CYCLOÏDE

Figvre 2, planche \%.

198. Lomfu'on fait rouler un plateau circulaire sur un plan et en ligne droite, l(^ point de contact de la circonférence de ce plateau sur le plan, en- Kendre ou donne naissance à une courbe appelée cycloide. Ainsi , un point quelc(MM|ue pris sur le contour d*une roue de locomotive, par exemple, décrit dnuM Min mouvement sur le rail autant de cycloïdes qu'elle accomplit de révo-

lullonii.

PiMir que l<i courbe soit rigoureuse, le roulement doit avoir lieu sans glisiiriiii^nt r/ent-iidire que Tespace parcouru sur la droite, doit être égal à la lonaueiir de la portion de la circonférence qui, dans le mouvement, s'est trou* vi\«i en ronlact avec le plan.

IhhiiIiiIk m»** <''**'*'*^ "" *"*^® ®" "" mouvement angulaire autour de son point de suspension. La lltoMti HfiKiilttl^' <**"" ^^"T** ^* d'autant plus grande qu'il décrit un angle plus grand dans le HUMim iMiiip». !>«»"« 1****"^ peuvent avoir la même vilesse angulaire, quoique l'espace parcouru Mr i>Nii<'UM M»ll dim».<*nt; en effet, tou* les points du pendule, par exemple, mis eu osclHa- Ouii iMm rivmit W iii^«*î augle et par conséquent ont la même vilesse angulaire, el cependant kmr« vitdrtffl r^Miî» ou le» chemins quils parcourent sont différents.

Proposons-DOQS de tracer une cycloïde engendrée par le point A, d*an cercle donné de rayon AO» et roulant sur la droite BC.

Plusieurs solutions satisfont à ce problème.

I" solution. — On porte un certain nombre de fois sur la circonférence» à partir de A, une partie Aa, assez petite pour être considérée comme une ligne droite» ce qui s*appelle, avons- nous dit, rectifier un arc. On la porte de m^me, et le même nombre de fois sur la droite AC; des points a, 6, r, d, on élève sur cette dernière des perpendiculaires coupant la ligne 0^, engendrée par le centre du cercle roulant et parallèle à la droite donnée BC ; on obtient ainsi les points de rencontre o, o^ o^, etc. , qui sont les centres du cercle générateur, dans la position correspondante aux points de contact a, 0, c^ d. De chacun de ces centres, on décrit des portions de circonférence, sur chacune desquelles on porte successivement les longueurs des arcs A a\ A i/y A c'^ etc., de a en a^^ de 6 en a^, et de c en b\ ainsi de suite ; la courbe A a'^ a? b^ c*, qui passe par ces points, donne la cycloïde.

^ solution, — On peut aussi déterminer les points de cette courbe par la rencontre des lignes horizontales menées des points de division a^ b\ c', <^, etc., avec les arcs de cercle décrits des centres o, e/, o^, etc.

3* solution. — Au lieu de tracer des arcs de cercle comme ceux qui ont été indiqués à la droite de la Gg. 2, on peut déterminer des points de la courbe cycloïdale en reportant successivement les distances qui existent entre les points de division du cercle et les lignes verticales, sur les lignes horizontales passant par ces divisions, à partir de la ligne verticale AO; ainsi, les distances ee^, //, gg^y hh\ etc., sont reportées de 1 en a^, de 2 en 6^, de 3 en c*, etc.

Pour éviter la confusion, nous avons indiqué cette dernière solution à gauche de la fig. 2, qui montre une seconde cycloïde semblable à la première.

Lorsque le cercle générateur a parcouru son demi-développement, on obtient le sommet de la courbe en D^, point correspondant au diamèlre AD. I^ longueur AC, de la droite donnée, est égale alors au développement de la demicirconférence de rayon AO.

En continuant le tracé, on obtient une courbe entière symétrique par rapport à CD , et qui a pour base une droite double de AC, et par conséquent égale au développement total du cercle générateur. La cycloïde est la courbe géométrique, employée généralement pour la denture des crémaillères et des vis sans fin.

ÉPICYGLOÎDB EXTÉRIEURE.

Figure l'*, planche \9,

199. L*épicycloîde ne diffère de la cycloïde, qu*en ce que le cercle générateur, an lieu de rouler sur une ligne droite, se meut autour d*un cercle fixe. Lorsque les deux cercles sont dans un même plan, le point de contact engendre une épicycloîde droite ou cylindrique ; dans le cas où les deux cercles sont situés

436 COURS RAISONNfi

dans des plans difTérents, mais conservant le même angle, la courbe engendrée est une épicycloïde sphérique; on suppose alors que le cercle générateur se meut autour d*un centre Tixe tout en roulant sur la circonférence du cercle immobile.

1" solution. — Pour tracer répicycloïde droite, la construction est analogue à celle indiquée pour la cycloîde. Ainsi , soit AO le rayon du cercle générateur, et AC le rayon du cercle fixe, on divise le cercle générateur en ud certain nombre de parties égales, aux points a\ l/,c\d\etc,^et on porte sur la circonférence de rayon AC, la longueur de ces arcs rectiOés, à partir de A en a^b, Cy d, etc. Par ces nouveaux points de division, on mène les rayons Ca.Cb C c, etc., que Ion prolonge jusqu'à la rencontre de la circonférence de rayon CO engendrée par le centre du cercle générateur dans sa rotation autour du cercle Gxe ; on obtient ainsi les points o, o\ o*, o' qui sont les centres successifs du cercle générateur, lorsqu'il est en contact aux points a, 6,c,éi, etc.; on décrit alors de chacun de ces centres des arcs de cercle de rayon AO, puis on porte successivement les arcs Aa', A^', Ac', de a en a*, de b en 6^, de c eu ^, etc. La courbe passant par les points «^ b^ c*, etc., est répicycloïde.

2* solution. — On détermine également les points de cette courbe en décrivant du centre C, des arcs de cercle passant par les points de division a' ô' c' d\ et coupant les arcs qui expriment les diverses positions du cercle générateur en a^b^c^d^, qui sont autant de points de répicycloïde.

3* solution. — On peut aussi déterminer la courbe en portant successivement les distances qui existententre les points de division c,/, g, etc., du cercle générateur et les rayons CA, Cf',CA;, qui passent par les différents points de contact du cercle fixe, sur les circonférences décrites du centre C et passant par les points ej, g; ainsi les distances ee\ ff^ gg\ sont reportées de 1 en a', de 2 en 6^, et de 3 en c^, etc. Ce tracé est indiqué à droite de la fig. 1 .

Quand le cercle générateur a parcouru son développement sur le cercle fixe , répicycloïde obtenue est une courbe entière A D B, symétrique par rapport à la droite D E , qui est égale au diamètre du cercle mobile.

épicycloïde extérieure décrite par un cercle tournant autour d'un cercle fixe qui est intérieur.

Figure 3, planche ^9.

200. Pour ce tracé qui est analogue au précédent, on se donne le cercle fixe de rayon C A , et le cercle mobile de rayon B A ; on divise le premier cercle en un certain nombre de parties égales aux points a, b, c, (/, etc., on porte la longueur rectifiée de ces arcs sur la circonférence de rayon B A de A en «',6', c/, etc. On décrit ensuite du point C^avec le rayon B C, une circonférence qui coupe les rayons C A,Ca,CbyCc, aux points B,B^B^,B^ de chacun de ces derniers comme centres , on tracera avec le rayon A B, des circonférences qui sont respectif ement tangentes avec le cercle fixe aux divers points a, b, c, puis du centre Q on décrit des arcs de cercle passant successivement par les points a' bf rfi%

ces arcs coupent en a^b^c^, les circonférences tangentes au cercle fixe. La courbe réunissant ces points est Tépicycloîde. Les deux autres solutions indiquées pour Tépicycloîde ordinaire sont applicables à ce cas particulier.

ÉPICYCLOÎDB INTÉRIEURE.

Figure ^^ planche <9,

201. L'épicycloïde est dite intérieure lorsque le cercle mobile roule à Tintérieur du cercle fixe.

Soît C A, le rayon du cercle fixe, et A B le rayon du cercle générateur. Ce tracé consiste, comme il a été déjà expliqué précédemment, à prendre un certain nombre de divisions sur le cercle mobile, à porter ces divisions rectifiées sur la circonférence immobile, puis à appliquer Tune des trois solutions indiquées pour l'épicycloïde extérieure. Ce tracé est d'ailleurs suffisamment indiqué dans la fig. % par les mêmes lettres correspondantes à celles de la fig. 1*^.

Lorsque le cercle générateur est moitié du cercle fixe, l'épicycloïde engendrée par un point de la circonférence du cercle est une ligne droite égale au diamètre du cercle fixe. Ainsi dans la fig. 3, pi. 18, Tépicycloïde engendrée par le point A , du cercle mobile de rayon C A , après une demi-révolution, se confond avec le diamètre A b.

Si dans le même cas , on prend un point D extérieur , lié invariablement au cercle du générateur , l'épicycloïde décrite par ce point est alors une ellipse DF E G, qui a pour grand axe la ligne DE, égale au diamètre du cercle fixe A B, augmenté de 2 fois la distance du point générateur D au point A, et pour petit axe G F, qui est égale à 2 fois la môme distance A D. Il suffit d'ailleurs pour déterminer cette courbe, si on ne veut pas avoir recours au tracé connu de l'ellipse (52 et suiv.), de porter la longueur AD, sur le prolongement du rayon C A dans toutes les positions qu'on fait occuper au cercle générateur dans sa rotation à l'intérieur du cercle fixe. Si le point générateur était pris à l'intérieur du cercle mobile , Tépicycloîde obtenue serait aussi une ellipse.

L'épicycloïde est généralement employée pour la courbure géométrique des engrenages extérieurs et intérieurs, cylindriques et coniques.

Les engrenages se divisent généralement en deux catégories, savoir : les engrenages droits ou cylindriques et les engrenages d'angle ou coniques ; les premiers comprennent: l'engrenage d'une crémaillère et d'un pignon, l'engrenage d'une vis sans fin et d'une roue , et enfin l'engrenage de deux roues. Dans tous ces engrenages, nous remarquerons que toutes les dentures sont disposées de telle sorte qu'elles puissent se commander réciproquement.