OMBRE PORTÉE D'UN PRISME SUR UN AUTRE

28i. Les flg. 8 et 8" représentent les projections verticales d'un prisme à base octogonale et surmonté d'un prisme plus grand et concentrique. Quoique pour déterminer cette courbe le tracé soit semblable aux précédents, nous avons cru devoir le donner pour exemple afin de faire voir :

l® Qu'une droite porte toujours ombre sur une surface plane suivant une droite^ et qu'alors il suffit d'avoir deux points de la droite pour connaître son ombre portée.

Ainsi, la droite E'C^ porte ombre sur la face plane, /(?, suivant une droite ec (fig. 8).

2^ Touie ligne parallèle à une surface plane porte ombre sur celle-ci^ suivant une ligne parallèle à elle-même.

Ainsi, la droite E^G^ de l'embase B' étant parallèle à la face// du prisme A^ porte ombre sur celle-ci, suivant une droite fg, parallèle à la ligne FG, projection verticale de l'arête F'G'. Il n'en est pas de même de la portion e/, fig. 8 parce que la portion de l'arête E^F^ n'est pas parallèle à la face/e' (fig. 8*).

OMBRE PORTâB D'UN PRISME SUR UN CYLINDRE.

285. Les fig. 9 et 9^ représentent une tige cylindrique A, surmontée d'une embase saillante B de forme hexagonale. Nous donnons cet exemple pour faire voir que, lorsqu'un cylindre droit est parallèle ou perpendiculaire à un plan de projection, toute droite perpendiculaire à taxe de ce cylindre et parallèle à ce plan de projection^ porte ombre sur la surface cylindrique suivant une courbe f'galeàsa base; par conséquent si le cylindre est à base circulaire, comme nous le supposons dans le cas présent, l'ombre porlée est un cercle de même rayon que le cylindre : ainsi la droite D'F^ située dans un plan perpendiculaire à l'aie du cylindre A, et en même temps parallèle au plan vertical, ûg. 9, porte

ombre sur celui-ci suivant une portion de cercle cef^ dont on obtient le centre (/ en tirant du point un rayon de lumière 01 » jusqu'à la rencontre de Taréte D'F' prolongée. Ce rayon rencontre la circonférence de la base du cylindre en t", qui est projeté en i sur le rayon correspondant H t, fig. 9, et dé termine un point symétrique au point c^ par rapport à Taxe. Le rayon H i\ prolongé jusqu'à l'axe, donne le centre of de Tare cet, dont le rayon t o' on caf est égal à celui Ci' du cylindre.

286. L'arête F^H^ qui, quoique située dans un plan perpendiculaire à l'axe, n'est pas parallèle au plan vertical , Gg. 9, ne porte pas ombre sor le cylindre suivant un cercle, mais suivant une courbe elliptique/^ A, que l'on détermine par des points d'après les procédés décrits et indiqués d'ailleurs sur ces figures. Si l'embase B qui porte ombre sur le cylindre était carrée au lieu d'être heiagonaie, ce qui se présente souvent, l'un des côtés du carré IH^ fig. 9*, étant perpendiculaire au pian vertical , fig. 9, porterait ombre sur la surface latérale du cylindre suivant la ligne à Wh"" H t.

A\n$\y toutes les fois qu*une droite est perpendiculaire à un plan de projection^ nonseuletnent elle porte ombre sur ce plan suivant une ligne à 45*, mais encore sur toute surface projetée dans ce plan,

0BSBRVATI03I. — Dans les quatre exemples que nous venons d'examiner, on s'est contenté de ne représenter en lignes d'opérations que la demi-projection verticale auxiliaire Â^fi^ comme étant sufAsante pour déterminer Tombre, qui n'est d'ailleurs apparente que sur la surface correspondante à cette moitié. Les opérations relatives à la détermination de l'ombre ne sont évidemment pas changées, lorsque l'axe des objets est horizontal au lieu d*être vertical.

OMBRE d'un cylindre OBLIQUE.

287. Nous donnons dans les figures 5 et 5« les projections horizontale et verticale d'un cylindre droit dont l'axe est horizontal, mais incliné au plan vertical.

Dans cette projection oblique, on se trouve amené à faire un tracé particulier pour déterminer les lignes de séparation d'ombre et de lumière, qui sont toujours des droites parallèles à l'axe du cylindre, parce qu'on ne peut obtenir directement les points de contact des rayons lumineux avec la base.

Nous nous senirons à cet eiïct d'une construction générale que nous verrons appliquée dans un grand nombre de cas. Cette construction consiste i déterminer sur un plan donné quelconque, perpendiculaire à l'on des plans géométraux, la projection du rayon de lumière et à trouver ensuite le rabattement de ce rayon sur l'un ou l'autre des plans de projection; il en résulte que si dans ce plan donné on a une courbe quelconque, Q suffit pour avoir un point de la ligne de séparation de lumière situé sur cette courbe, de mener à cette dernière une ou deux tangentes parallèles au rayon de loodèfe pi^jeté sur son plan et rabattu dans le plan de projection.

Ainsi, soient RO et R'O'» les projection s d'un rayon de lumière, <

nous de déterminer la projection de ce rayon sur le plan aft de la base du cylindre; à cet effet, projetons le point R en r par une perpendiculaire à a 6, la ligne r représente la projection horizontale du rayon de lumière sur ce plan a 6, la projection verticale r' (y de ce rayon s*obtient en projetant le point O en 0', sur la ligne de terre, et le point r en r', sur Thorizontale RV et en joignant ce point r' au point 0^ On mène alors sur la fig. 5" des tangentes aux ellipses, projections verticales des bases du cylindre et parallèles au rayon r'O', leurs points de contact donnent d'une part la première ligne t/d^ de séparation d'ombre et de lumière qui est apparente sur le plan vertical, et d'autre part la seconde ligne e^f qui n'est pas visible.

En projetant ces points de contact respectivement sur les deux bases a 6 et gh 9 on obtient les mêmes lignes de séparation d'ombre et de lumière cdetfe sur le plan horizontal.

Ces mêmes lignes cd elfe peuvent être déterminées sans avoir recours h la projection verticale, en faisant le rabattement de la base du cylindre en a'6^, et celui du rayon de lumière projeté sur cette base; à cet effet, après avoir tracé le cercle a^m 6^ avec le rayon «, on porte de r en r* la hauteur IW du point R au-dessus du plan horizontal, ce qui donne la ligne r^, pour le rabattement du rayon de lumière dans le plan de la base. Si on mène alors deux tangentes au cercle et parallèles à ce rayon, leurs points de contact c^ etp représentent en rabattement les lignes de séparation d*ombre et de lumière que l'on obtient sur la 6g. 5, par des perpendiculaires menées de ces points sur la droite ab.

288. Lorsqu'on a ainsi déterminé l'ombre propre du cylindre, il devient facile de tracer son ombre portée sur le plan horizontal ; d'une part on construit l'ombre portée par les deux bases, ce qui donne des ellipses, et de l'autre celles (/^d^' et /'V portées par les deux lignes cdetfe de séparation d'ombre et de lumière, et qui sont justement des tangentes à ces ellipses.

Si le cylindre se trouvait incliné à kb° sur le plan vertical , tout en restant horizontal, les lignes de séparation d*ombre et de lumière se confondraient avec les génératrices extrêmes en projection horizontale et en projection verticale sur la ligne d*aie ou ligne milieu du cylindre.