TRACÉS

BBS OTALES, ELLIPSES, PARABOLES, VOLUTBS, ETC.

Planche 5*.

DE L'OVE. fig. !'•.

50. \^we est un ornement fréquemment employé en architecture, et qui participe du cercle et de l'ovale.

Cette courbe, qui se rapproche par sa configuration de la forme d'un œuf, se trace ainsi : on se donne les lignes d'axe A6, CD, perpendiculaires l'une à l'autre ; du centre 0, point de rencontre de ces deux perpendiculaires, on décrit un premier cercle CADE , qui forme la partie supérieure de Tove ; on porte la distance BE, différence entre les rayons OC et OB, sur la diagonale

Zi COURS RAISONNE

CB de C en F, on élève une perpendiculaire GH sur le milieu de FB; cette perpendiculaire rencontre les lignes d'axe aux points î et H, le premier est le centre de Tare JBK, et le second est le centre de l'arc Cl tracé avec le rayon JH; si on porte le point H en L, à la même distance du point 0, et qu^on trace la ligne LK passant par le point I, on aura aussi l'ai'c DK symétrique et égal au premier CJ.

On voit l'application de cette ove au fragment de corniche (â).

51. V ovale est une courbe qui diffère de Tove en ce que la partie au-dessus delà ligne CD, est exactement symétrique par rapport à cette ligne avec celle qui est au-dessous, par conséquent il suffit de répéter le tracé indiqué pour ta partie LBH (fig. \r.)

DE l'ellipse, fig. 2.

53. Vellipse est une courbe fermée qui est telle que la somme des distances d'un point quelconque A, pris sur elle à deux points fixes B, C, appelés foyers, est toujours égale à une ligne donnée D£. Cette dernière est le grand diamètre ou le grand axe de l'ellipse, et passe par les deux foyers.

La cx)urbe est symétrique, non-seulement par rapport au grand axe, mais encore à une autre ligne FG perpendiculaire sur le milieu de la première, et qui prend le nom de petit axe.

Le point de rencontre des deux axes est le centre de l'ellipse.

Les lignes droites BA, CA, CF, etc., partant des foyers et concourant en des points quelconques de la circonférence de l'ellipse, s'appellent des rayons vecteurs. Ainsi la somme de deux rayons , BJ et JC qui partent d'un même point, est égale au grand axe DE.

Pour décrire cette courbe, on emploie en dessin divers moyens que nous allons faire connaître.

53. l'« solution.-- Elle repose justement sur la précédente définition et consiste à se donner le plus généralement les deux axes DE et FG ; on obtient d'abord les foyers B et C, en décrivant de Tune des extrémités F du petit axe avec un rayon DO égal au demi-grand axe, un arc de cercle qui coupe ce dernier aux points désignés. Si , après avoir marqué un point H quelconque sur le grand diamètre , on prend la partie DH et que du premier foyer B on décrive des arcs de cercle en I et ea J, puis que du second foyer C avec l'autre partie HE comme rayon on décrive deux autres arcs, les points de rencontre I et J de ceux-ci avec les premiers seront deux points de l'ellipse. Les deux points A et K, symétriques aux précédents, seront obtenus avec les mêmes rayons, mais en transposant les centres de B en C et réciproquement, c'est-àdire que AC et CK sont égaux à DH, comme BA et BK sont égaux à HE.

On voit de même qu'en partageant encore le diamètre DE en deux parties inégales DL et LE, on obtiendra aussi quatre autres points de la courbe. En répétant cette opération avec autant de points différents L, H, r, etc., pris sur le

grand axe, on multipliera les points par lesquels doit passer la courbe qui se desaine à la main.

Dans la construction on décrit de grandes ellipses en substituant, au compas ordinaire, des tiges rigides années de pointes ou un compas à verge.

V Ellipse du jardinier se trace avec un cordeau dont les extrémités sont situées aui foyers B et C, et qu'une pointe maintient tendu suivant les rayons vecteurs.

6k. 2« solution. — On prend une bande de papier dont Tun des bords db est rectiligne, on marque sur le côté une longueur ab égale au demi grand axe, et une autre bc égale au demi petit axe ; on place la bande de manière à ce que les deui points a et r se trouvent, Tun, qui représente Textrémité du grand aie, snr le petit diamètre FG, et le second c, qui représente Textrémité du petit axe, sur le grand diamètre DE. Si on promène cette bande, en laissant toujours les deux points a&tc sur leurs lignes respectives, le point extrême b indiquera successivement différents points de la courbe, qu*on a le soin de marquer au crayon pour ensuite la tracer à Tencre.

55. 3* solution (6g. 3] .— On démontre en géométrie descriptive, commç nous le verrons plus tard, que si on coupe un cône ou un cylindre à base circulaire par un plan incliné à Taxe, la section est une ellipse. C*est sur cette propriété qQ*est basé le tracé que nous allons indiquer. Après s*étre donné les deux axes AB et CD, dont le point de rencontre est en 0, on trace une ligne quelconque AE égale en longueur au petit axe CD, on décrit sur cette ligne, considérée comme diamètre, le demi-cercle EGA, on joint le point E au point B, et par une suite d'autres points 1 , 2, 3, 4, etc. , pris à volonté sur EA , on trace des parallèles à EB, et de ces mêmes points on élève sur EA des perpendiculaires la, 2^9 3c, etc. On porte successivement la longueur de ces lignes sur d'autres perpendiculaires iV, 2'6^ 3^c\ élevées sur AB; la courbe passant par les différents points a' V c' d\ etc. est l'ellipse cherchée.

56. b* solution. — On trace sur le grand axe AB, regardé comme diamètre, le demi- cercle AFB, et du même centre on en trace un second HDI avec un rayon égal au demi petit axe. On divise la première circonférence AFB en piosieurs parties égales, i^j, k^ ly etc. On réunit ces divisions au centre commiiD 0, ce qui donne les points correspondants i'f k' l' sur la deuxième circonférence HDI ; de ces derniers points on mène des parallèles au grand axe AB, et des premiers ijkl^ on mène des parallèles au petit axe CD; la rencontre de ces lignes donne les points g, r, 5, t, appartenant à la courbe. Il est à remarquer que dans ces deux dernières solutions, il n'est pas nécessaire de connaître les foyers.

On a imaginé plusieurs instruments dont quelques-uns sont fort ingénieux pour tracer les ellipses comme on trace des cercles au compas; mais en général ils ne paraissent pas assez simples ou assez conunodes pour être appliqués avantageusement dans le dessin géométral.