Inscrire un cercle dans un triangle (fig

Un cercle est inscrit dans une figure quelconque, lorsque tous les côtés de cette flgure sont tangents à la circonférence.

Pour inscrire un cercle dans le triangle ABC , on divise deux des angles de ce triangle en deux parties égales, les bissectrices AO et BO, ou lignes qui partagent un angle en deux parties égales, se coupent en un même point 0, qui est le centre du cercle; pour vérification on peut diviser le troisième angle G, et la bissectrice GO doit passer par le même point; si de ce point, on abaisse des perpendiculaires, OE, OF, OG, sur les cdtés du triangle, elles seront égales entre elles et au rayon du cercle inscrit.

13. DHnser un triangle en deux parties équivalentes ou en deux surfaces égales (Rg. 9).

Deux surfaces sont égales, lorsque étant superposées, elles coïncident exactement dans toute leur étendue ; elles sont équivalentes, lorsque n'étant pas de même forme, elles ont cependant la même superficie.

Soit donné le triangle quelconque GHI que Ton veut partager en deux parties équivalentes, on divise le côté GI en deux parties égales par la perpendiculaire OK, du point 0, comme centre on décrit la demi-circonférence GKI, on mène la corde GK que Ton reporte par un arc de cercle de G en L; la droite LH, tirée parallèlement à Hl, détermine le triangle GLM qui est moitié en surface du triangle donné ; par conséquent les deux surfaces GML et MHL sont équivalentes.

Il en serait de même, si le triangle donné était 6NI , les deux surfaces GFL et FNIL seraient aussi équivalentes.

14. Un cafré ABCD étant donné, construire un autre, carré double en sur-face (fig. 10).

Après avoir prolongé les deux côtés DÂ et DC de ce carré, on mène la diagonale DB, avec laquelle on décrit du point D comme centre, un arc de cercle ; cet arc donne les points E, F, par lesquels on trace les lignes FG et GE, parallèlement aux deux premiers côtés DC et DA, le nouveau carré DF6E est double en surface du premier. Par conséquent la surface non teintée sur la figure est égale à la surface du carré donné.

En tirant de même la diagonale DG que Ton reporte de D en L et en H, on formera le carré DHRL, également double en surface au carré DFGE, et par suite quadruple du carré donné.

15. Trat^erun cercle dont la surface soit moitié d^un cercle donné (6g. 11 )• Soit ACBD, le cercle donné. Après avoir tracé du centre E, des diamètres

AB et CD, perpendiculaires Tun à Tautre, on joint les deux extrémités A et G par une corde AC, on divise cette corde en deux parties égales par la perpendiculaire EF, la droite GE est le rayon du cercle dont la surface est la moitié du cercle donné. La surface annulaire ombrée sur cette figure est égale à la surface du cercle de rayon GE, et par conséquent moitié du grand cercle ACBD.

16. Inscrire dans des circonférences données^ un triangle éguilatéral et un hexagone régulier (fig. 12).

D*un point quelconque F, pris sur la circonférence du cercle d'un rayon donné OF, on trace un diamètre FG , de l'extrémité G, avec le rayon GO, on décrit Tare EOD, on réunit les points D, £, entre eux et au premier point F, pour former le triangle équilatéral DEF.

Dans un hexagone régulier, le côté est égal au rayon du cercle circonscrit, il suffit alors, pour construire cet hexagone, de porter six fois le rayon OH sur la circonférence donnée; ou bien, après avoir tracé un diamètre RH, on décrit des deux extrémités K et H, avec le même rayon OH, des arcs de cercle qui coupent cette circonférence aux points I, J, L, M ; ces points réunis deux à deux forment l'hexagone régulier KLM.

Ces problèmes conduisent naturellement à la division du cercle en 3, 6, 12 et 2^ parties égales; en subdivisant successivement les arcs correspondants a chacun des côtés, en 2, 4 et 8 parties égales comme on le fait pour la division de l'angle.

On a souvent dans le dessin à tracer sur une petite échelle des écrous et des têtes de boulons de forme hexagonale ; au lieu d'opérer avec le compas comme on vient de llndiquer, on emploie Téquerre (H)« dite à 60 degrés, que Ton applique sur une règle R placée parallèlement au diamètre KH.