VOLUMES
Tétraèdre.
Hexaèdre.
Octaèdre.
Dodécaèdre.
iO.6457788
Icosaèdre.
120. Pyramides. — Le volume d*une pyramide polygonale est égal au produit de sa
base par le tiers de sa hauteur.
Exemple ; soit (fig. <g), SO = 2 mètres, AB et AD = 1™ 40. La solidité de cette py-
., lin40X in»40X2 ,„,,^^ ramide est = imcsoe.
Ainsi, le volume d'une pyramide est égal au tiers du volume d'un prisme de même base et de même hauteur.
Le volume d'un tronc de pyramide à bases parallèles est égal au produit du tiers de sa hauteur, par la somme des deux bases ajoutée à la racine quarrée du produit de ces deux bases.
Ainsi, soit V le volume d'un tronc de pyramide, dont la hauteur H = 3 mètres, la base inférieure B = 6 mètres quarrés, et sa base supérieure B' » 4 mètres quarrés; on a :
V = 5x(b + B' + l^ mT) — I X J6n»« + 4niq + |/ 6 X 4 j « 14nq898.
En pratique, lorsque les bases diffèrent peu, le volume d'un tronc de pyramide est sensiblement égal à la demi-somme des bases multipliées par la hauteur.
•ti COURS RAISONNÉ
Huis Texeinple précédent on aurait :
V= H X / ^ + ^'j = ISmètres
131. Cyu!<(dbes. — Le volume d*un cylindre quelconque (flg.B) est égal au produit de sa base par sa hauteur. Ainsi, dans un cylindre à base circulaire, on a B=«R« ^72)*. Par conséquent le Tohune V»icRt X H.
Premier ejnmple : Quel est le Tolume d'un cylindre en fonte dont le rayon R — i* 20 et la lonsueur H » Ib.08?
Le volume V = 3,1416 X (0,20)> x !■ 08 «= 0»^ 1356.
On peut aussi obtenir le volume ou la solidité du cylindre en substituant le diamètre
an nyoo^ la formule est alors V = — — X H.
Oi V = 785 X (0,4)« X 1» 08 = 0»« 1356.
Le poids d'un td ciitndre, supposé en fonte (table IV«), est égal à
Le même nrlindre en bois de chêne sec ne pèserait que
OB 1356 X 785^ = t06l^ 39.
La surtM« convexe d*un cylindre droit, développé, est celle d'un rectangle ayant pMir hase le développenient de la circonférence du cylindre, et pour hauteur la hauteur 4e criukct. Elle s'obtient alors en multipliant la circonférence de la base par la hauteur ou la loocueur.
Dons 1 exemple prroédent, la surface convexe est donnée par la formule
S=2:rR X H, ou? D X H=3,14X 0,4 X 1»08 = 1»^35.
Le volume d'un cylindre creux est égal au produit de sa hauteur par Fépaisseur et par la cîrKnférence moyenne.
Deuxième exrmpif : On demande le volume V, le poids P et la surfoee interne S' ^brides ou bords compris', d'un cylindre à vapeur en fonte, dans lis dimensioos suivante» : D diamètre extérieur = O" 56, D* diamètre intérieur = 0* 50, et H «= !■ 20. Larceur des brides =0« 08, et saillie externe = 0* 05. £, épaisseur desdites « 0* 04.
On a : Surface intérieure du c}iindre, ou
S' = 3,t4l6X0B50 X !■ 20 = faq 8840 OU 18840«i- ^ S^Bfwe ptee des brides «a S =>2vOB50-r 0,08^ X 3.1416X0,08=0^2912 ou 29l2<c«.«.
SKrfjce totale S~2^ 1752oii21;52m^^
ViImiii du c««p$ du cylindre
V =«. 0.M -;. 0,03^ X 3.1416 X 0,03 X !■ 20»^< 060 » «OtÉcoÉn. Yiiam ées saillies des brides «■ > «= 2. 0.56 -^ O.Oi X 3,1416 X 0,05X^04 »0w 007664 0« 7^6ft4. TftawMalduolindie V = Ow 0676S4 o« C7i» #64.
1. TMAttkfr fi»i^^MFri«ct|«?Munei«bcl^5en4ipiivV4 xmupt àui> rfiL-iTupr ; c'^vi amà q«e h fc OTuml e iviMiiv à b sv^ice dsoeede î«ula
Poids de ce cylindre en fonte 67d<^ 664 X 71l 307 = 487^ 66.
123. CÔNES. -— Le volume d'un cône quelconque est égal au produit de sa base par le tiers de sa hauteur
ou V=BX^.
Dans le cône droit à base circulaire (Gg. w)
„, H irD* H
Et comme ir ou 8,1416 7 (4 X 3) =0,3618
on a finalement V = 0,3618 X D* X H.
Exemple : Quel est le volume d'un cône droit dont la hauteur H = 3» 4 et le diamètre de la base ou D = 1» 7.
On a V = 0,2618 X (1, 7)« X 3» 4 = l»» 816.
Le poids d'un tel cône en marbre (table IV*) est de
imc 816 X 3717 = 4934107.
Comme on le démontrera plus loin, le cône développé est un secteur dont le rayon est la génératrice du cône et dont Tare est la circonférence ou la base de ce dernier. Par conséquent, la surface convexe d*un cône droit est égale au produit de la circonférence de la base par la moitié de sa génératrice, ce qui donne lieu à la formule
S = 2ff R X ~ ou S = irK X G.
Dans rexemple précédent , on aurait, en cherchant la véritable longueur de la génératrice = 2,546
S = 8,1416 X 0,85 X 2,546 = 6mq 795.
J23. Tronc de cône. — Le volume d*un tronc de cône se détermine comme celui d*un tronc de pyramide (120).
La surface convexe d*un tronc de cône droit est égale à la moitié de la génératrice du tronc, multipliée par la somme des circonférences des bases, et s'exprime par la formule
S=ix 3ir(R + K') = LXit(R + R').
Soit L la longueur de la génératrice du tronc de cône= 1,40.
R, le rayon de la base inférieure = 0,85.
R' le rayon de la base supérieure = 0,38.
La surface convexe S = 1,40 X 3,14 (0.85 -|- 0,38} =5™ 40.
124. Sphère. — Une sphère est déterminée lorsqu'on connaît son rayon ou son diamètre. La surface est égale à quatre fois celle d'un cercle de même diamètre. Elle est exprimée par la formule
S = 4 ft RS ou TT D3 ou 3,1416 X Da, c'est-à-dire le quarré du diamètre multiplié par 8,4416.
Le volume de la sphère est égal à sa surface, multipliée par le 1/3 du rayon, ee qui doDne lieu à la formule
ou V = 4,188 X R»
ou par rapport au diamètre,
V = itD*X~= 0,5236 XD».
Exemple : On demande la surface, le volume et le poids d'une sphère pleine en cuivre rouge fondu, ayant om 25 de diamètre.
Surface convexe ou S = (0"» 25y« X 3,1416 = OnMi <96.
Volume V = 0,5236 (0,25)» = Omc 00818.
Poids de la sphère ou P = Omc oosiS X 7783 = 63k 67.
Pour trouver le rayon ou le diamètre d'une sphère dont on coonatt le volume, il suffit de renverser les formules précédentes et de les établir comme suit :
4ir 4,188 4,188
on a de même D* = ou D =
ce qui, pour l'exemple précédent, donne
R = 0°»125etD = 0«25.
125. C4L0TTB, ZONE, SBCTEUB ET SEGMENT SPHÉ BIQUES.— La sorfacc d*une zooe ou d'une calotte sphérique , est égale à la circonférence du cercle de la sphère multipliée par la hauteur de la calotte ou de la zone
ou S=2irRxH.
Exemple : La surface S d'une calotte dont la hauteur H = 0" 15 et le rayon R de la sphère = 0,75 est de
Le volume d'un secteur sphérique est égal au produit de la calotte qui lui sert de hase par le tiers du rayon de la sphère.
La formule correspondante est donc
V = 2icR X H X-^ = 4'^XI^*H = 2,094 X R« X H. 3 3
Exemple : Le volume du secteur qui a pour base la sor^MX de la calotte préoédwle est donc
Le vohune d'un segment est égal à la surface du cerde qui a pour nyoD la eoiét multipliée par le t/6 de sa hauteur.
ou V = ter* X ~= 0,5296 X r* X H .
Exemple, Soit r »0,65 et H = 0,15. Le volume est
Le volume d'un onglet sphérique est égal au fuseau qui lui sert de base, multiplié par le tiers du rayon.
Sa formule est V «= —A X R*,
A exprimant Tare du fuseau.
Le volume d'une tranche sphérique est égal à la demi-somme de ses bases, multipliée par sa hauteur, plus la solidité de la sphère décrite sur cette hauteur comme diamètre.
Sa formule est V =| "^^-^^^ ) X H -h - .
