ALFRED II

ALGKU

ALGÈBRE n. f. (dos mots arabos al-djabcr-ei-mofiabclnh, art dos restaurations, des rctablissomonts, ot, par'oxtoDs., urt dos solutions. Co nom iStait fondé sur la règio on vertu do laquollo on rétablissait dan» un dos membres do l'équation la ({uantité qu'on supprimait dans l'auiro, en changeant la l'onction positive ou négative do cotte quantité. Il En cbirurgie.au moyen âge, le mot altièbre signifiait l'art do restaurer, do rétablir les momlircs luxés ou fracturés: et dans los langues espagnole et portugaise, alf/cùriêta signitio encore chirurgien). Science dos grandeurs considérée d'une faf;on générale, ou science des lois dos nombres : Les formules a'ALGfîORK, dans leur étroite enceinte, contiennent d'avance toute la courbe dont elles sont la loi. (H. Taine.) il Lo livro qui traite do cotte science : Z.'ALG^,Bni! de llezout. (Acad.)

— Par compar. Peut se dire, dans un tout autre ordre d'idées, de tout ce qui présente les formes rigoureuses de généralisation do rafgôbro : JDant/eau possédait cette ALGËDRE rapide qu'on appelle l'esprit du jeu. (Sto-Beuvo.l Les femmes ont des instincts d'une sûreté infaillible ; elles expliquent, par une ALGivBRii qu'elles ont inventée, le merveilleux lui-même. (Alex. Dum.) ii Se dit de mémo ot fam. d'une choso difdcilo à comprendre, dont on n'a aucune idée : L'expression des plus nobles sentiments n'est que de I'algeure pour ceux qui n'ont pas d'àme. (Boisto.)

— Kncvcl. Lo but essentiel do l'algèbro est do simplifier et do généraliser les questions relatives aux nombres. L'idée fondamentale du nombre constitue lo domaino de l'arithmétique; mais, en cherchant précisément los rapports qui peuvent exister entre los différents nombres, ou, comme l'on dit couramment, la façon dont ils sont fonction (v. co mot) les uns des autres, l'esprit s'est arrêté à ccriains raisonnements qui revenaient fréquemment dans l'étude de questions d'apparences diverses. C'est ainsi que la notion d'un rapport, d'une fonction, s'est dégagée de l'idée d'une valeur numérique, et, en cherchant aloi's à grouper dans une théorie plus générale les problèmes qui 50 résolvaient par des procédés analogues, on a pu créer l'algèbic.

En un mot, l'algèbre analyse les relations des nombres en elles-mêmes, ainsi que leurs combinaisons et les lois de leurs transformations : l'étude des fonctions est ainsi dégagée de toute considération relative au nombre luimême, de toute valeur numérique. D'ailleurs, les raisonnements algébriques doivent inévitablement conduire à une vérification arithmétique; et, si les conclusions sont d'une généralité rigoureuse, l'on n'en doit pas moins parvenir à des lois numériques, à la représentation, par des nombres, des phénomènes naturels.

La simplification apportée résulte de l'emploi de signes ou do symboles pour figurer les opérations, et de lettres pour désigner les nombres cherchés. On généralise, en ce sens que des lettres peuvent également représenter les nombres donnés, quantités connues ou données du problème.

— Lamine alqibrique. L'égalité de deux quantités s'exprime en les -scparant par le signe = . On ajoute un nombre à un autre ou on le retranche d'un autre en les séparant par les signes -f- ou — : ainsi, la forme a — b = S exprime que l'excès de la quantité a sur la quantité b est égal à 5. Les signes précédents s'énoncent respectivement ; égale, plus, moins; et l'on dirait encore a moins b égale 5.

La multiplication est indiquée par le signe X, ou bien encore par un simple point séparant los facteurs du produit, et s'énonce multiplié par. Ainsi, le produit du nombre a par le nombre 6 s'écrit a x6 ou a.b, parfois même plus simplement encore ab, et s'énonce a multiplié par b. Si l'un des facteurs d'un produit algébrique est un nombre donné en chiffres, on le nomme coefficient, et il est écrit à

la gauche du produit : ainsi 7 et - sont les coefficients

des produits 7 abc et - ab. La division est indiquée par

deux points ou une barre horizontale qui sépare le dividende et le diviseur : ainsi le quotient de a divisé par b

s'écrit a : 6 ou -r et s'énonce a sur b. b

Le produit de plusieurs facteurs égaux à un même nombre est une puissance (v. ce motj do ce nombre ; l'indice de cette puissance s'écrit à droite de ce nombre en haut, en petits caractères, et exprime combien il y a de facteurs dans le produit. "Très généralement a™, que l'on énonce a.m ou bien a puissance m, représente le produit de m facteurs égau.x à a. En particulier, a' et a' qui figurent en produits axa et axaxa s'appellent souvent le carré ou le cube du nombre a.

Inversement par \' a on représente le nombre dont la quatrième puissance est égale à a; J s'appelle aussi 1 indice du radical, et cet indice so supprime couramment quand il s'agit d'une racine carrée. Ainsi, on écrira simplement V 16 = 4.

Pour ce qui concerne les symboles dont l'emploi suppose que deux quantités sont inégales, on écrira par exemple 11>8, 7<10, a±i. 11^7, 4^11, qui s'énoncent : u plus grand que 8, 7 plus petit que 10, a différent de b, a inférieur ou égalai, h supérieur ou égala U (dans ces deux derniers cas, on dit encore ; a au plus égal à 7, et b au moins égal à U).

On devait bientôt rencontrer, en mathématiques, des grandeurs susceptibles d'avoir deux sens différents : par exemple, dos degrés de température nui peuvent être comptés au-dessus et au-dessous de 1 origine, du zéro choisi. Il en résultait lo besoin de donner, pour ces grandeurs, une mesure qui indiquât non seulement la valeur I arithmétique de cette grandeur, mais encore son sens; on est ainsi conduit à créer deux nouvelles classes de nombres; positifs et négatifs (v. ces mots), et à chercher les règles de calcul de ces nombres entre eux. Le choix de ces règles, qui présente une part d'arbitraire, a été fait en sorte que les opérations jouissent, en général, des mémos propriétés que les opérations arithmétiques correspondantes ; il suffit ici do constater que les nouvelles définitions introduites conduisent à des conclusions non contradictoires, dont la généralité est la base même du calcul algébrique, quelle qu'en soit, au reste, la valeur philosophique.

Tout revient d'abord, en algèbre, à établir les rapports entre les quantités mises en jeu, en un mot à mettre le problème proposé en équation; on aboutit ainsi à une éga-

lité numérique ou littérale, suivant quo les quantités supposées connues sont dos nombres ou dos lettres. cl résoudre cette égalité ou cetto équation consiste & trouver lo» nombres qui, mis à la place de» inconnues, satisfont i, l'équation, c'est-à-dire rendent les deux membres identiques ; «j; — « = 3x-v4ost une équation, expression d'égalité entre doux quantités 6x — 2 et 3z -(- 4 ; cotte équation est résolue pour la valeur x = 2, car cotlo valeur, mise à la place do X, donne des valeurs numériques identiques aux deux quantités séparées par lo symbole d'égalité; on dit encore que 2 est la racine do cette équation. Lne équation devient une identité si elle est satisfaite, quelles que soient les

valeurs des quantités inconnues; ainsi: x = -x-H-xe«t

une identité, car les deux membres sont namiriquemenl égaux pour toute valeur numérique do x.

Dans son acception la plus haute, l'algèbre serait la recherche des propriétés des fonctions ; mais l'étude d'une fonction revient à connaître la succession des valeurs que peut prendre une expression algébrique, et, nous l'avons vu, égaler une expression à une quantité quelconque revient à former une équation, de sorte que. en dernière analyse, l'algèbre est l'étude des équations, et los diverses théories partielles qu'elle comprend so rattachent toutes, plus ou moins, à cet objet principal. V. kokctio.x, équation, CALCUL.

— Histoire de l'algèbre. On fait généralement remonter l'origine de l'algèbre au géomètre Diophante d'Alexandrie (iv siècle). L ouvrage de Diophante appartient pluièt à l'arithmétique qu'à l'algèbre. Il représentait l'inconnue d'un problème par l'abréviation os, finale du mot grec aritlimos (nombre); il n'employait ni los lettres do l'alphabet, ni les signes des fonctions, excepté toutefois le signe de la soustraction, qui était un ^ renversé et un peu tronqué.

On pense que les Arabes, oui ont donné son nom à l'algèbre, en ont emprunté les éléments aux auteurs grecs et à Diophante. et cependant, dans le premier livro d algèbre publié en Europe (à Venise, en 1491) par Luc Paciolo, il n'est fait aucune mention de Diophante : ceci tendrait à prouver que les Italiens tenaient des Arabes leurs connaissances on algèbre. L'Allemand Stifeljou Stifelius) .adoptait les signes -I- et — pour représenter l'addition et la soustraction, ainsi quo le symbole y pour signifier radical ou racine. L'Anglais Thomas Recorde inventait le signe de l'égalité = ; il lit choix de ce symbole, parce que, disait-il, il ne peut y avoir doux choses plus égales entre elles que deux lignes parallèles.

Mais le véritable créateur de l'algèbre moderne est le Français Viète,. né à Fontenay-le-Comto en 1540. Aux nombres toujours employés jusque-là Viète substitua des lettres qui, représentant des grandeurs quelconques, transformaient le raisonnement particulier en formule générale, en loi. Il imagina la plupart des simplifications que subissent, pour être plus tôt résolues, les égalités algébriques. Après Viète, l'Anglais Harriot reconnut l'existence des racines négatives : on lui doit aussi l'invention dos signes < et > (plus petit et plus grand). Oughthred, à la même époque, lit adopter le signe X pour désigner la multiplication, et Descartes introduisit la notation des exposants et les principes de leur calcul.

ALGÉBRIQUE adj. Qui appartient, qui a rapport à l'algèbre : Formule, notation, équation algébrique. Il Fonction algébrique. V. fonction.

— Par compar. D'une précision rigoureuse : Exactitude

ALGÉURiyUE.

lu

ALGÉBRISCR V. n. S'occuper d'algèbre, faire de l'aigèlire.

— Fam. et iron. Employer des formules savantes, traiter un sujet trop scientifiquement : Certains écrivains ont un grand penchant à algébriser. (Keyn.)

ALGÉBRISTE n. Personne qui sait l'algèbre, qui fait des opérations d'algèbre : La résolution des équations du troisième et du quatrième degré, le dénouement des fameux cas irréductibles furent la grande affaire des algèbristfs du XVI" siècle. (Liouvillc.)

Algeciras. Géogr. V. Algesiras.

AlgÉDI n. m. Nom arabe d'une étoile de la constellation du Capricorne.

AlgemeSI, ville d'Espagne fprov. de Valence), près <lu Jucar; 7.410 hab. Fabriques de papier, de carton.

AlgENIB (mot tiré do l'arabe) n. m. Etoile secondaire. marquant l'anglo inférieur à gauche du grand carré do Pégase.

Alger (William), écrivain américain, né à Freetown (Massachusetts) en 1823. Pasteur et théologien, il a écrit des ouvrages littéraires qui ont eu du succès ; la Poésie de l'Orient {lii6); le Géniede la Solitude (1SC7 ; Amitiés de femmes (IS70), etc. — Son cousin, Horatio Alger, né à Révère (Massachusetts) en 1S34, a publié sur l'enfance abandonnée de curieuses études intitulées : the Itagged niek (Dick on haillons), et the Tallered Tom (Tom dégucniUé).

Alger, ch.-lieu du départ, du même nom et capitale de l'Algérie, sur la Méditerranée; à 800 kilom. environ de Marseille; archevêché et cour d'appel; 96.784 hab. (Algérois.)

— Encycl. La ville d'.4 tgers'élcvo en amphithéâtre sur le flanc do liantes collines, au bord d'une larcf baie demi-circulaire à laquelle ello donno son nom.

Alger est bien la métropole politique et économique do 1 Algérie ; sa longitude est à peu de choso près celle de Marseille et de Paris :

elle est entourée d'une contrée riche et prospère, les coteaux du Sahel et la plaine de la Mitidja; elle est à égale distance des doux extrémités E. et O. do la colonie auxquelles la relient la ligne ferrée de Constantino .et Tunis d'une part, la ligne d'Oran do l'autre.

L'Alger des Turcs avait la forme d'un triangle dont la Kasba (lis m. d'altit.) formait lo sommet et dont la base

dAl^ei