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dans ce cas jusqu'aux angles eux-mêmes , du moins quand on les exprime par les tangentes (i)*

L'indication des sones de faces, observées dans la série cristalline d'un minéral, sert encore à faire connaître le degré et le mfodè de développement de cette série naturelle, et à établir des distinctions entre elle et d'antres séries du même genre. On remarque en effet que, dans les espèces qui se rapportent au même système cristallin, et qui pourraient par conséquent offrir le même ensemble de formes, il y a souvent une prédominance marquée de certaines zones de races, qui paraissent avoir plus de facilité à se produire que celles qui appartiennent à d'autro «mes. C'est ainsi que, dans le quart-hyalin, les zones obliques ont plus de tendance à se développer que les zones horizontales, et celles-ci plus que ht zone verticale; et il y a déjà longtemps que Weiss a signalé cette marche particulière que suit dans le développement de ces zones diverses, la série cristalline dn qùarz (a). C'est ce genre d'observation qui a conduit les cristallographes à ne plus se coo tenter de figurer isolément les variétés de formes cristallines qu'un minéral présente, mais à les fondre, jpour ainsi dire, dans une représentation générale et commune, de manière qu'on puisse saisir d'un seul coup d'œil la marche et le degré de développement des zones , qui caractérisent le mieux la cristallisation de ce minéral. C'est ce qui a été fait par W. Phillips, dans son Traité élémentaire de Minera* togie, qui offre un grand nombre d'exemples de ces figures d'ensemble : mais, sous ce rapport, on doit une attention toute particulière aux méthodes graphiques, si simples et en même temps si avantageuses, qu'a imaginées Neumann, et qui- constituent comme une sorte de géométrie descriptive à l'usage des minéralogistes.

5 a. Méthodes graphiques. — Leur application à la dbctriàe dès bornes.

Oti doit à M. Neumann de KBnigsberg ridée première des diverses méthodes que l'on suit dans là représentation graphiqtftfe

(1) Voyei sur ce point l'Appendice final, et consultez les auteurs suivants : ftausmann [Handbuch der Minéralogie, 1er vol., p. 84; 1828) et Kupffer {Banâ- •ttcfc der recKnendèn KrysfaUogr aphte, p. 182; 1831).

(I) Voyei le Mémoire tnil a pour titre : Uébvr â*r êigehthùntikhen Gang #ftf frystaUsystems beim Quartz, dans le Magatin der GeseUschaft der Naturfrtunde, !• année, 3* cahier.

ÉTTJDB DBS giaVBKES CB10TALLINS. l|3

dès xencs, otl» plus généralement, d'un ensemble quelconque d* faécs appartenant à une même série (i). Aux figures ordinaires e» perspective, il a substitué des projections, soit sur la surface d'une sphère > soit sur un plan, dans lesquelles chaque face est représentée par un point ou par une droite , et qui laissent voir au premier coup d'œil quelles sont les faces qui appartiennent à «ne même zone, et dans combien de zones différentes tombe la même face.

i° Projection sur la sphère. — Dans cette méthode particu* Itére de projection, on suppose une sphère» décrite d'un rayon . quelconque autour du centre du cristal, et la position de chaque face est indiquée par le point où le rayon normal à cette face rencontre là surface de la sphère de projection. Ce point d'intersection s'appelle le pôle de la face. L'arc de grand cercle, qui se termine à deux pôles donnés, est la mesure de l'angle que forment entre elles les faces correspondantes. La trigonor «nétrie sphérique est le moyen de calcul qui s'offre naturellement à l'esprit» lorsqu'on fait usage de cette méthode de projee» fion. Toutes les faces qui appartiennent à une même zone, on* leur* pôles situés sur un même grand cercle, qu'on nomme certie de zone; et le diamètre qui réunit les deux pôles de ce grand cercle, est ïaxe de la zone. Toute face qui fait partie è la fois de deux ou d'un plus grand nombre de zones, a son pôle situé à l'intersection commune des cercles de oes zones. Celte méthode} proposée d'abord par Neumann et appliquée par luimême, a été suivie par M. Miller dans son Traité de Cristallographie, comme on peut le voir dans la traduction française qu'en a donnée M. de Sénarmont.

2* Projections sur le plan. — A. Première méthode, dite jwr f9inU. Dans cette méthode » on prend pour tableau ou plan de projection, un plan parallèle à l'une des sections principales de la ferme fondamentale. Parle centre des axes, on mène des normales aux diverses faces, et on les prolonge jusqu'à la reft» eeotre du plan de projection : le point d'intersection de ce plan et d'une de ces normales est le Heu de la face qui lui correspond. D est facile de voir que tous les lieux des faces qui appartiennent aune même zone, sont en ligne droite; et autant il y aura, dans la projection totale, de lignes droites passant par trois ou un plus grand nombre de ces points d'intersection , autant la série

(f) fbyss ntftfttg* 4é& xm, et **l a peur une : Btytrmg* mut KrpstaUo-

l84 LIVRE 1. CHARITES IT.

cristalline, ainsi figurée , comprendra de zones différentes. Un simple coup d'œil, ou mieux, si la figure a été faite avec soin, l'application de la règle fera reconnaître ceux des points d'intersection qui seront situés dans une même direction. Toute* fois, la rencontre de plusieurs points en ligne droite est moins facile à constater que le croisement de plusieurs droites en un même point. Aussi , à la méthode par points , dont nous venons de parler, préfère-t-on généralement la méthode par lignes, dont il va maintenant être question.

B. Seconde méthode, dite linéaire , ou par lignes droites. Cette méthode a été également proposée par'Neumann , mais appliquée pour la première fois, et développée par Quenstedt (i). Elle est aujourd'hui généralement suivie en Allemagne (Nau> mann ; Rammelsberg , etc.). Dans cette méthode, on considère les faces elles-mêmes, et non leurs normales, et l'on s'appuie sur ces deux propositions : i° que si toutes les faces d'une série cristalline sont transportées parallèlement à elles-mêmes, jusqu'à ce qu'elles passent par un seul et même point de l'axe vertical, chacune d'elles sera distinguée des autres et déterminée par sa ligne de section ou par sa trace sur le plan formé par les autres axes; a° que toutes celles qui appartiendront à une même zone, se couperont alors en une seule et même droite, qui sera Yaxe ou la ligne de zone. Le point où l'axe d'une zone rencontre le plan de construction, est ce que l'on nomme un point de zone; et dans ce point se croisent, en rayonnant en tous sens, les diverses lignes de section qui représentent les faces de la zone, et que Quenstedt appelle lignes de faces. Réciproquement, dans toute projection de ce genre, chaque point de croisement de plusieurs droites correspond à une zone ; et une face du système tombe en autant de zones différentes qu'il y a de pareils points dans sa trace sur le tableau.

Dans l'application de ce procédé, on transporte toutes les faces parallèlement à elles-mêmes, jusqu'à ce qu'elles passent par un point de l'axe vertical c, situé à l'unité de distance de l'origine des axes : ce qui revient à transformer le signe général de

chaque face ( a : b : c j , dans lequel m, n,p sont des

nombres entiers, en un signe de la forme / a: b:c\, où

(1) Voir Quenstedt : Méthode d$r KrystaUographi* ; Tubingue, 1840; si Handbuch der Minéralogie, 1854.

frUDB DES SYSTÈMES CRISTALLINS. l85

il n'y a plus que deux indices qui puissent varier, et où y. et * peuvent être des fractions rationnelles (voyez ci-dessus p. 179).

Les deux coefficients — , — détermineront chaque ligne de

face, en faisant connaître ses paramètres particuliers, exprimés par les multiples ou les sous-multiples des paramètres fondamentaux a, 6.

Si toutes les faces de la série à figurer sont données par leurs

signes, préalablement ramenés à la forme ( — a: — & '•<?), il

aéra facile de construire la figure générale qui représentera sur le plan, de la manière la plus immédiate, l'ensemble des faces, et rendra sensibles aux yeux toutes les relations des zones qu'elles forment entre elles. Pour cela on tracera sur le tableau deux droites se coupant en un point sous l'angle même des deux axes a et b de la forme fondamentale; on divisera le premier, à partir du point de croisement, en parties égales entre elles et au paramètre a; et pareillement le second , en parties égales à b; et prenant «ensuite, pour chaque face, àes multiples de a et

de 6, égaux à — a, — b, et les portant sur les axes correspondants, à droite ou à gauche du centre , selon que les quantités — , — seront positives ou négatives, on construira successivement toutes les lignes de face, et Ton obtiendra ainsi une figure générale, qui rappellera par sa forme la symétrie propre à la série cristalline représentée. Daus le système hexagonal, au lieu de tracer sur le tableau deux seulement des axes secondaires, on représente les trois axes se coupant sous des angles de 6o°, et la figure totale est alors parfaitement symétrique à l'égard de ce système d'axes. Supposons, par exemple, que l'on veuille projeter sur un plan la variété rhombifère de quarz représentée par la figure 1, moins les facettes x9 x\ et dont la notation cristallographique , conformément à ce qu'on a vu p. 180, est la suivante :

% . (ce ai aie),

t* = (00 aiacoc)

on tracera sur le plan du tableau, autour d'un centre o, trois droites faisant entre elles des angles de 60*, et on les divisera

i86 mu 1. cBAfinB ▼.

en partie égale» à a; et on aura évidemment la trace de la face Vt en prenant sur les deux axes , dirigés en avant , des segments égaux à a; cette trace sera donc la ligne PP. Celle de r lui sera parallèle, et de plus, elle devra passer par le centre o, puisque r 6st verticale et passe par un point de l'axe e : la ligne rr sera doml cette trace. La droite *V représentera de même la face r\ et kl droite z z la face z. Reste maintenant la face s. Si son signe eët donné d'avance, comme ceux des faces dont nous venons de

G trier, on construira sa ligne de section sans aucune difficulté» aïs, pour donner un exemple de la manière de déduire une fttce inconnue de plusieurs faces connues , par la méthode graphique des zones , nous supposerons que f on ignore le signe de fa face 5, et qu'on sache seulement, d'après l'examen du crîsta^ (pie cette face est comprise à la fois dans la zone des faces P, t*, et dans celle des faces z, r. Dès-lors, sa trace est déterminée, sW le tableau de projection , par la double condition de passer pafr le point de zone des faces P, r\ et par celui des faces z et r. Cette trace sera donc la ligne s j, menée par les points d'intersection toi et n. Maintenant la figure donne de plus les -paramètres de la face s : car on sait déjà qu'elle passe, à la distance c de l'origine, sur Taxe vertical, et la figure nous apprend en outre qu'elle coupe l'un des axes a à une distance égale à l'unité para-

métrique, et Taxe suivant à une demi-distance — a. Le signe .

de s sera donc (a: -y- aie), comme nous l'avions déjà trouvé par te calcul.