De la Tautométrie

Nous avons mentionné sous ce nom, page 181 de cet ouvrage, une propriété qui est une conséquence des deux lois fondamentales de la cristallographie, la loi de rationnalité et la loi des. zones, mais qui ne se manifeste que sous une condition particulière, laquelle, à la vérité, se réalise très -fréquemment Cette, propriété est utile à connaître, en ce qu'elle permet de calculer directement, les unes par les autres, les inclinaisons mutuelles, des faces tautozonaires, c'est-à-dire de celles qui sont comprises dans une même zone : elle- consiste, en effet, en ce que les tangentes trigonométriques de ces angles dièdres sont multiples l'une de l'autre; par conséquent, la loi des multiples et le moyen simple de calcul qui en résulte s'étendent alors jusqu'aux angles eux-mêmes, en tant du moins qu'on les suppose représentés par leurs tangentes*

Cette propriété n'existe que pour les zones, dont le plan normal contient deux axes cristallographiques perpendiculaires l'un à l'autre. Dans ce cas, si l'on suppose les différents plans de la zone transportés parallèlement à eux-mêmes, jusqu'à ce qu'ils passent par un même point de l'un des deux axes rectangulaires, ces plans couperont le second axe dans des rapports rationnels: or, il est aisé de voir que les différents segments sont précisément les tangentes des inclinaisons de ces plans sur le premier axe, ou, ce qui revient au même, sur celui des plans qui ] par cet axe et par l'axe même de la zone.

4» Du calcul des angles formés par des faces dont les signes cristaltoyraphique* sont donnés.

Le calcul des inclinaisons mutuelles dès faces secondaires, soit d'un même ordre, soit de différents ordres, est un des objets les plus importants de la cristallographie pratique. Les si* gnes qui expriment la loi de génération de chaque face, contiennent toutes les données nécessaires à la. solution des questions de ce genre, et l'on parvient à les résoudre par deux méthodes différentes, par les formules de la géométrie analytique, ou par celles de la trigonométrie sphérique.

i° Méthode analytique. — La première méthode, celle qui se fonde sur Fan al y se de Descartes, offre cela d'avantageux, qu'elle fournit des formules applicables à tous les cas, et qui donnent im- média tement, par de simples substitutions, l'angle de deux faces quelconques dont la génération est connue. L'emploi de cette méthode se présente naturellement à l'esprit, si l'on se rappelle que tout syjnbole crtaaUographique, tel que (ma inbipc) équivaut

x y z à l'équation 1 — -\ «1, laquelle est celle du plan de

•* ma nb pc *

la fate que l'or* considère, rapporté aux axes sur lesquels se comptent les paramètres. Or, la géométrie analytique conduit à exprimer le cosinus de ifangle des- deux plans* dont les équations sont donnée», en fonction des coefficients des termes dto ces équations. C'est M. Lamé qui, le premier, a indiqué ce moyen aux eristaltographea dans un des numéros des Annales des Mines ( r ), et il a été auto <Jans eette1 toie par un grand nombre de cristallographie, eritre autres pat MM* Kupfier, Na«* mtnn, Fmnàenheim et A. Bravais.

Etr prenant pour axes de coordonnées, les trois axes de cfriatallisation auxquels se rapportent les signes (ma:nbipé)f et (m! a : ftbtp'c) <tè deux feces quelconques, et en supposant d'abord que les trois axe» sottnt rectangulaires, on aura pour représenter l<j cosinus de l'angle dièdre formé par ces face», la forauto bieft connue

(1) Voyez le Mémoire qui *#w, titre. ;^m**QWêlknuimè*e 4$~c&

laquelle «tannera immédiatement la valeur du cosinus, <panr la substitution de» nombres qui expriment les râleurs des paramè* très fondamentaux a, 6, c, et des coefficients paramétrique* m, n,p; tn'n'p.

Cotte formule est, comme on le voit, très-simple et très-praticable» mois elle «appose qu'on *choi*k um système d'axes rectangulaires, ce qui est toujours possible dans les quatre premiers, systèmes cristallins. On appréciera les avantages de cette formule, si l'on fait attention que plus des deux tiers des substances minérales connues se rapportent à ces systèmes, et que pat conséquent elle est à leur égard d'une application, immédiate.

La géométrie analytique donne les moyens de généraliser cette formule et de- l'étendre au cas où les axes de cristallisation sont obliques et font entre eux des angles *> 6 et y- Mais alors» au lieu des trinômes qui composent le>second membre deféq^A? tioq(A), on a des polynômes plus complexes^ comprenant chacun, trois termes multipliés respectivement par oos «, cos * et cas»?: 1* formule devient si compliquée.» qu'il est rare qu'on en fasse usage « on préfère dans ce caa avoir recours à fat seconde méthode, (la méthode trigooométrique)^ excepté peufc-éfcre potor ks formes du cinquième système, ou deux de» cosinus précédents deviennent nuls, ce qui simplifie beaucoup la formule. Nous ne, croyons pas devoir transcrire ici la nouvelle formule, dans toute sa gêné* ralité. Nous nous bornerons à signaler son existence, et l'avantage précieux qu'elle offrirait, aussi bien que la formule (A»), de n'exiger aucune construction, et rien de plus que des substitutions de valeurs numériques, fournies «iniquement par les symboles des deux ffc*es. fitaus ajouterons que» pour appliquer cette formule générale aux formes cristallines d'une substance particulière, il suffira de calculer une fois pour toutes les facteurs des différents termes, qui se composent des constantes a*, 61, c% et cos a, cos S, cos y; ces facteurs deviendront des coefficients numériques, qui ne multiplieront plus que des quantités variables, fonctions très-simples des coefficients paramétriques m,n,p, et mrip. On aura alors le cosinus de l'angle cherché, au moyen de trois logarithmes.

a° Méiliode trigonoméfriqm* Gette méthode, dans le cas le plus général et par conséquent le plus compliqué, consiste à calculer l'angle que l'on cherche au moyen d'une série de triangles,

euler les angles des cristaux, par M. G. Lamé, ingénieur des mines {Annales des Mines , tome IV, p. 60).

les un* rectilignes, les autres sphériques, qui s'enchaînent Pan à l'autre, et dont on calcule successivement un angle au moyen de tables trigonométriques.

Soient Ox, O/, Oz (fig. 87) trots axes de cristallisation, fiai* sant entre eux des angles quelconques «, 6, y; et soient ABC, A'B'C' deux faces secondaires, qu'on peut toujours amener à passer par un même point A de l'axe Oz. IV droite AI sera l'intersection de ceé deux plans, et il s'agit de calculer l'angle dièdre BAIB' qu'Us forment entre eux.

Les traces que forment les deux faces sur le plan fondamental zOj, sont A B et ABr. Désignons par p., et y! les angles que font ces tcaces avec l'axe O z. Au moyen des triangles rectilignes AOB, AO Br, dans lesquels on connaît un angle (y), ainsi que les oôtés qui le comprennent et qui sont les paramètres des deux faces, on pourra calculer successivement les angles p et p', et on connaîtra l'angle £, égal à leur différence p' — ^ Au moyen de deux triangles sphériques, il sera facile dé calculer ensuite les angles dièdres X et X\ formés par chacune des faces avec* le plan primitif zOy. Cela fait, on parviendra à calculer l'angle cherché, qui est l'angle dièdre *, en résolvant un cinquième triangle, le triangle sphérique nXX', dans lequel on connaîtra deux angles (1800— X) et X', et le côté compris £ égal à p'— p. On a dans ce

triangle

„ „ cosic+eof XcosX'

CosI = ■ w . vf >

on X iln X' '

d'où Ton déduit

Coi 7i=cos 2^dn X sin X'— ewX coi X.

Si l'on fait cot ç=cos E • tang X9, on aura enfin

sin 9 formule calculable par logarithmes.

FIN BU TOME PBKMlxa.