lévy, 6".

3° Par deux facettes sur les arêtes latérales, fig. 73. Forme dérivée : autre scalénoèdre, à axe plus allongé que celui du rhomboèdre fondamental, et qui a les mêmes arêtes latérales que ce rhomboèdre.

Les scalénoèdres de cette espèce ont le même signe général que les précédents, quand on les 1 apporte au système des quatre axes; si on les exprime en fonction des arêtes du rhomboèdre, fig- $9» kur signe est(BmD1 D00), ou, selon Haùy, cf".

Chaque scalénoèdre détermine cinq rhomboèdres, qui ont avec lui un rapport extrêmement simple : l'un de ces rhomboèdres est inscrit dans le scalénoèdre : il a les mêmes arêtes latérales, mais son axe est plus court que celui du scalénoèdre, dont il est une fraction très-simple; on le nomme le rhomboèdre des arêtes latérales. Les deux autres rhomboèdres sont circonscrits au scalénoèdre, et ont le même axe que lui : l'un est tangent à •es arêtes culminantes aiguës, l'autre l'est aux arêtes culminantes obtuses. Deux autres rhomboèdres, qu'on peut appeler le rhomboèdre des arêtes culminantes aiguës, et celui des arêtes culminantes obtuses, sont donnés par des plans qui passent par deux de ces arêtes à la fois.

4° Par une facette sur les arêtes latérales, fig. y S. Chaque facette devant être également inclinée sur les deux faces de l'arête qu'elle modifie, et ces deux faces ayant elles-mêmes une égale inclinaison sur l'axe, il résulte de là que les facettes modifiantes seront parallèles à cet axe, c'est-à-dire verticales. La modification totale produira donc six plans verticaux, qui seront les pans d'un prisme hexagonal régulier. Elle ne pourra pas exister seule, puisqu'elle ne donne pas de solide fermé ou complet, et se présentera toujours combinée, soit avec les faces du rhomboèdre fondamental, soit avec celles d'une seconde modification. Le signe des faces de ce prisme est, relativement aux axes, (00a: