Système klinoédrique

— VariétéMÎi-klinoédrique.

— Variété tri-klinoédrique :

1° Deux axes perpendiculaires entre eux

FORMES FONDAMENTALES

on

Prisme bioblique à section rhombique ou rectangle, — octaèdre bioblique à base par rallélogramme. . .

Prisme et octaèdre bioblique» à. base rhombe

2° Les trois axes obliques..

EXEMPLES TIRES

du

REGNE MUISRJ&.

L'orthose?

certains feld-

Prisme et octaèdre biobliques à base parallélogramme

l'axinite; le sulfate de cuivre.

S i . Des caractères généraux de la symétrie.

Chacun des six systèmes principaux, inscrits dans le tableau qui précède, a un caractère géométrique, tiré du nombre de ses axes et de leur rapport général de longueur. Ce caractère géométrique est empreint dans tous les cristaux d'un même système ; il se reconnaît généralement et aisément dans chacun d'eux, lorsqu'on porte son attention sur son contour latéral et sur ses sommets, afin d'observer la répartition des divers membres ou parties de forme extérieure, et de saisir la loi de répétition des membres semblables. Ainsi, dans le système hexagonal, où il y a un axe principal et trois axes secondaires égaux, les membres égaux sont toujours répétés six par six autour de Taxe vertical : c'est, selon le langage de Weiss, un système à six membres (sechsgliedriges System). Dans le système quadratique, la répétition des membres a lieu quatre par quatre (viergliedrîges Sys-

•66 livre i. CHiPnsE it.

tem). Elle a lieu de la même manière autour de chacun des axes du système cubique, en sorte que les cristaux de ce système peuvent prendre successivement trois positions différentes autour de leur centre, sans changer d'aspect à l'égard d'un observateur immobile; et à cause de cette égalité des membres autour des trois axes, on a donné à ce système le nom de gleichgliedrige System (Weiss). Dans le système rbombique, les membres se répètent deux par deux autour de Taxe vertical (zwey-undzweygliedrige System, Weiss); c'est-à-dire que, si nous orientons convenablement le cristal, à l'égard des parties de notre propre corps, de manière que nous puissions distinguer en lui, par analogie, quatre côtés sous les noms de droite et de gauche, d'avant et d'arrière, on trouvera toujours que, si la droite et la gauche se ressemblent par leur configuration , il en sera de même aussi de l'avant et de l'arrière : mais les membres qui correspondront à ces deux derniers côtés, différeront de ceux qui correspondront aux premiers. Dans le système klinorhombique, la droite et la gauche du cristal seront encore semblables, mais l'avant différera de l'arrière, et ces deux côtés en même temps seront distincts des deux autres. Dans ce système, les membres sont répartis par deux, un et un (zwey-und- .eingliedrige System, Weiss). Enfin, dans le dernier système, les membres sont ordonnés un par un seulement (ein-und-cingliedrige System, Weiss).

Ces caractères de symétrie sont généralement assez manifestes pour qu'on ne puisse se méprendre sur le système auquel on doit rapporter un cristal, dont on a déterminé la forme, non pas à la simple vue, mais par la mesure et la comparaison de ses angles dièdres. Cependant, les deux derniers systèmes peuvent donner lieu ici à une remarque importante. 11 peut arriver que , par suite de relations géométriques particulières entre les axes, qu'on ne rencontre qu'accidentellement dans les formes fondamentales, on observe dans quelques-unes de leurs formes secondaires, un changement apparent dans la symétrie soit des prismes, soit de leurs sommets; les différences de côtés que nous venons de signaler comme générales, peuvent s'effacer dans certains cas, et faire croire à une sorte de passage à une symétrie plus simple; il en résulte dans le cristal un aspect trompeur, qui peut le faire rapporter à l'un des systèmes qui, dans la classification générale, précédait celui auquel il appartient réellement. Il est possible, par exemple, de rencontrer dans certains .

cristaux du système klinorhombique , des sommets semblables en apparence à ceux du système orthorhombique ; de trouver parfois, dans quelques cristaux du dernier système, des prismes dont le contour latéral rappelle la symétrie du système précédent» tandis que leurs terminaisons sont celles qui caractérisent le système klinoédrique. Le premier de ces cas a été observé par Haiiy dans le pyroxène, où, par suite d'une propriété géométrique particulière que présente le prisme klinorhombique fondamental , deux modifications conjuguées, mais dont l'existence simultanée n'est pas rigoureusement nécessaire, agissent Tune sur l'angle antérieur, et l'autre sur le postérieur, de manière à produire des laces également inclinées sur l'axe en sens contraires. Il en résulte que la différence de Pavant avec l'arrière s'évanouit, et que les sommets dans ce cas s'assimilent à ceux du système orthorhombique. Gepepdant, la véritable symétrie, celle qui se fonde sur les caractères de structure moléculaire et cristalline, subsiste toujours, comme le prouve le clivage. D'ailleurs, ce changement apparent de configuration n'a lieu que dans quelques formes seulement de la nombreuse série cristalline; il n'y a donc pas changement de système. Aussi, malgré cette trompeuse analogie dans la forme extérieure, Haùy et tous les cristal lographes n'ont pas hésité à rapporter ces formes insolites du pyroxène au système klinorhombique. La possibilité du cas dont il s'agit dépend d'une propriété géométrique particulière, qui consiste en ce que la perpendiculaire, menée dans le prisme klinorhombique, de l'angle inférieur de la base sur l'arête opposée qui passe par l'angle supérieur, doit détacher de cette arête un segment qui soit dans un rapport simple et rationnel avec l'arête entière.

C'est sans doute une circonstance analogue a^ue M.Mitscherlich a rencontrée dans les cristaux artificiels de l'hyposulfite de chaux. Ici, ce ne sont pas les sommets qui prennent un aspect plus simple, mais le contour des prismes,* les sommets offrent là symétrie propre au dernier système: mais les prismes présentent dans leurs formes simples, comme dans leurs modifications, l'apparence de ceux du cinquième système, et cela très-probablement, parce que les deux sections principales qui passent par Taxe du prisme fondamental, étant à angles droits, il devient possible que des modifications conjuguées produisent à droite et à gauche de chaque arête verticale, des faces dont l'effet apparent soit le même, comme Haûy l'avait déjà montré pour les

l6B LIVRE 1. CHAPITRE IV.

cristaux d'orthose, rapportés par lui au dernier système, malgré l'analogie de leurs contours prismatiques avec ceux qui sont propres aux cristaux du système précédent.

Lorsque cette observation de M. Mitscherlich a été publiée, on a vu dans ce fait la découverte d'un nouveau système cristallin, d'un septième système pour ceux des cristallographes qui n'en reconnaissaient que six, nouveau système qui, par la symétrie, semblait être intermédiaire entre le cinquième et le sixième, c'est-à-dire entre le klinorbombique et le klinoédrique : car, les cristaux d'hyposulfite de chaux s'assimilaient par leur contour latéral à ceux du système klinorhombique, et parleurs sommets à ceux du dernier système. Mais la première assimilation n'est encore ici qu'apparente, et doit être considérée comme le résultat de modifications conjuguées jet la véritable symétrie subsiste, celle qui est propre au système klinoédrique même. En admettant que la section transverse soit réellement un rhombe, les arêtes longitudinales n'auraient pas, rigoureusement parlant, la symétrie binaire, à cause de l'inégale inclinaison de la base sur les deux pans adjacents du prisme. Mais il peut se faire qu'au point de vue physique, l'influence de cette inégalité soit assez faible, pour que ces deux pans puissent être considérés comme presque identiques, bien qu'ils ne le soient pas d'une manière absolue, et que, si l'action de l'un d'eux détermine la production d'une facette, l'autre aussi produise de son côté un effet équivalent, de telle sorte que les deux modifications s'accompagnent toujours, quoique à la rigueur elles soient indépendantes l'une de l'autre (1).

(1) H. Naumann, dans ses nouveaux Eléments de Cristallographie théorique, insiste sur le maintien du système de Mitscherlich comme système particulier, et pour établir son Individualité il se fonde sur la définition donnée par lui des systèmes cristallins, définition dans laquelle il fait entrer, non-seulement la considération du nombre des axes et de leurs rapports généraux d'inclinaison et de longueur, mais de plus le rapport général d'inclinaison des plans coordonnés que déterminent ces axes par leur combinaison deux à deux. Les différences de classement qu'on observe, à l'égard des systèmes cristallins, chez quelques auteurs, tiennent aux points de vue divers sous lesquels ils envisagent ces systèmes. Au reste, je crois avoir suffisamment indiqué, dans ce qui précède, les caractères propres au système dit de Mitscherlich, en lui donnant, comme va- # riété principale, la place qu'il occuperait comme espèce, entre le système Ui« . norhombique et le klinoédrique proprement dit.

§ a. De la prédominance du système rhomboédrique parmi les systèmes hexagonaux.

Dans les six systèmes cristallins, si l'on vient à les considérer comme genres, ainsi que nous avons proposé de le faire, en distinguant séparément le cas de l'holoédrie et les divers cas d'hé-, miédrie connus, on remarque qu'en général, pour chaque genre, les espèces à formes holoédriques sont incomparablement plus ' nombreuses que celles dans lesquelles ou rencontre l'hémiédrie; celles-ci sont si rares, qu'elles constituent comme des cas exceptionnels. C'est ce qui a lieu dans le premier système et dans les quatre derniers. Mais le système hexagonal présente une circonstance singulière : ici l'exception devient la règle. On ne connaît qu'un bien petit nombre de minéraux qui cristallisent ' dans ce genre de système, sous des formes purement holoédriques, et le nombre de ceux qui .cristallisent en rhomboèdre, forme hémiédrique à l'égard de la double pyramide hexagonale, est au contraire très-considérable. Cela parait tenir à ce que, si le prisme hexagonal régulier peut donner naissance au rhomboèdre par un changement de structure dans la molécule, et en conservant d'ailleurs le même réseau cristallin que dans le cas de Tholoédrie, c'est-à-dire un réseau formé de mailles prismatiques triangulaires» le rhomboèdre peut aussi résulter directement d'un autre réseau cristallin, beaucoup plus simple, savoir :1e réseau à mailles rhomboédriques. Cette différence de réseau provient sans doute de ce que les molécules physiques ont, dans ce cas» la forme et la symétrie qu'exprime le rhomboèdre, et qu'alors l'arrangement en réseau rhomboédrique se trouve être le plus favorable à l'équilibre moléculaire. Cette différence constitue un nouveau mode de cristallisation dans le système hexagonal, en appelant de ce nom, avec M. Bravais, tout changement qui peut avoir lieu dans la particule intégrante ou le parallélipipède générateur du réseau, avec conservation du même système général de lignes droites et de plans, du moins tant qu'on ne tient compte que de leurs positions relatives (i).

(1) La circonstance dont il vient d'être question avait porté M. Bravais à considérer le système rhomboédrique comme un système à part, eo sorte qu'il a proposé d'élever à sept le nombre des systèmes généraux réellement distincts (voir ses Etudes CristaUographiques, déjà citées). Mais les autres systèmes cristallins donnent également lieu à de pareilles distinctions de modes, comme il l'a fait voir le premier, et comme nous le montrerons plus loin dans cet ou-

qui leur correspondent dans les propriétés physiques , est pleinement confirmatif des vues que nous avons exposées précédemment, touchant la véritable nature de f hémiédrie. Il devient évident que les modifications hémiédriques ne sont pas accidentelles, et qu'elles ont leur raison d'être et leur cause première dans la constitution moléculaire et la structure du cristal. Les formes hémiédriques rie peuvent plus être considérées comme de simples variétés ou modifications purement extérieures des formes cristallines : chaque cas particulier d'hémiédrie est l'indice certain d'un changement dans le degré de la symétrie, et par conséquent détermine un nouveau système, lié sans doute par des rapports géométriques au système principal, mais s'en distinguant au fond par des différences de structure. Ces changements dans la symétrie sont toujours la conséquence de changements préexistants dans la forme des; molécules et dans le caractère de polarité qu'elle imprime aux axes, caractère que révèle tout d'abord la marche habituelle des modifications, et qui se trouve ensuite confirmé par l'étude des propriétés physiques.

Je dois faire remarquer en outre que l'hémiédrie ne consiste pas toujours, comme on semble le croire, dans le fait d'une forme entière et fermée, qui se dédouble en deux autres formes pareillement closes; on doit voir en elle un phénomène plus général , qui se rapporte primitivement à l'un des axes de cristallisation, et qui ne se reproduit ensuite dans d'autres directions, qu'autant que cet axe a des analogues. Cette répétition a lieu toujours dans le premier système, et fréquemment dans les deux suivants ; mais cela tient à ce que, dans ces systèmes, il y a toujours plusieurs axes qui sont égaux entre eux. Dans les autres systèmes, et quelquefois même dans le second ou le troisième, il peut y avoir hémiédrie, sans dédoublement d'une forme en deux autres fermées : il suffit qu'il y ait partage ou réduction à moitié dans le système de faces, quel qu'il soit, qui se produirait aux extrémités ou sur les côtés de l'axe par une modification holoédrique: ce système n'est parfois qu'un simple couple de faces, comme on le voit dans la tourmaline. On a voulu voir dans rhémiédrie, qui atteint les modifications des sommets, en plusieurs cristaux de cette substance, comme en ceux du silicate de zinc, un phénomène différent de l'hémiédrie ordinaire» et on lui a donné le nom particulier iïhémimorphisme. Pour nous, nous ne voyons dans le cas de la tourmaline qu'une hé-

miédrie tout-à-fait comparable à celle des cristaux de la boracite, si ce n'est que, dans la première substance, le phénomène . n'a lieu que pour un axe, tandis que, .dans la seconde , il se répète en quatre sens différents.

L'explication que nous avons donnée de l'hémiédrie, est aussi simple que générale. 11 suffit, pour se rendre compte d'un système quelconque de formes, au nombre desquelles il s'en trouve qui sont visiblement marquées du caractère hémiédrique, de choisir la plus simple parmi ces dernières , pour représenter la molécule du cristal, et de composer ensuite le réseau cristallin de pareilles molécules (i). Ces molécules transmettront leur symétrie, qui n'est autre ici que celle de la forme géométrique ellemême, aux files moléculaires d'abord, puis à la masse interne du cristal, et enfin aux formes qui le limiteront à l'extérieur.

On pourrait aussi rendre compte des divers cas d'hé miédrie, en conservant à la molécule du cristal la forme boloédrique, et en modifiant seulement sa structure ou composition atomique , comme je l'ai fait voir pour les cristaux de boracite, de tourmaline et de quarz, dans le Mémoire que j'ai présenté à l'Académie des Sciences en i84<>. Dans la boracite, par exemple, les angles solides du cube fondamental n'étant identiques physiquement que quatre à quatre f il faudra qu'il en soit de même de la molécule, si on se la représente sous la même forme; ainsi, cette molécule aura quatre de ses sommets occupés par des atomes d'une certaine nature, et les quatre autres par des atomes de nature différente, comme le montre la figure 5a, pi. III; elle fait voir en même temps que si ces quatre derniers sommets restaient vides de toute matière pondérable , on retomberait sur la forme tétraedrique, qui serait parfaitement équivalente au cube précédent, et que nous avons admise de préférence, parce qu'elle est plus simple et qu'elle exprime la véritable symétrie par sa configuration même. La figure 5a montre encore qu'un cube moléculaire, construit de la façon que nous venons de dire, peut être considéré comme la réunion de deux tétraèdres croisés et ayant le même centre; par conséquent, cette molécule pourrait se prêter à un dédoublement, d'où résulterait la molécule hémiédrique dont nous venons de parler.

(1) M. Leymerie a eu, de son côté, la même idée que moi, et je m'applaudit fort de cette concordance de -vues sur un point aussi important. (Voyex le Mémoire de cet auteur sur Miémiédrie, cité plus haut, et aussi son Cours de Minéralogie, publié a Toulouse en 1857.)

174 LIVRE f. CHAPITRE 1T.

Pour expliquer l'hémiédrie de la tourmaline, on peut aussi considérer sa molécule comme un rhomboèdre, qui serait une combinaison de deux pyramides à base équilatérale, en position inverse Tune à l'égard de l'autre , chaque pyramide ayant son sommet formé d'un atome d'une certaine espèce et sa base constituée de trois atomes d'espèce différente, et, de plus, les atomes de Tune des pyramides n'étant pas les mêmes que ceux de la seconde, comme l'indique la figure 53. Ce geure d'explication est tout aussi démonstratif, que celui auquel je donne maintenant la préférence, et qui consiste à prendre pour molécule la pyramide (fig. 5i), provenant du dédoublement du rhomboèdre (fig, 53) ; j'avais d'ailleurs, dans mon Mémoire, indiqué le choix qu'on pouvait faire entre ces deux formes corrélatives. Cependant, quelques personnes ont cru voir des difficultés, qui n'existent réellement pas, dans une ou deux des explications que j'ai données en les appuyant sur l'hypothèse d'une molécule de forme holoédrique, où l'hémiédrie était accusée seulement par sa structure. On a mal compris surtout ce que j'ai dit touchant la pyrite, et je tiens à rectifier ici ce qu'il y a d'inexact dans les idées que me prête M. Dufrénoy, lorsqu'il rend compte dans son Traité de Minéralogie de ma théorie relative à l'hémiédrie.

Je disais, dans mon Mémoire, que la structure du euhe de la pyrite est telle que tous ses angles solides, toutes ses arêtes et toutes ses faces sont parfaitement semblables, comme dans les cubes ordinaires, mais avec cette différence que tout n'est plus symétrique à droite et à gauche de la même arête, en sorte qu'il doit y avoir, entre les files de molécules qui, sur la même face , sont perpendiculaires entre elles et parallèles aux arêtes, une différence physique provenant de la forme de la molécule et de la manière dont elle est disposée dans chaque file, rajoutais qu'on pouvait se rendre compte de ces particularités de structure, en imaginant un polyèdre moléculaire, formé de six atomes allongés, ou, ce qui est la même chose, de six groupes linéaires d'atomes , avec les dispositions croisées que représentent les figures 54 et 55. Maintenant, on peut circonscrire cetassemblage d'atomes de deux manières différentes et également simples, par deux polyèdres, entre lesquels on choisira la forme représentative de la molécule. L'un de ces polyèdres est le dodécaèdre pentagonal (fig. 5£) auquel on arrive, quand on construit la forme enveloppante, de manière que chaque plan touche à la fois trois atomes appartenant à deux couples rectangulaires:

ÉTUDE DES SYSTÈMES CRISTALLINS. IjS

c'est la forme représentative que j'adopte maintenant, et déjà depuis fort longtemps. L'autre est le cube, figures 54 et 55, qu'on obtient en menant des plans tangents à un seul couple d'atomes et perpendiculaires aux axes : c'est à cette seconde forme que je m'étais arrêté d'abord, dans le Mémoire dont il s'agit. Elle est bien un cube, comme 'on le voit, et non pas un prisme droit à base rectangle ; je n'ai pa9 formé le cube de la pyrite par une juxta-position de molécules prismatiques rectangulaires (comme le dit M. Dufrénoy, pages 59 et 60 du ier vol.) , mais bien de molécules intégrantes cubiques, composées elles-mêmes d'atomes allongés ou disposés en séries linéaires. L'auteur reproduit encore, page ai 3, la même assertion, en disant que ma molécule de la pyrite est un prisme droit rectangulaire, tandis que, sous le rapport géométrique, elle n'est pas autre chose qu'un cube.

Ce qui paraît avoir induit le savant minéralogiste en erreur, c'est ce que j'ai dit des caractères physiques et cristallographiques de ce cube, en faisant remarquer que, sous le rapport de la symétrie, il était une forme intermédiaire entre le cube ordinaire et le prisme rectangle droit, et qu'on pouvait le considérer comme une limite qu'atteindrait ce dernier genre de forme, en supposant que l'inégalité de ses côtés diminue progressivement jusqu'à s'évanouir tout-à-fait, et qu'à cette limite le solide ait encore la même structure et la même symétrie qu'auparavant. Le3 axes de ce cube ayant la symétrie bilatérale, comme ceux du prisme droit rectangulaire, ses arêtes doivent se comporter comme le feraient celles d'un prisme rectangle droit. Ma molécule intégrante de la pyrite était donc cubique par sa forme, en même temps qu'elle présentait le caractère prismatique par sa structure (1). Au reste, toute équivoque disparait, si l'on substitue au cube le dodécaèdre pentagoual; l'adoption de molécules de forme hémiédrique a d'ailleurs l'avantage de permettre une représentation très-nette et très-expressive de la structure au moyen de modèles en bois ou de dessins semblables à ceux des figures 19 et 20, pi. 1.

(1) C'est ainsi que, s'il existe une substance rhomboédrique qui ait pour forme fondamentale un rhomboèdre aigu de 70° 32', le rhomboèdre tangent aux arêtes culminantes de cette forme aura ses angles droits, et sera un cube, quant à la forme géométrique, un rhomboèdre, quant à la structure et a tous les rapports cristallographiques.

BTDBLA MAWÏÈMB DB Ut DÉTBLOl

S 1 . Considération des zones; son utilité. — Loi et méthode des zones.

Les diverses (ormes simples que nous avons étudiées dans chaque système cristallin, et dont chacune est le produit d'une modification isolée sur un des croupes de parties identiques de la forme fondamentale, ne sont encore que les éléments du système, lesquels peuvent se combiner ensuite deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., pour composer des variétés de forme* en nombre très-considérablè , qu'on appelle des combinaisons. Ces combinaisons sont si nombreuses, qu'il faut renoncer à leur donner des noms particuliers, à moi os qu'elles ne résultent de la réunion de deux ou trois formes simples, dont les noms puissent se composer facilement en un seul. C'est ainsi qu'on nomme cubo-octaèdre, la combinaison du cube et de l'octaèdre régulier; er cubo-dodécaèdre, celle du cube et du dodécaèdre rhomboidal. On donne encore assez souvent le nom de tri/orme à la combinaison triple, formée du cube, de l'octaèdre régulier et du dodécaèdre. Mais, à l'exception de quelques cas de ce genre, les minéralogistes, quand ils ont à décrire une forme complexe, la décomposent toujours en ses diverses formes élémentaires, qu'ils énumèrent alors successivement, ou dont ils se bornent à donner les signes cristallographiques , en les écrivant à la suite les uns des autres.

Mais il existe une autre manière d analyser une série cristalline, ou seulement une forme complexe, représentant une portion notable de cette série : c'est de la décomposer en plusieurs systèmes de faces , qui composent chacun ce que nous avons déjà nommé une zone (voyez p. 44)* Une zone comprend toutes celles des faces d'un cristal qui forment autour de lui comme une ceinture prismatique, en se coupant successivement les unes les autres dans des intersections parallèles. On appelle axe de la zone?, une droite passant par le centre du cristal et dirigée parallèlement aux intersections dont il s'agit: c'est, à proprement parler, l'axe du prisme dont ces intersections sont les arêtes longitudinales. La direction de l'axe détermine celle de la zone prismatique elle-même.

Dans la figure i, pi. XII, qui représente une variété de quai?, composée de celles que Haùy a désignées par les noms de rhombifère et de plagièdre, on distingue plusieurs zones de directions différentes, Tune verticale, compte celle qui est composée des faces r, r, r'..,, les autres horizontales (i), comme celles qui se composent des faces P, r, z'..., ou bien z, r\ P'... prises en tour* nant toujours dans le même sens autour du cristal ; d'autres enfin obliques, comme celles qui se composent des faces z, r, x*, s\ P'..., ou bien z,$, r, F..., et qui contournent le cristal en écharpe, de gauche à droite, ou de droite à gauche. Toutes les faces d'une . zone ne se coupent pas toujours suivant des arêtes, comme on le voit pour deux des faces r, dans la figure précitée , lesquelles ne se touchent qu'en un seul point; deux faces d'une zone pourraient même se trouver séparées par une autre face, qui ne ferait point partie de cette zone; mais, dans tous les cas, les deux faces se couperaient comme les autres dans une arête parallèle à la direction commune, si on les prolongeait* au-dessus des . faces étrangères, qui sont interposées entre elles.

Le fait dont il est ici question, et qui consiste dans la rencontre successive de faces, qui se coupent toutes suivant des arêtes parallèles, est fort commun dans les cristaux; il n'avait pas échappé à Haùy, qui avait vu le parti qu'on peut en tirer, pour déterminer plus facilement les formes cristallines composées ou les combinaisons (a). Mais c'est à Weiâs qu'on est redevable de l'importante considération des zones, dans laquelle se résument tous les faits de ce genre, et dont il a su déduire un principe ou une méthode de détermination des plus utiles pour la solution des problèmes cristallographiques, la méthode de détermination par les zones.

Le principe dont il s'agit consiste en ce que, si une face 5 (fig. a, pi. XII) forme zone, d'une part et dans une certaine direction avec deux premières faces i et 2, d'autre part et dans une

(1) Lescristallographes allemands appellent horizontale, la sone dont les faces sont verticales, parce qu'ils la considèrent comme détendant horizontalement autour de la verticale; et, réciproquement, ils nomment verticale, celle dont les faces sont disposées en tournant autour d'un axe horizontal. Il nous a paru plus naturel de déterminer la direction d'une zone par celle de son axe, comme on fait pour les prismes en général, puisque les zones ne sont que des prismes indéfinis, à pans plus nombreux que ceux des prismes ordinaires.

(2) Voyez son Traité de Cristallographie, tome I, p. 470, où il montre comment, indépendamment de toute mesure d'angle, et par une méthode pure- . ment géométrique, on peut déterminer le signe d'une face inconnue, qui forme des arêtes parallèles par ses intersections avec des faces déjà connues.

Cstirs i* Minéralogie. Tome I. 12

autre direction arce deux nouvelles faces 3 et 4; en d'autres termes, si la face intermédiaire 5 est la troncature on section pmrati&ogrammique (î) de l'angle solide que produirait la rencontre des faces i, a, 3 et 4» la face 5 est parfaitement déterminée en direction, et Ton peut avoir son signe par un moyen parement géométrique et sans recourir à aucune mesure d'angle, « l'on connaît d'avance ceux des faces qui la comprennent entre «lies. U est facile de voir, en effet, que la première condition, de Aire Eone avec les faces i et 2, revient à dire que la face à déterminer est parallèle à la droite d'intersection de ces faces, et que far la seconde condition cette face doit être aussi parallèle à ^intersection des faces 3 et 4 : or, un plan est déterminé en dire©- «•«, quand il est assujetti à la double condition d'être parallèle à deux droites connues. U doit donc exister une certaine relation «impie, à laquelle on peut donner le nom d'équation de zone, entre les coefficients paramétriques des faces 1, a et 5, comme nnssi entre ceux des faces 3, 4 et 5 ; et ces deux équations, combinées l'une avec l'autre, donneront les valeurs des paramètres de ila cinquième face, en fonction de ceux des quatre premières éaoes.

Cette corrélation remarquable entre les faces cristallines, qui (permet au cristallographe de déduire une face inconnue de quatoe autres faces déjà connues, est ce que Weiss a appelé la hi des zones. C'est une seconde manière de se représenter la dépendance mutuelle qui existe entre les différents plans d'un même système, et qui a été déjà exprimée par la loi des troncntsves rationnelles. Ces deux lois sont parfaitement l'équivalent «l'une de l'autre ; elles sont toutes deux des conséquences naturelles de la structure en réseau, qui caractérise essentiellement 1a cristallisation; et c'est à tort que MM. Weiss et Neumann ont voulu attribuer une sorte de primauté à la loi des zones, et la «nnsidérer comme l'unique fondement de celle des troncatures rationnelles: elles peuvent, au même titre, être envisagées comme lois primordiales, n'étant que deux expressions différentes d'un même fait primitif, savoir la disposition ré tic uJ aire et paralléloçrammique des molécules cristallines. Mais la loi des zones a une importance et une utilité particulières dansla pratique, que Weiss a montrées le premier, et qui ont été surtout mises en lumière

.(%) ©n démontre, en géométrie., qu'une pyramide quadrangulaire ne peut +ftre coupée que d'une seule manière par un plau, sous la condition que la section soit un parailélogramme.

ÉTUDB DES SYSEBKES CBI8TÀLLINS. 179

par les travaux de deux savants de son école, MM. Neqmann et Qoenstedt.

Pour exprimer de la manière la plus simple la loi des zones, «'est- à-dire la condition nécessaire pour qu'une face soit comprise dans la zone déterminée par deux autres faces, il faut partir

du signe général proposé par Neumann, ( a: 6: c\

par lequel on peut représenter toute face cristalline» en y supposant m9n,p entiers; puis, sans lui rien ôter de sa généralité,

le ramener à la forme plus simple l a : b : c ), en multipliant dans le premier signe tous les termes par p, et faisant, pour abréger, —•= ri,— =v,jt et v pouvant être des fractions rationnelles aussi bien que des nombres entiers. Et alors, si —rrr désignent les caractéristiques connues d'une première

face, — ,— celles d'une seconde face pareillement donnée, et

— , — les caractéristique* cherchées d'une troisième face, comprise dans la zone des deux premières, on aura, pour équation de zone, la relation (i) :

au la suivante, en restituai!* les indices ordinaires m9rhfr & faisant disparaître les déqogûnsrteuxs :

/ m m* \ / n n" \ / m m* \/ n n' \ft%\

Si la face ( — >-r) est aussi comprise dans la zone de deux

antres faces connues ^-,), et ^— ~,~), on aura une seconde équation de même forme que (A) :

Jl — jK» v— v"

et la résolution des deux équations (A) et (C) fournira les va- Il) Yoyex, pour la démonstration de cette formule, l'appendice qui termine ce volume.

l8o MVRB 1. CHAPITBK IV.

leur» de \t et de v, en fonction de celles de \l', V; it", vr; v*9 v"; et t*% v\

Pour n'avoir point à résoudre ces équations dans chaque cas particulier, on pourra se servir des formules suivantes , données par Neuinann (i), et qui se rapportent au signe général

/JL«:-!6:LA:

m^PN' — FN

n^MP- M'P (D),

p==mn'— m'n

en admettant que Ton pose

M = py — n"p'\ WP - nm p" — n" p">\ N «p'm»p"m'|, etN -p^m^ — p"mm\.

P = m'ri' — m'V) P\- m",n,T— mw»m) *

Gomme application de cette méthode de détermination des faces, supposons que dans la variété du quarz, représentée fig. i, on rapporte les faces à trois des axes de la pyramide di-hexagonale, savoir Taxe vertical c de cette pyramide, et les deux axes secondaires a, a, que coupe la face P; on aura immédiatement les signes des quatre faces P, z, S et r, entre lesquelles est comprise la face rhombe s ; le signe de P est évidemment \a:a: c), duquel on tire m' — i,n'— i,p,eas» i* celui de r^est (ooa:a:ooc), d'où Ton conclura m"— o, n" — i , et p"— o ; celui de 2 est ( 00 a : a : c ), d'où m"'— o, nm«— 1, pw«= 1 ; et enfin, celui de r est (a: a: 00c), où trt"— 1, n1*— 1, p,T — o. La facette s7 d'après sa forme parallélogrammique, étant comprise dans la zone des faces P, r*, et dans celle des faces z, r, est déterminable par la méthode des zones; les formules (D) donnent en effet pour les indices de - cette fece m — 1, n — 2, px— 1, ce qui veut dire que la face s

coupe les trois axes à des distances 1, — - et r, comme Haùy

l'avait recorinu, d'après le parallélisme des bords de cette petite facette avec deux des arêtes de la pyramide.

Il importe d'avoir un moyen de s'assurer si trois ou un plus grand nombre de faces d'un cristal font partie d'une même zone, on sont tautozonaires. Si ces faces 4e coupent successivement dans des arêtes parallèles, sans être séparées par des facettes

(2) Voyez ses Beytrœge sur KrystoUonomk, p. 3; Berlin, 1823; et sa Thèse inaugurale, publiée en 1826, sous le titre : De Legt zonarum, pHnèipioevol*tiorUs Systemahm cristatUnonm.

ETUDE DES SYSTEMES CRISTALLINS. l8l

étrangères , on pourra s'en rapporter au témoignage des sens : car l'œil est bon juge du parallélisme de lignes très-rapprochées ; mais, s'il y a des faces qui s'interposent entre les termes de la série zonaire , de manière à ne pas permettre leur intersection immédiate, on aura recours dans ce cas au goniomètre à réflexion, pour savoir si une ou plusieurs facettes font réellement partie de la zone déterminée par deux premières faces. On disposera le cristal sur le support de l'instrument, et on orientera celui-ci par rapport aux mires, comme pour mesurer l'angle dièdre de ces faces, et si les autres facettes reproduisent pour l'œil la même coïncidence d'images qu'on aura obtenue avec les deux premières, ce sera la preuve qu'elles font toutes partie d'une même zone.

Un des grands avantages de la considération des zones dans l'étude des formes cristallines, c'est qu'elle facilite le développement des combinaisons» ou l'évolution successive des différents membres dont se compose le système. Elle permet la détermination des faces inconnues par le moyen des faces déjà connues, et cela sans qu'on ait besoin de recourir à des tâtonnements, et de s'appuyer sur des mesures goniométriques. Dans ce développement progressif, cbaque nouvelle face est déterm* née parles zones des faces antérieurement calculées; et il suffit de connaître quatre premières faces non parallèles, pour pouvoir en déduire successivement toutes les autres : car, d'après la loi des zones, ces quatre premières faces en déterminent une cinquième, qui, combinée ensuite avec trois des faces déjà connues, en donnera une sixième , et ainsi de suite, en combinant toujours les faces nouvelles avec les anciennes.

Il est une propriété commune à un grand nombre de zones, et qui a aussi son utilité dans la détermination des formes cristallines : c'est celle à laquelle on a donné le nom de lautométrie, parce qu'elle permet de calculer directement les unes par les autres les inclinaisons des faces tau to zona ires, des faces qui appartiennent à une même zone, lorsque, d'après la nature du système, des axes cristallograpbiques rectangulaires sont possibles dans le plan normal à l'axe de cette zone. On a reconnu que, dans ce cas, si l'on représente les inclinaisons mutuelles des faces parleurs tangentes trigonométrtques, ces tangentes ont toujours des valeurs numériques ,. qui sont entre elles dans des rapports simples et rationnels ; c'est-à-dire que la loi des multiples, et le moyen de calcul qui en est la conséquence, s'étendent