ÉTUDE DES PROJECTIONS

75. En dessin « pour faire connaître eiactement tontes les dimensions d*nn objet, on doit représenter celui-ci sous plusieurs aspects différents; ces vues diverses comprennent habituellement, Yélévation^ le plan^ le profil^ et sont connues sous la dénomination générale de projections.

Vélude des projections ou la géométrie descriptive a donc pour objet la représentation exacte sur le papier de tous les corps à plusieurs dimensions, envisagés sous diverses faces.

On est convenu de ramener les projections d'un corps quelconque à deux plans principaux , dont l'un est appelé le plan horizontal et l'autre le plan vertical. Ces deux plans sont aussi nommés plans géométraux ou plans de projection.

La ligne d'intersection qui sépare ces deux plans prend le nom de ligne de terre; cette ligne est toujours horizontale , et dans le dessin nous la supposons parallèle à l'un des côtés du cadre du papier.

Comme il est important de bien connaître les principes élémentaires de la géométrie descriptive pour arriver à rendre sur le dessin toute espèce d'objets è contours déterminés, nous croyons utile d'entrer dans quelques détails explicatifs à ce sujet, en commençant d'abord par les projections d'un point et d'une ligne.

PRINQPES ÉLÉMENTAIRES.

PROJECTIONS d'un POINT.

Planche 6*.

76. Soit AECD (fig. 1 et 1«) un plan horizontal, représentant, par exemple, la table sur laquelle on dessine, ou si l'on veut, la surface d'un parquet. Soit également ABEF, un plan vertical dont on peut avoir l'idée par la muraille même qui s'élève sur le parquet ; la droite AB, intersection de ces deux plans, est la ligne de terre: soit enfin un point quelconque situé dans l'espace, et dont il s'agit d'obtenir la représentation sur le dessin.

Si, de ce point 0, on abaisse par la pensée une perpendiculaire Oo sur le plan horizontal, le point d'intersection o, ou le pied de cette perpendiculaire,

il, COURS RAISONNÉ

est ce que l'on est convenu d*appel(T la projection horizontale du point donné.

\M: même, si du point on abaisse la perpendiculaire O o' sur le plan vertical ABKF, le pied (/ de cette perpendiculaire est la projection verticale da même point.

On reproduit ces perpendiculaires dans les plans de projection par les li(çne«i n et n o\ parallèles et respectivement égales aux premières Oo' et Oo.

77 il résulte de ce principe, que lorsque les deux projections d*un point sont données, le point lui-même se trouve déterminé, puisqu^il est le point de rencontre des deux perpendiculaires élevées sur les deux plans de projection.

Oommr; en dessin on n*a qu'une surface, la feuille de papier, et qu'où ne piMJt alors opérer que sur un seul et même plan, on est convenu de mippoaer, |Mir la |)ens«';c , le plan vertical ABEF, rabattu sur le prolongement du plan horizontal, en tournant autour de la ligne de terre comme charnière, tel serait un livre ouvert à angle droit , que Ton coucherait sur la table. On a ainsi la figure DCEF (fig. 1'), représentant sur la feuille de papier les deux plans de projection réunis dans une seule et même surface, et divisés par la ligne AH.

Dans celle transformation pratique des plans géométraux, les points o, cf représentent les projections horizontale et verticale du point donné.

Il est A remarquer que ces points se trouvent sur une même peipendiculairr à In lignes de terre, jmrce que dans le rabattement du plan vertical, la droite no\ forme le prolongement de la droite no; il faut observer que la ligne no\ mesure la distance du point donné au plan horizontal, comme la ligne o n indique la distance de ce même point au plan vertical. On comprend (|ue si par la pensée on élève du point o une ligne verticale, sur laquelle on porterait la longueur no'^ on aurait exactement la position du point O, donnée pi'écédemment.

On voit donc bien maintenant qu'un point dans l'espace est toujours déterminé par les deux projections.

PROJECTIONS d'une DROITE.

78. En général, en abaissant de plusieurs points pris sur une ligne donnée, des perpendiculaires sur les plans de projection, les lignes qui joignent les pieds des perpendiculaires sur chaque plan sont les projections de la ligne donnée.

Lorsque la ligne est droite, il sufBt de connaître les projections de deax points de cette ligne pour qu'elle soit déterminée.

79. Soit MO (Gg. 2), une ligne droite donnée dans l'espace, et que noua supposons ici perpendiculaire au plan horizontal , et par conséquent paralltie «■ plan vertical de projection. Pour avoir sa projection sur ce dernier, il ImA abaisser les perpendiculaires M m^, o', et joindre les points m', f/; dans ce cas, la projection m\ o'^ est égale à la droite elle-même.

La projection horizontale de la droite donnée MO, se réduit à un seul |

m , iMurce qu*elle se confond avec la perpendiculaire M m , abaissée d*un de ses points sur le plan horizontal.

Dans le dessin, lorsque les deux plans de projection sont rabattus, comme rindique la fig. S', les projections horfaeontale et verticale de la droite donnée, sont déterminées par le point m d*une part, et par la ligne mV de Tautre.

80. Si nous supposons, comme dans les Og. 3 et 3^, que la droite donnée MO aoit horizontale et en même temps perpendiculaire au plan vertical, ces projections sont disposées d'une manière inverse aux précédentes, c'est-à-dire déterminées par la droite om^ en projection horizontale, et par le point </ en projection verticale.

Dans Tun comme dans l'autre cas, les projections de la droite se trouvent sur une même perpendiculaire è la ligne de terre.

81. Lorsque la droite MO ( fig. k et 4<) est parallèle à la fois aux deux plans géométraux, les deux projections moetmW sont elles-mêmes parallèles à la ligne de terre.

82. Quand la droite MO (fig. 5 et &•) est parallèle seulement an plan vertical ABEFy sa projection verticale m^ o' est parallèle à la droite donnée, et sa projection horizontale mo est parallèle à la ligne de terre. Il est évident que, si la droite était parallèle an plan horizontal et inclinée au plan vertical , l'inverse aurait lieu, c'est-à-dire que sa projection horizontale serait parallèle à la droite donnée, et que sa projection verticale serait parallèle à la ligne de terre.

83. Enfin, si la droite MO (fig. 6 et 6«) est inclinée en même temps par rapport aux deux plans géométraux, ses projections mo et mt/ sont aussi inclinées à la ligne de terre, et s'obtiennent toujours par des perpendiculaires abaissées des extrémités de la ligne sur les deux plans de projection.

Les projections d'une droite étant données, on détermine la droite ellemême dans l'espace, soit en élevant, des points de projection m, o, des perpendiculaires au plan horizontal, et en portant sur ces perpendiculaires les hauteurs verticales n m^ et p c/, soit au contraire en élevant des points m\ o' des perpendiculaires an plan vertical , et en y portant les distances m n et p o.

PIOJECTIONS D'UNB SURFACE PLANE.

84. Comme toute surface plane est limitée par des lignes, quand on sait déterminer les projections de celles-ci , on est capable de représenter une surface quelconque sur les plans de projection.

Il suffit, en effet, d'opérer comme nous l'avons indiqué ci-dessus, c'est-àdire d'abaisser, de chacun des sommets des angles ou points dintersection des lignes, des perpendiculaires sur chacun des plans géométraux , et de réunir successivement les pieds de ces perpendiculaires ; c'est ainsi que l'on obtient les projections de la surface MOPQ (fig. 7, 8 et 9).

H est à remarquer que cette surface se projette suivant une figure égaie à elle-même , lorsqu'elle est parallèle à un des plans de projection, et suivant