DESSIN LINÉAIRE

Le dessin appliqué à la mécaDique, à Tarchitecture et à Tindustrie en général, est non -seulement la représentation graphique des objets, mais encore la corrélation raisonnée de la fonction et du mouvement de leurs organes constitutifs.

Cet art anprunte ses moyens d'exécution à la géométrie élémentaire, pour ce qui concerne le dessin linéaire proprement dit, et à la géométrie descriptive pour ce qui est relatif aux corps solides.

Le dessin linéaire, qui est la base du dessin industriel et artistique , a pour but le tracé exact des surfaces par la combinaison étudiée des lignes; pour en faciliter l'étude et la rendre à la fois plus attrayante et plus intelligible, nous exposons successivement et d'une manière succincte, les définitions, les principes, puis les problèmes ou les applications auxquelles ils donnent lieu.

On a essayé un grand nombre de traités sur le dessin linéaire, mais nous croyons que ces ouvrages, abstraction faite de leur objet, ont une portée trop restreinte, qu'ils ne présentent pas des développements assez étendus et qu'ils ne rem|rfissent pas alors les conditions de progrès et de précision qu'on doit exiger à notre époque. Cette pensée nous a fait reconnaître la nécessité de commencer par cette première étude, en choisissant autant que possible des exemples cpii se présentent fréquemment et sous des formes très-variées.

Plusieurs de nos problèmes se rencontrent naturellement avec ceux déjà connus; nous avons dû les rappeler comme étant d'une utilité indispensable dans les applications.

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f# fMmtt f fe . Xétmâm enkmeÊft tro« é ynw w nr^ funit^iir o» prr>Cf>fi«ieiir,

L>t^ii«fae raitmiKe d ifest 4 iw i e i i i iw» fraMi k mb de surface^ et ] ;i miie ^^^ <<iiiieiim«Mi, Hi^ *ie rMamK /t^M^.

Ai^QKf. ' f>»jiRgiM»«npinféi»ji4i(iMkdeMBM^

l>*Ji iHpiai dft^ite*, te» ligne» efiHrben et te» EflpK» 6rû<?ef .

f>»» lillfiie» driMte» ivMt n^irtitiUet^ k/yris/mtal^ oa ni^itséo.

f>^ iH^ne» ^.Avirb^ iirVAt tirenlftir^n, diiptiqmês^ paniàoiiqiteSy etc

fhfjn^^ ^ ijt^ fuirCMê», qui sont tooioan fiintée» par de» lignes, soat pi^m^t, tfyAfif^^ji on er^fw^^reM. l'ne rarfaee est phoe, quand une rè^ droite ^ent Vy a(>f>(Myner etdfiement dsn» \am le» sea»; efle est dite coocafe m ^Afivet^ , ter%fn>lte, **»t rrenj^e oo bombée,

lÀf^, K^,ftUt/iU, ^ fm entend pxt li^ne fertieale, la dvection qw prend on M «n^p^mdn librement n !i#>n ettréniité sapérienre, et portant à Taatre on ftM^, MU' eiit to iHi^ne AK relief A* pf. I'*]. Cette ligne est toojoor» droite, et en tip^/ifn^ie ^lO ^pfHte ligne droite le pins cnort dhemin d'un point à ivn wrtre,

/'i/ /]r />^/iw^, — ' f.hntmment indiqué pnr le refief L s'appelle 61 à plomb. Il e^ tre»'fr^iienMient emplofé dan» les constmctioDS, ponr reconniitre la f ertK^IKi^ de eertaine» ligne» oa de certaines surfaces.

lAf^M h/frU&ntaU, — Lonqu on liquide eooteoo dans oo lase est en repos» 0H9 m^n %nphvmr forme one sorfaee phne, et tontes les lignes tracées sor ejÊ^È^, mnfUé-jf, ¥fUi de» horizontale».

;fir4r//«^,'-'Ce»t Mir ee ^rîtiâfe qu'on a établi des instroments appelés né9>^M ^mu et név^rm a tnUie d^air.

i/' ^r$m!f tÀmHfÀe en m tobe cylindriqoe recourbé i ses deui extrémi9Mf et »iinnont^ de den tobolores en ferre; lorsque rinstroment est reiwppli d'eau k une certaine baoteor, et qo*il est ao repos, la surface supéff^ff, du lîqnide dan» le» deui brandies, détermine un plan horiiontai ou de

ij' nitean k bulle d'air ^relief : ) consiste en un tube de verre, en grande partie rempli d'an liqui/le qoelconqoe; ce tube est renfermé dans une enr^ loppe m^lliqoe a, qui fait corps avec deux supports b et une platine c. En plaçant r^d instrument sur on plan CD, celui-ci est reconnu de niveau si la bulle d'air d laissée par le vide du tube se trouve exactement au milieu.

Le» menuisier», maç^jns, charpentiers et mécaniciens font souvent usage aussi d*im instrument ( relief C) qui se compose d*un fil à plomb suspendu au sommet b de deux règles inclinées, a6, 6c, et d'égale longueur, réunies par

une traverse d; un trait ÂB est pratiqué au milieu de celle-ci, et indique lorsque le fil se confond avec lui, que la base CD est horizontale.

Perpendiculaires. — Si on suppose (fig. i"'] la ligne verticale ÂB, placée sur la ligne horizontale CD, cesl droites sont dites perpendiculaires Tune à Tautre et forment entre elles des angles droits ; on comprend que , si on fait tourner ce système de lignes, tout en conservant leur position réciproque, les angles qu'elles forment n'en seront pas moins des angles droits ; ainsi la ligne 1 , 0, de la fig. 5% forme également avec la ligne EF un angle droit.

Lignes brisées. — Plusieurs droites qui se suivent en changeant de direction, forment ce que l'on est convenu d'appeler lignes brisées. Telles sont les lignes BÂEHFN, etc. (fig. 14.)

Lignes circulaires. Circonférence. — I^ ligne continue EFGH (fig. 6), tracée avec l'une des pointes d'un compas dont l'autre est fixe, s'appelle circonférence ; elle a évidemment tous ses points à égale distance du point fixe 0, que l'on nomme centre.

Ragon.^ L'ouverture OF (fig. 5) du compas, ou la distance des deux pointes, se nomme rayon^ et par suite toutes les lignes OE, OF, OG, partant du centre et concourant à la circonférence sont des rayons égaux.

Diamètre. — Toute droite LH , passant par le centre , et aboutissant à la circonférence, est un diamètre.

Le diamètre est donc le double du rayon.

Cercle. — L'espace renfermé dans la circonférence est une surface plane que l'on appelle cercle, et une partie quelconque EIF ou FLG de la circonférence prend le nom d'arc.

Cordes. — Les droites EF, FG, qui joignent les extrémités des arcs sont appelées cordes; ces lignes prolongées en deç^ de la circonférence sont dénommées sécantes.

Tangente. — Une droite ÂB (fig. 4), qui ne touche une circonférence qu'en an point est une tangente. Toute tangente est perpendiculaire à l'extrémité du rayon qui passe par le point de contact B.

&c^^r. — La portion BOHG (fig. 4) de la surface du cercle comprise entre deux rayons qui passent aux extrémités d'un même arc, se nomme secteur.

Segment.— Le segment est une portion EFI (fig. 5), de la surface du cercle comprise entre un arc et la corde qui soua-tend cet arc.

Les lignes droites et brisées se tracent à l'aide de la règle et des équerres; les lignes circulaires se décrivent avec le compas.

Des angles.— Nous avons vu que lorsque des droites étaient perpendiculaires l'une à l'autre, elles formaient des angles droits; mais lorsque deux lignes prolongées se rencontrent, et qu'elles ne sont pas perpendiculaires, elles forment alors des angles aigus ou obltis. Un angle est aigu , lorsqu'il est plus petit que l'angle droit, tel est l'angle FCD (fig. 2).

Un angle est obtus quand il est plus grand que l'angle droit, tel est l'angle GCD. En général , on appelle angle l'espace compris entre deux lignes quel-

fi COCftS ftAISOKMk

CMi^Ki, qm tcmemutmi i u mèait point qm Too

ta nfle est netiUfme^ qoaid eit fomé pv des droites; «txtflifM, qoaid il est eoniiris entre one droite et nne coorbe, et cmrrilifm^ lorsqu'il résnlle de la renoontro de denx «res on de deni comtes.

Mmtredeg mmçU$. Si dn foimnet d'an angle on décrit nn aro de cercle, k portion de cet arc comprise entre les cAtés de Tangle loi sert de mesure.

On est convenu, poor estimer nn arc quelconque, de diviser la dreonférenée dn cercle en 360 on MO parties égales*, que Ton nomme deçrésj et i cet eflet, on a construit des instruments qu'on nomme UAPromuns, représentés (fig. p,i.)

Le premier (fig. n) qui se troufe dans toutes les bottes de mathématiques, comme étant le plus généralement en usage, se compose d*un demi-cerde divisé en 180 ou 900 parties. Pour s*en servir, on place son centre 6 sur le sommet de Tangle et de manière que son diamètre coïncide avec un cAté a6, l'antre côté be correspond à Tune des divisions, laquelle exprime justement en degrés la grandeur de Tare ou de Fangle. Ainsi Tangle o^ est de 50 degrés (que l'on écrit 50*) quelle que soit la dimension de Tare compris entre ses côtés , et par conséquent quelle que soit la longueur même de ces côtés, car l'are, ainsi mesuré, formera toujours la même fraction de la circonférence achevée et divisée en 360 ou MO degrés.

Dans le premier cas, le degré est divisé en 60 minutes, la minute (ou 1^ en 60 secondes (ou 1^0 ; is seconde en 60 tierces (ou l'^0« ^m et dans le second, les divisions sont décimales, c'est-à-dire que le deipré est divisé en 100 minutes, la minute en 100 secondes, et ainsi de suite.

Le second raj^orteur (flg. i], nouvellement créé, présente Tavantage de ne pas eiiger le sommet de l'angle pour en avoir la mesure.

Il consiste en un cercle entier divisé intérieurement en deux fois 180 parties et dont le contour extérieur est un carré. On applique Vnn de ses bords contre la règle R mise en contact avec un côté ee de l'angle, l'autre côté de passe par deux divisions opposées du cercle et indique la valeur de cet angle. Ainsi, on voit (fig. I), que l'angle dce est de 50*.

Obliques. ^Ld§ lignes qui ne forment pas des angles droits avec celles qu'elles rencontrent leur sont obliques ou inclinées. Les droites GG et FC (fig. 2), sont des obliques par rapport i la verticale KG, et à rhorizontale a.

Pora^^/ei.--- Deux droites sont parallèles sur le papier, lorsqu'elles conservent la même distance sur toute leur longueur; les lignes IK, ÂB et LM, de la fig. 1^, sont paralUtes.

Triangles. — L'espace renfermé entre trois lignes qui se coupent s'appelle triangle;

1. Cette dernière division a été proposée lore de l*adopUon du systtea décimal, en 1790, et portée de nouveau à l*appréciation des savants, en 1840, qui l'ont adoptée, mais le grand nombre de flotts-multiples de 860 fiicilitant singulièrement les calculs, on se conforme habituellement à rsacleone division.

Lorsque les trois cAtés, DE, EF et FO (fig. 12), sont égaux, le triangle est éguikUérml; si deux côtés seulement GH et GI (fig. 9) sont égaux, le triangle est isoeèk; il eatsealine, ou irrégulier, lorsque les trois cétés sont inégaux ( fig. 6 ) ; et enfin , il est rectangle^ lorsque les deux o6tés DL et LK ( fig. 10 ) , sont à angle droit ; dans ce cas, le côté DK * qui est opposé à l'angle droit, se nomme hypoténuse.

On bit constamment usage dans le dessin d'un instrument que Ton appelle équerre^ et qui a la forme d'un triangle rectangle ; ces équerres sont connues sous diverses nominations : l"* équerre à 45 degrés (e), dont les deux côtés de l'angle droit sont égaux; 2^ équerre à 60 degrés (h) , dont le plus petit côté de l'angle droit est moitié de l'hypoténuse, et 3* équerre à projeter (i), dont un des côtés de l'angle droit est toujours au moins double de Tautre.

Polf^ifone. — Un polygone est une surface comprise entre plusieurs lignes, qui fcMment entre elles des angles quelconques; il est plan lorsque les lignes sont situées sur une seule et môme surface plane ; son contour prend le nom de périmètre. Un polygone est triangulaire^ quadrangulaire, pentagonal^ hexagomal^ heptagonal^ octogonal^ décagonal, etc.» lorsqu'il est formé par trois, quatre, cinq, six, sept, huit ou dix côtés, etc.

Un carré est un quadrilatère dont les côtés AB, BC, CD et DÂsont égaux et perpendiculaires l'un à Tautre et dont alors tous les angles sont droits (fig. 10).

Un rectangle est un quadrilatère formé de deux côtés égaux AB et FN perpendiculaires à deux autres côtés AF et BN également égaux et parallèles (fig. 14).

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et parallèles» et les angles quelconques.

Le losange est un parallélogrammme dont tous les côtés sont égaux.

Le trapèze est un quadrilatère dont deux côtés HI et ML, opposés seulement 8ontparallèles(fig. 9).

Les polygones sont réguliers lorsque tous les côtés et les angles sont égaux; dans le cas contraire ils sont irréguliers. Tous les polygones réguliers sont susceptibles d'être inscrits dans un cercle; de là, la propriété de les tracer géométriquement avec une grande facilité.

OBSERVATIONS

Nous avons cru utile de donner les définitions qui précèdent pour rendre nos descriptions plus intelligibles; nous allons maintenant passer à la solution de divers problèmes qu'il importe de bien connaître, parce qu'ils se rencontrent très-souvent dans la pratique. Mais observons auparavant que pour dessiner avec précision, il convient que la feuille de papier soit bien tendue, sur la planchette ; à cet eflet on la mouille légèrement d'un côté, à Taide d'une éponge que l'on promène également sur toute sa surface, puis on la retourne de manière à ce que la partie mouillée soit en contact avec la planchette; on colle alors les bords de la feuiUe avec de la colle à bouche en conunençant

décimales comme le mètre laMnème ; les snbdiyisions ainsi obtenues, représentent les décimètres, les centimètres et les millimètres réduits. On voit (fig. 7) un fragment d*échelle au 1/5 d'exécution. Pour se servir de Téchelle, on porte sur la gauche du zéro une division en plus, que Ton subdivise en parties plus petites, afin d'évaluer les fractions de Tunité principale. Si Ton veut prendre par exemple 32 centimètres, on place la pointe du compas sur le chiffre 3 à la droite du zéro, et l'autre pointe sur le chiffre 2' à gauche du zéro ; l'espace 3, 2^, exprime la longueur de 33 centimètres ou 3 décimètres 2 centimètres.

Échelle de dixme. — Avec l'échelle précédente on ne peut opérer que difficilement la subdivision du centimètre en 10 parties égales pour apprécier un millimètre; aussi quand on veut exécuter un dessin avec précision, on construit l'échelle de dixme, représentée (fig. 8), qui permet d'estimer des subdivisions très*petites.

Pour construire cette échelle, on procède par les divisions principales, comme dans la précédente , et pour déterminer rigoureusement les dixièmes de la longueur ab, qui représente 1 centimètre réduit; on élève au point aune perpendiculaire ai, sur laquelle on porte 10 fois une longueur arbitraire, puis par les points de division r, (/, e,f, on mène des parallèles à ag, on tire la diagonale bi, qui coupe obliquement toutes les parallèles ; chacune des longueurs comprises entre la diagonale bi et la verticale ai exprime respectivement 1/10, 2/10, 3/10, etc., de ab. Si, par chacun des points l^ 2^, 3^, V, etc., on mène des parallèles à la diagonale bd, toutes les divisions de ao seront subdivisées de même en dixièmes.

D'après cette construction, pour prendre une longueur de 325 millimètres, par exemple, on pose l'une des pointes du compas au point S, sur la cinquième ligne horizontale, à sa rencontre avec la verticale élevée du point 3, et l'autre pointe doit s'arrêter en /, point d'intersection de la diagonale 2^A, avec la même ligne horizontale.

8. Diviser un angle donné en deux parties égales (fig. 2). Pour diviser en deux parties égales l'angle FCD, on décrit du sonunet Gnn arc HI, et des deux points de i*encontre I, H, de cet arc , avec les côtés de l'angle, on trace d'autres arcs qui se coupent en J ; la droite GJ divise l'angle donné en deux angles égaux, UCJ et JCI. On pourrait subdiviser chacun de ces angles en deux parties égales en opérant de la même manière, coname cela est indiqué sur la figure.

Cette division d'un angle peut se faire par la division de l'arc à l'aide des rapporteurs (B et Q), principalement lorsque les divisions de l'angle doivait être impaires.

I^ solution de ce problème s'applique à un angle quelconque aigu ou obtus, c*est ainsi que la droite CE divise l'angle GCH en deux parties égales. 9. Tracer une tangente à une circonférence donnée (fig. 4). Il peut se présenter deux cas : l^' celui où le point donné est situé sur la

drconférence même; 2° celui où le point est en dehors de la circonrérence.

l"» Le point donné D étant situé sur la circonférence,

La tangente s'obtient en traçant du point D un rayon CD , que l'on prolonge en dehors de la circonférence ; et si Ton élève du point D, une perpendiculaire FG, sur la ligne CE, cette droite est la tangente cherchée.

â» Le point donné Â étant en dehors de la circonférence ; dans ce cas il y a toujours deux tangentes :

Après avoir joint le point A au centre C du cercle, on divise AC en deux parties égales au point 0. Si on décrit de ce point conune centre avec le rayon AO une circonférence, celle-ci coupera le cercle donné en deux points B, H, et les lignes AB et AH, seront les 2 tangentes cherchées; ces lignes sont perpendiculaires aux extrémités des rayons CB et CH.

10. Détenniner le centre (Tun arc ou d*un cercle donné (6g. 5).

Soit EFG, Tare dont on veut connaître le centre ; on marque 3 points E, F, G, à volonté sur cet arc, et les réunissant deux à deux par les cordes EF, FG, OD élève sur le milieu de celles-ci des perpendiculaires 10 et LO, dont le point de rencontre est le centre cherché. D'après cette solution on peut toujours résoudre le problème suivant :

H. Faire passer une circonférence par trois points non en ligne droite.

L'opération pour résoudre ce problème est exactement la même que la précédente.