PRINCIPES ET APPLICATIONS

{ Planche 42. )

k2k. Nous donnons le nom de perspective parallèle à des projections obliques qui diffèrent des précédentes en ce que les rayons visuels, que jusqu'ici nous avons supposés toujours perpendiculaires aux plans géométraux , forment au contraire avec ces plans un certain angle tout en restant parallèles entre eux, d*où il résulte que toutes les droites qui sur ces objets sont parallèles, conservent leur parallélisme dans ce genre de perspective. Bien qu'en général rinclinaison de Tangle soit indifférente , cependant il est préférable dans le dessin d'en adopter une convenable qui ait lavantage de faire connaître par une seule projection les dimensions de Tobjet.

Soient AB et \'B\ (ig. l.et 2, les deux projections d'une droite à laquelle nous supposons que les rayons visuels doivent être tous parallèles. La projection verticale AB, de cette droite, forme avec la ligne de terre LT un angle CAT, qui est égal à 30 degrés, et sa projection A'B^ est telle que la distance AA^ du point A où elle perce le plan horizontal à la ligne de terre, est égale à deux fois la longueur AB de sa projection verticale, le point B étant celui où elle perce le plan vertical.

Nous allons faire comprendre par les diverses figures de la planche <^2, qu'en prenant de telles droites pour directrices des rayons visuels , une seule et même projection verticale suffît pour exprimer toutes les dimensions d'un objet. Au lieu de faire coïncider les directrices des divers objets représentés sur cette planche avec la projection même des droites que nous venons d'indiquer, nous avons choisi de préférence le rabattement de ces mêmes lignes sous un angle de 30^. Ainsi les lignes e!d!'V%'' (fig. 3), sont les droites perpendiculaires aux plans de projection rabattues sous l'angle en question, tandis qu'au contraire la droite yz représente la projection de ces droites, parallèle alors à la projection horizontale A^ B^ de la figure 2.

425. Le relief, fig. A, représente la perspective parallèle, cavalièreou bâtarde d'un prisme E, à base carrée, qui surmonte un socle F également prismatique

34i COURS RAISONNE

et carré. Nous supposons que ce prisme est représenté d*abord en projection horizontale, flg. 3, par deux carrés conœntriques (*) a'd'ef, et Wi'ki^ et en projection verticale, fig. 4, par les rectangles a 6c(f et ghij; ces projections sont faites en admettant comme nous Tavons fait jusqu'à présent que les rayons visuels sont perpendiculaires aux plans géométraux.

Or, si au contraire ces rayons font avec ces plans de projection un angle égal à celui de la droite donnée (ig. 1 et 2, chacune des faces parallèles au plan vertical i-este parallèle à ce plan et égale à elle-même, tandis que toutes les faces perpendiculaires aux deux plans de projection s'obliquent de telle sorte que les traces horizontales deviennent parallèles à A^B^, fig. 2, et les traces verticales parallèles à AB, fig. l'\ Par conséquent, si par les sommets des angles saillants ahij^ etc., fig. 4, on mène des droites parallèles à AB, elles exprimeront les directions de toutes les arêtes perpendiculaires au plan vertical. Puisque, comme nous Tavons dit, la longueur de la projection AB, fig. V\ est égale à la moitié de la perpendiculaire AA^ fig. 2% si à partir des points a Ai;, etc , on porte sur les lignes obliques que Ton vient de tracer et de chaque côté de ces points des distances ac? et a/*, A A' et A /*, 1 1* et t A*, etc., respectivement égales à la moitié des longueurs a! m et A^n, etc., on aura sur la fig. 4 la représentation en perspective des diverses droites perpendiculaires au plan vertical ; et comme toutes les autres arêtes sont parallèles à ce même plan vertical, toutes celles qui sont verticales restent verticales et toutes celles qui sont parallèles à la ligne de terre restent horizontales.

Ainsi, les arêtes a 6, A^, dc^ />, étant verticales, deviennent en perspective des verticales a* 6^, A^^» 'V» rf^^*» de même les arêtes ad^ bc^hi, etc., qui sont parallèles aux deux plans de projection, sont exprimées par les droits a^tP, bV.h^i^, parallèles à la ligne de terre.

On voit, en adoptant le rayon visuel suivant Tangle que nous avons indiqué, que la seule vue perspective de Tobjet peut en faire connaître toutes les dimensions, car on a d'une part exactement les largeurs et hauteurs des faces parallèles au plan vertical , comme si la perspective était une projection géométrale ordinaire avec les rayons visuels perpendiculaires, et d autre part les lignes obliques qui repi*ésentent toutes les arêtes perpendiculaires au plan vertical, et qui sont égales à la moitié de la longueur de ces dernières.

Obsenons ici que les bases des prismes étant quarrées , les côtés A'/, et t'*, sont égaux à ceux A'T, ou tk; par conséquent, pour construire la projection oblique ou la perspective fig. 4, le plan fig. 3 devient inutile, puisque alors il suffit de porter sur les lignes obliques la moitié des longueurs ad ou A» en d^fi^ ou l'A*.

426. Le relief 2 représente un tronc de pyramide régulier G, reposant sur

t. On appelle earréS' concentriques les carrés qui ont leurs cùtés paraUèles et également ilisUnts run île Tautre ; leur ceiUre de figure ou la rencontre Je leurs diagonales est alors rcpnhscutê par un mOmc point.

une base octogonale H, dont la projection horizontale est indiquée en lignes pleines sur la Gg. 5, et la projection verticale en lignes ponctuées sur la Gg. 6.

D'après les principes exposés plus haut on obtient la perspective de cet objet en menant d*abord (fig. 5) toutes les droites perpendiculaires et parallèles à la ligne de terre passant par les angles opposés de chacun des octogones qui représentent la base supérieure et la base inférieure du tronc de pyramide ainsi que celle du socle. Parmi a*s lignes, toutes celles alâf^ f'ffy h'i\ etc., parallèles à la ligne de terre, ainsi que les côtés pV, /V, t?V, qui lui sont également parallèles, restent horizontales dans la perspective flg. 6, et au contraire toutes les droites, telles quep'r', <'y^t;V, ainsi que les côtés ay^ h!l\ Vk\ pcrpefidiculaires à la ligne de terre, deviennent inclinées à 30 degrés par rapport à cette ligne dans la fig. 6 , c'est-à-dire parallèles à la droite AB, fig. t^*.

Si donc par les points ag^ pq^ etc., et les points A,o,t, des deux bases du ti*onc de pyramide, on mène des parallèles à cette droite, puis qu'à partir de chacun de ces points on porte de 'chaque côté des distances a, a^ g^ g*, /?, p^, A, A", etc. , resjMîctivement égales aux demi -longueurs des droites correspondantes à mf et g' n, etc., de la fig. 5, on aura la perspective parallèle de toutes ces lignes, et par suite en joignant les points extrêmes de chacune d*ellcs, toutes les arêtes qui expriment les contours de chacune des bases, puis en joignant les sommets des angles correspondants de ces bases, on complète la fig. 6.

427. La perspective d'un objet cylindrique dont l'axe est perpendiculaire au plan vertical tel que le relief (fig. c] peut être déterminée sans le secours de la projection horizontale, pourvu que Ton connaisse la longueur du cylindre et desparties perpendiculaii'es au plan vertical.

Soit ahcdgfe (fig. 7) la projection verticale de cet objet, la perspective de sa hàwahcd sera parallèle à AB. Les cercles qui ont leur centre en o, étant parallèles au plan vertical, sont vus en perspective suivant des cercles égaux à eux-mêmes et que l'on obtient en menant par le centre o, la droite o'o^ parallèle à AB, et en portant de chaque côté du point o, des distances égales à la moitié de la demi-longueur du cylindre mesurée dans le sens de l'axe perpendiculaire au plan vertical ; on décrit alors des points o'o^y conune centres, des cercles avec les rayons égaux o'/ et clf ; les lignes ff^^ et », t' tangentes aux cercles et parallèles à la droite o'o^, expriment en perspective les génératrices des deux cylindres ; les portions cylindriques qui raccordent ces cylindres avec la base se déterminent de même par la ligne n n^, tracée du centre n, du cercle dg^ parallèlement iio'o^j et parles distances nn\ nn^^ égales à la moitié de la demi-longueur réelle de ces surfaces cylindriques.

428. Le relief, fig. ::, représente un cône assis sur un socle cylindrique de même axe perpendiculaire au plan horizontal. Ce cône et ce cylindre sont projetés sur le plan, fig. 8, en lignes pleines, etsur l'élévation, fig. 9, en lignes ponctuées.

On divise les cercles qui expriment, fig. 8, les bases du cône et du cylindre

en un certain nombre de parties égales, et aax points de division 1« 2, 3... 8, 9 on abaisse dés perpendiculaires à la ligne de terre, et que Ton prolonge jusqu'à la ligne horizontale a' o\ qui est la projection verticale commune de ces bases. Par les points a\ b\ c\ o\ on mène des droites parallèles à AB, fig. 1'% et on porte sur chacune d'elles des distances 0^2^, 6^3, c^k\ (/5\ respectivement égales aux demi-longueurs des perpendiculaires 2a, 36, ie^ 5o; ce qui donne ainsi tous les points 2^ 3^ k\ 5^ qui , réunis , donnent une ellipse pour la perspective de la base du cylindre; on a de même les points 6', 1\ 8^ de l'ellipse qui représente la perspective de la base du cône.

Les hauteurs du cône et du socle cylindrique restent ce qu'elles sont réellement, puisque leur axe est parallèle au plan vertical; il n'en est pas de même de leurs bases qui , étant horizontales, se projettent obliquement suivant les ellipses que nous venons de déterminer. Le sonunet du cône , qui se trouve à Textrémité de Taxe vertical, ne changeant pas, il suffit de mener par ce point deux tangentes o^iw, et o^n, à Tellipse &, 7', 8', pour avoir les génératrices qui expriment son contour extérieur en perspective.

429. Le relief, fig. s , représente la perspective d'une sphère métallique qui surmonte une base polygonale et à gorge circulaire dont la tige est filetée. Les fig. 10 et 11 en sont les projections horizontale et verticale.

Nous ferons d'abord remarquer que la sphère, dont le rayon est o a, peut se déterminer en perspective ou en projection oblique, de plusieurs manières: 1* en imaginant des sections horizontales aft, cd, ef, qui donnent en plan des cercles dont les rayons sont aV, (/o\ et e'o^ on obtient la perspective de chacun de ces cercles par les mêmes opérations qne précédemment , ce qui donne une suite d*ellipses que l'on raccorde extérieurement par une courbe qui leur est tangente et qui est elle-même elliptique. 2° En menant des plans gh^ ijy parallèles au plan vertical, lesquels se projettent eu perspective, suivant des cercles dont les rayons sont V'g^ im, et dont les centres se trouvent sur la ligne oblique ii n\ parallèle au rayon visuel AB, et passant par le centre o de la sphère; la courbe extérieure menée tangentiellement à la circonférence extérieure de tous ces cercles détermine également le contour de la perspective de la sphère. 3^ En menant d'abord par le centre o un rayon visuel nn\ puis une perpendiculaire ee'^ , passant par le même point; on porte à partir du centre o, et de chaque côté, les longueurs oe, o^\ égales au rayon ao de la sphère, ce qui donne le petit axe de l'ellipse. Pour en obtenir le grand axe, il faut mener des tangentes au grand cercle de la sphère, parallèles au rayon visuel rabattu sur le plan vertical. Le rabattement k"^ de ce rayon est indiqué sur la fig. l^^ et se détermine, d'ailleurs , en élevant du point A une perpendiculaire sur AB, et en y portant la distance AA^ de A en k".

On a les points de contact//, de ces tangentes à la sphère, en traçant du point 0, fig. il, une perpendiculaire à A^^B. Ces tangentes rencontrent le rayon n n! aux points nn\ dont la distance est le grand axe de l'ellipse que Ton peut alors décrire par l'un des procédés connus.

Ce dernier moyen est évidemment le plus simple pour la perspective de la sphère^ mais il lui est tout spécial, car pour toute autre surface de révolution, conrnie celle de la gorge qui réunit la sphère à sa base hexagonale, ce procédé n*est plus applicable. Dans le cas où Taxe de la surface de révolution est vertical, comme cela a lieu dans cet exemple, il faut recourir au premier moyen général qui consiste h faire des sections horizontales; lorsqu'au contraire Taxe de la surface de révolution est horizontal, on emploie le second procédé qui consiste à faire des sections parallèles au plan vertical ou perpendiculaires à Taxe.

La perspective du filet de vis, dont est garnie la tige de la boule, se détermine d'une manière analogue à celle d*un cercle ; il suffit, en effet, d'établir les deux projections géométrales, fig. 8 et 12, d'un ou de deux filets, et de construire la perspective de tous les points qui ont servi justement au tracé des hélices. Ainsi on mettra, par exemple, le cercle Ipq (fig. 8) en perspective en ^, p^, q* (fig. 13), en conservant à cet effet les mêmes points Ipq, etc., qui ont servi au tracé de la vis : par ces points l*p*q* on élèvera des lignes verticales sur lesquelles on portera les hauteurs l'P^ VP, p'p^, etc. ; puis , par les points /', /", etc. , on tracera une courbe qui donnera l'hélice extérieure en perspective. En faisant la même opération à l'égard du cercle intérieur r, 5, t (fig. 10), on aura de même Thélice intérieure.

L'examen de la fig. 13 démontre, d'ailleurs, que les hauteurs des lignes verticales sont les mêmes pour les deux hélices , puisqu'elles sont élevées de points pris sur des rayons communs aux deux cercles V, p'\ et rst^ considérés comme des bases.

Nous croyons inutile d'entrer dans plus de développements sur ce genre de perspective parallèle, dont nous avons d'ailleurs fait voir une application générale dans la machine à percer, représentée fig. 1, pi. 35, et qui résume à peu près tout ce qui peut se présenter à ce sujet dans les organes mécaniques.

Dans cet ensemble comme dans les figures que nous venons d'étudier, nous avons constamment admis que les rayons visuels restent toujours parallèles entre eux et ont leurs projections verticales inclinées à 30 degrés avec la ligne de terre, de telle sorte qu'une seule et même vue remplace deux projections géométrales, non-seulement pour exprimer les contours extérieurs de l'objet, mais encore pour rendre apparent tout ce qui existe sur leur surface.

On comprend l'utilité de cette méthode pour donner à simple vue une idée générale et précise du relief d'un objet quelconque ; elle est souvent plus intelligible pour les gens du monde et peut simplifier, dans certains cas , les croquis d'un levé de bâtiment ou d'un appareil mécanique.

en un certain nombre do pari:.

8, 9 on abaisse^ des perpendicii justpi'à la ligne horizontale a ' res bases. Par les points a\ t, fig. V\ (»t on porte sur eharnni pectiveinent éjçales aux deini-l" ce qui donne ainsi tous 1rs pni.

ellips(» pour la perspective de (>', 7', 8', de l'ellipse cpii n^prcM

Les hauteurs du cùne et du ^ lenient , puisipie leur axe est .

même lU) leurs bases qui, étar* \ant les ellipses que nousveintr(uive à Ft^xtrémilé de Taxe \ei ce point d(»ux tangentes o-w, •• ratricesqui expriment son con.

^29, Le relief, fig. r , reprqui surmonte une base pol\g< Les (îg. 10 et 11 en sont ie>

Nous fcîrons d*abord rem se déterminer en perspeclj»

1* en imaginant des ser!

des cercles dont les rayoo chacun de ces cercles i dimne une suite d'(»lli|qui leur est tangente f/^'» 0» parallèles au vaut des cercles dsur la ligne obli(p de la sphère:

rence extéricM:

jKM'spective <!

ww', puis V partir du • an il{\ la axe, il r..

rayon ^ indiqu' perpei

On point rayon Ton !>•

limu donnée au tableau le dessin de la perspective de

irent, puisque tous les points sont situés sur la ligne

klldns rabattre le plan du tableau dans le plan vertical de

).û^nt tourner autour du centre o , intersection de la

de ten*e L M. Dans ce rabattement, chacun des

H it des arcs de cercles qui les ramènent en a', 6', c', rf*,

^ II) l'iève de ces derniers des perpendiculaires à celle-ci «

i\m liorkon taies menées des points a'\ b"f\ ef'\ les

ilr ces lignes donnent la perspective «*, 6\ £?\ d\ des

\ lia^e supérieure du prisme ; on a de môme (?^P^ g^ h,

' la base inférieure qui est parallèle à la première; par

nti ions ces points deux à deux , comme Tindique la

If €iilière de tout le contour extérieur de Tobjet; le

: rieur « on aperçoit dans C43tte perspective le contour

iimndaiU à la base t, m, n, o, de cet évidement.

It^iU les projections géomctrales sont V et \\ se projette

|i»'im en ViV^\ dans le rabattement de ce plan sur le plan

vue se rabat en v^, v'' ; par conséquent le point v'^ est la

lit de vue sur le dessin en perspective.

' tracé que chacune des lignes a* b\ a* d\ et 6* c\ qui

rive des arêtes correspondantes ab, ad, eibc, sont les

]>laris pïisant par ces droites et par le point de vue avec le

Hf romme Ttritersection de deux plans est toujours une ligne

Kidut:

'^pèctive d*Ufic ligne droite est une ligne droite. \mû que les verticales telles que b^ e^, c^ ^9 d* g^ sont les perrries verticaleâ projetées en by c, d, d où on déduit : frs perspecHves de droites verticales sont verticales, lorsque le i-méme vertical, élément que les horizontales b* c*, ePa*, et c* A, Pg^ de laperspecoïidenl aux droites projetées horizontalement bc^ad, et parallèles y, d'où:

La perspeciim de toute droite horizontale et parallèle au tableau est Je.

.. icî droites o*A\ lJ^^^ B^P et hg, qui concourent au même point t/^ lion du point de vue sur le tableau , correspondent aux arêtes a 6, dc^ .uriiontales et perpendiculaires au tableau ; d'où il résulte : .iâ. i* Les perspectives des droites horizontales et perpendiculaires au 4» imUMeau sont des droites qui concourent au point de vue. Ob voit encore par les fig. 1 et 2 , que la largeur de la perspective dans le H«iB fig. A, est comprise entre les points b^ et d^, qui appartiennent aux • ayons visoels extrêmes menés en projection horizontale, et que sa hauteur est limitée entre les deux points a^^ et e^\ qui correspondent aux rayons visuels