CARRÉ ET DES RONDS

Sur un morceau de carton se trouvent tracés 12 pejtits cercles comme le montre la fig. 15. 11 s'agit de couper le carton en 4 parties égales et semblables, de façon que chaque partie contienne 3 petits | l3. Le carré el les ronds cercles et sans Problème.

Fig- i4. — La eroii magique. — A, les morceaux 8, la croix.

Fig.

lu. — Le carré et les ronds.

Solution.

qu'aucun cercle ne soit coupé. Pour résoudre le problème, on coupe la ligne A ('ig. 10) à partir du quart supérieur du côté gauche. on mène cette ligne jusqu'au m u du chemin qu'elle aurait à faire pour atteindre l'autre côté; alors on lui fait décrire un angle droit pour la mener jusqu'au point où elle est en face du quart inférieur de la ligne qui forme le côté droit: ici, on lui fait former un autre angle droit et on la mène jusqu'à la ligne. La ligne lî suit une voie analogue, à partir du quart de gauche du côté inférieur jusqu'au quart de droite du côté supérieur. — Partage de la ferme. Un ultivateur mourut en laissant cinq lils. D'après son testament, sa propriété, sur laquelle il y avait 10 arbres, devait être partagée également entre chacun ilesesenfants, cauf la maison, destinée à rester indiviseentreeux.

Chaque fils avait droit à 2 arbres et à un terrain égal à celui des autres, tant sous le rapport de la dimension que sous celui de la forme.

Le domaine du cultivateur est représenté sur notre fig. 17,1a maison indivise étant marquée par un carré ombré de lignes. La fig. 18 montre comment il faut établir les séparations entre les parcelles pour obéir au testament du défunt.

— Cas-e-tete du charpentier. Un charpentier est chargé de boucher, dans un plancher, un trou de 20 centim. de large et de lm,20 de long; il dispose seulement d'une planche large de 30 centim. et longue deSOcentim., et doit, avec ce morceau de bois, boucher entièrement le trou sans que la planche déborde d'aucun côté et sans la

couper en plus de deux morceaux. Il parvient à résoudre ce problème en coupant la planche

La ferme entière.

Fig. 18. — La ferme divisée.

Fig. 19.

— Casse-tête du charpentier. V

lobleme.

Fig. 20.

Casse-tclê du charpentier. Solution.

comme le montrent les lignes ponctuées de notre fig. 19 et en les ajustant dans le trou comme on levoitsur la fig. 20. — Le rectangle transformé en carré. Un charpentier a besoin d'un morceau de bois carré de 6 mètres de côté. 11 possède une planche rectangulaire de

CASS

4 mètres de large sur 9 mètres de long et entreprend de la transformer en un carré. Notre fig. 21 donne la forme de sa planche

Fig. 21. — Le rectangle transformé en carré.

rectangulaire, et monlie les lignes suivant lesquelles il doit la scie; ; m voit, par noire fig. 22 comment il doit raccorder les deux

morceaux pour avoir un carré.

Nos lecteurs peuvent imiter ce problème en découpant un rectangle de 4 cenlim. sur 9 en deux morceaux qui forment un carré de 6 cenlim. de côlé. On peut,delamême façon, transformer un carré en un rectangle équivalent, mais il faut, dans ces transformations, que les sections soient toujours perpendiculaires à deux côtés, par conséquent parallèles aux deux autres, sinon on s"exposerait à des mécomptes, comme on va le voir. — Huit fois huit font soixante-cino. Traçons un carré de 64 cases (8 sur 8) et divisons-le, au moyen

Fig. iï. — I.e rectangle transformé en carré.

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tig, là. — Huit (oi= (mil f.jut suumile-cmq.

d'une parallèle en deux rectangles, l'un de 3 cases sur 8 (24 cases), l'autre de 5 cases sur 8 (40 cases). Divisons Je plus petit rectangle par une diagonale et le grand rectangle en deux trapèzes égaux, dont les deux côtés parallèles aient l'un la longueur de 5 côtés de cases et l'autre celle de 3 côté?. Nous avons

Hg. 4. — Huit l'ois huit font soixante-cinq.

alors deux triangles, valant chacun 12 cases; et deux trapèzes mesurant chacun 20 cases : au total, toujours 64 cases. Juxtaposons maintenant ces quatre figures de manière à former le rectangle représenté fig. 24; comptons les cases de ce rectangle : 5 de hauteur; 13

de largeur = 63. Ce résultat semble invraisemblable ; et pourtant quoi de plus vrai? L'erreur est due à cette circonstance que les fragments qui forment la diagonale du rectangle ainsi oblenu ne coïncident pas parfaitement et laissent entre eux un léger vide qui équivaut à une case. En opérant d'une manière analogue sur un carré de 9 cases de côté (= 81) la différence aurait été beaucoup plus considérable, car nous aurions obtenu un rectangle de 6 cases sur 15 (= 90). Plus on allonge la diagonale du rectangle, plus la différence devient grande. Ainsi dans notre premier exemple, de 8 sur 8, si nous avions formé sur le carré un petit rectangle de 2 sur 8 (au lieu de 3 sur 8) nous aurions été forcé de diviser le plus grand rectangle en deux trapèzes ayant pour base 2 et 6 et pour hauteur 6. La figure découpée nous aurait donné, par juxtaposition, un rectangle de 6 (au lieu de 5) sur 14 (au lieu de 13) = 84. Si nous avions voulu diminuer la longueur du rectangle à obtenir, toute diagonale serait devenue inutile : nous n'aurions eu qu'à diviser le carré en 2 rectangles égaux de 4 sur 8 et à porter ces deux rectangles bout à bout, pour avoir un nouveau rectangle de 4 sur 16 = 64. Alors la nouvelle figure aurait été équivalente à la première, ce que nous n'avons pu obtenir en faisant des sections obliques. — Les traversées en bateaux. Ces petits problèmes amusants et quelquefois embarrassants paraissent être fort anciens; quelques-uns ont été expliqués par Claude-Gaspard Bazet de Méziriac, dans son Recueil de problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres (Lyon, 1613, in-8°). 1° Ménager la chèvre et le chou. 11 s'agit de passer un loup, une chèvre et un chou successivement dans un bateau si petit que le batelier seul et l'un d'eux peuvent y tenir. Comment s'y prendra-t-on pour que le loup ne se trouve pas seul sur l'un des bords avec la chèvre qu'il dévorerait, et que celle-ci ne soit pas un instant seule avec le chou qu'elle n'épargnerait pas? Le batelier commencera par passer la chèvre sur la rive opposée; revenu seul, il prendra soit le chou, soit le loup; au retour de son second voyage, il ramènera la chèvre, la déposera sur la rive et la remplacera dans son bateau par le passager qu'il a laissé au précédent voyage (loup ouchou).U reviendra seuletpassera la chèvre qui, de cette façon, ne se sera jamais trouvée avec le loup ni avec le chou qu'en présence du batelier. 2° Traversée d'une compagnie d'infanterie dans un batelet. Un capital ne désirant faire traverser une rivière à une compagnie, aperçoit près du bord deux jeunes enfants qui jouent dans un batelet si petit qu'il ne peut porter plus d'un soldat. Comment s'y prendra-t-il pour faire passer la rivière à tous ses soldats. H ordonne aux deux enfants de passer ensemble sur la rive opposée; l'un d'eux y reste et l'autre ramène le batelet. Au second voyage, un soldat traverse la rivière et l'autre enfant traverse le bateau; au troisième voyage, les deux enfants passent ensemble et l'un ramène le batelet, dans lequel passe ensuite un soldat et ainsi de suite jusqu'à la fin.

3° La dangereuse traversée. Trois gentilshommes voyageant avec leurs trois domestiques arrivèrent sur le bord d'une rivière qu'il fallait traverser dans un bateau ne pouvant contenir que deux passagers à la fois. Les gentilshommes savaient que les domestiques avaient comploté d'assassiner et de voler un ou plusieurs d'entre eux si deux domestiques se trouvaient ave.: un seul maître ou si les trois domestiques restaient avec deux maîtres.

Comment ces six personnes pourraientelles traverser la rivière de façon que le bateau put revenir chercher les voyageurs

restés sur l'autre rive et de manière que jamai» les domestiques ne pussent se trouver en majorité soit sur les rives, soit sur le bateau ? Telle fut la question que les gentilshommes se posèrent. Il existe plusieurs moyens de trancher la difficulté. Les gentilshommes adoptèrent le suivant : deux domestiques traversèrent les premiers, l'un d'eux ramena le bateau ; au second voyage deux domestiques partirent encore et l'un ramena le bateau; au troisième voyage deux gentilshommes traversèrent, et l'un deux revint avec un domestique; au quatrième voyage, deux maîtres partirent de nouveau et le bateau fut ramené par un domestique; les trois gentilshommes avaient donc heureusement traversé la rivière. Ensuite les domestiques traversèrent en deux voyages. 4° Traversée des trois ménages. Quelquefois, au lieu de trois maîtres et trois domestiques, on suppose trois maris jaloux se trouvant avec leurs femmes et ne voulant laisser aucune d'elles en la compagnie d'un ou deux hommes, quand le mari n'est pas présent. Au premier voyage, deux femmes passent et l'une ramène le bateau; au second voyage, deux femmes passent ensore et l'une ramène le bateau; elle reste sur la rive avec son mari, pendant qu'au troisième voyage les deux hommes dont les deux femmes sont passées montent dans le bateau; l'un descend sur la rive opposée, l'autre prend sa femme avec lui pour le retour; au quatrième voyage, les deux hommes passent laissant leurs deux femmes sur la rive; la troisième femme ramène seule le bateau; au cinquième voyage deux femmes passent et l'une ramène l'embarcation; au sixième, les deux dernières femmes passent. 5° Traversée des quatre ménages. Tartaglia, dans son Traité d'arithmétique, a essayé de résoudre le problème de quatre maris jaloux voyageant avec leurs femmes et voulant traverser une rivière dans un bateau qui ne contient que deux personnes. Le passage, dans ces conditions, se trouve être impossible; mais il peut être effectué si le bateau est assez grand pour contenir trois personnes. Trois femmes passent les premières : une femme ramère le bateau; au second voyage, les deux femmes passent et l'une ramène le bateau; elle reste avec son mari au troisième voyage, qui est effectué par les trois autres hommes; un homme ramène le bateau et sa femme; le quatrième voyage s'effectue par les deux hommes et par la femme de l'un d'eux; le bateau est ramené par une femme ou par le mari de la femme restée sur la première rive. Au cinquième voyage, la dernière femme passe avec la personne qui a ramené le bateau. — Les ponts et les îles. Euler et Leibnitz ont étudié les cas dans lesquels il est possible de franchir un fleuve en passant une seule fois sur chacun des ponts qui relient ses rives entre elles ou à des îles, ou qui relient des îles entre elles. Voici, en résumé, les conclusions d'Euler. On compte combien de ponts aboutissent sur chaque rive du fleuve ou sur chaque île; on prend note des dillerents totaux et le problème est impossible quand on trouve plus de deux totaux impairs. Il est, au contraire, possible : 1° quand tous les totaux sont pairs; et alors le point de départ peut se faire arbitrairement d'une région quelconque; 2° lorsqu'il y a deux totaux impairs; et alors le point de départ doit se trouver sur une région impaire et le point d'arrivée sur l'autre ou inversement. Dans ce dernier cas, pour trouver la route à suivre, on supprime, par la pensée autant qu'on le peut, les couples de ponts qui conduisent d'une région dans une autre; et quand on a ainsi diminué le nombre des ponts, on cherche la course à effectuer avec ceux qui restent. Cela fait, on rétablit les ponts supprimés, ce qui est facile, avec un peu d'attention. Quelques exemples mettront nos lecteurs à même de résoudre toutes les

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autres questions de ce genre. Nous débuterons par le fameux Problême des ponts de Kœniysberg, qui fait l'objet d'un mémoire

Fig. 25. — Les ponts de Kœnisgberg en 1739.

d'Euler. A Kœnigsherg, grande ville prussienne .irrosée par le Pregel, ce fleuve était autrefois traversé par sept ponts, comme le montre notre fig. 25. Pouvait-on arranger son parcours de manière à passer sur chaque pont, mais à n'y passer qu'une seule fois? Telle est la question que se posait Euler. Et il arrivait à la négative par le calcul suivant :

Sur l'île A débouchent 5 ponts

— la rive B — 3 ponts

— — C — 3 ponts

— l'île D — 3 ponts

11 y a plus de deux totaux impairs, donc le problème est insoluble. Prenons, comme deuxième exemple, les ponts qui aboutissent à l'île Saint-Louis et à la Cité (Paris); est-il possible de disposer un parcours de telle sorte qu'on puisse passer sur ebacun d'eux, mais y passer une seule fois? Pour résoudre la question, nommons A la rive droite du fleuve,

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trouveront facilement, pourvu qu'ils se souviennent que tout départ effectué en A ou en G (pairs) sera infructueux. Voici un exemple de départ en B et d'arrivée en D, en suivant l'itinéraire par les chiffres qui accompagnent nos flèches : 10, 9, 8, 5, 4, 1, 13, 11, 7, 6, 3, 2, 12, 15, 16, 5 4. Cet itinéraire est très long; en voici un beaucoup plus direct, également de B enD:12, 11, 10, 7, 0, 3, 2, 1,4, 5, 8, 9, 13, 16, la, 14. — Suppn -jusqu'il s'agisse d'ajouter le pont des Arts, à tous ceux que nous avons eu déjà a passer. Evidemment il n'y a rien de changé, sinon que le nombre impair passe d'une rive à l'autre et nous avons (fig. 27) A = 9 (impair) ; B =: 7 (impair) ; C = 10 (pair); D = 8 (pair). Le trajet commencera par A ou par B et se terminera en B ou en A.