ARITHMÉTIQUE — ARKHANGEL

pMque : Méray, lirvue des Soc. sav. (Se. matli. 18G9) ; bedekind, Steiujkeit wid iri-ationate Zahle (1872) ; Heine, Joum. de Crelle (1872); Catalan, Mathesîs (1886).

Cependant, il faut aller jusqu'à Diophante (325) pour voir résoudre, avec une réelle élégance, des questions assez difficiles, puis attendre le xvi« siècle avec Viète et Bachet pour voir fairo des progrès considérables à la science des nombres. Fermât (1601) est peut-être l'esprit le plus profond qui se soit porté vers la recherche des propriétés des nombres. Maig^ré tout, la théorie des nombres n'était encore qu'un recueil curieux, presque mystérieux, de propriétés isolées; les plus profonds géomètres, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Lejeune-Dirichlet, Tchebychef, Hermite, etc., devaient enlin y appliquer les méthodes les plus élevées de l'analyse indéterminée et de l'analyse algébrique, pour en relier les propriétés et constituer définitivement une véritable science.

— BiBLiOGR. : Legendre, Essai sur la théorie des yiombves (Paris, an VI); Gauss, Disquisitiones arithnetic^ (Leipzig, 1801); Poinsot, Joum. de Liouville (1845); Tchebychef, Théorie des congruences (Saint-Pétersbourg, l847);*Dedekind, Verlesiingen fibe?- ZafUentheorie {Brunswick, 1887); Husserl, Philosophie der arithnetik (Halle, 1891).

Arithmétique (Six livres d'), Arithmeticarum rerum lihri se.TJ, ouvrage de Diophante, mathématicien grec de l'école d'Alexandrie (350 de J.-C). Cet ouvrage, auquel on fait généralement remonter l'origine de l'algèbre, était composé de treize livres. En 1621, Bachet de Méziriac en donna une édition correcte, avec des commentaires qui sont estimés. Plus tard. Fermât y ajouta de savantes notes, que son fils publia en 1670. l^es six livres qui nous restent de Diophante traitent plutôt de la théorie des nombres que de l'algèbre. Diopnante donne la nomenclature et la génération des puissances: il nomme les secondes puissances, dynamis; les troisièmes, cubus ; les quatrièmes, dynamodynamis ; les cinquièmes, dynamocubus; les sixièmes, cubo-cubus. Il exprimait une quantité inconnue par le mot os (finale à'arithmos).

Aritlunétique (Exposition des racines du calcul ET DE l'), ouvrage d'Avicenne. Pour Avicenne, de même que pour Platon et les pythagoriciens, les nombres ont une existence propre et indépendante des choses ; ils sont créés, ils ont des propriétés merveilleuses, une puissance surnaturelle et indéfinissable. D'après lui, tout nombre, quel qu'il soit, n'est autre chose que le nombre 9 ou son multiple, plus un excédent ; car les nombres n'ont que 9 caractères, plus le point (zéro), qui lui-même n exprime aucun nombre. Si 1 on parvient à connaître cet excédent et le multiplicateur novénaire, le nombre entier sera connu. Avicenne donne ensuite la preuve par 9 des opérations arithmétiques : au reste que l'on obtient, lorsqu'on retranche d'un nombre quelconque 9 ou un multiple de 9, il donne ie nom de chiffre ou de nombre radical.

Arithmétique logarithmique (Arithmetica logarithmica), ouvrage publié à Londres en 1624, par le mathématicien anglais Henri Briggs, et qui a servi de modèle à toutes les tables do logarithmes publiées depuis. On y trouve les logarithmes des nombres naturels depuis

I jusqu'à 20.000, et depuis 90.000 jusqu'à 100.000, avec quatorze décimales. Vlacq, libraire hollandais, en donna en 1628 une traduction française, en ajoutant les logarithmes des nombres compris entre 20.000 et 90.000.

Arithmétique universelle {Arithmetica nniversalis), ou De la composition et de la décomposition arithmétique. Titre d'un des principaux ouvrages de Newton. Dans cet ouvrage, qui comprend ce que l'on appelle aujourd'hui y arithmétique, l'algèbre et Yapplication de l'algèbre à la géométrie, l'illustre géomètre expose la science du calcul telle qu'elle était alors connue, mais en l'enrichissant de méthodes qui lui sont propres : recherche des racines d'une équation, de leur limite, etc..

Arithmétique morale (Essai d'), ouvrage de BufTon publié en 1777. L'auteur s'y propose pour objet de donner quelques règles «pour estimer les rapports de vraisemblance, les degrés de probabilité, le poids des témoignages, l'influence des hasards, l'inconvénient des risiiues, ef juger en même temps de la valeur réelle de nos craintes et de DOS espérances ». Il commence par distinguer les différents ordres de certitudes. 11 y a d'abord l'évidence proprement dite, qui appartient aux sciences mathématiques; la certitude physique, qui appartient aux sciences physiques, et se mesure par le nombre des observations ; la certitude morale, qui semble tenir le milieu entre le doute et la certitude physique. Buffon «^montre mathématiquement l'immoralité du jeu, définil^e nécessaire, le superflu. Il montre ensuite les avantages qu'il y aurait à substituer à notre échelle décimale, l'échelle duodécimale.

II propose pour étalon universel la longueur du pendule qui bat la seconde sous l'équateur.

Arithmétique indienne ou Lilaivati, par Bhascara Acharya, traité traduit du sanscrit en anglais par John Taylor (Bombay, 1816). Cet ouvrage, composé entre 1150 et 1160, donne un état exact des connaissances mathématiques des Indiens jusqu'au xii* siècle.

Ce traité contient plusieurs propositions utiles de géométrie et de géodésie : c'est le premier livre qu'étudient les astronomes, ou plutôt les astrologues de l'Inde. Les règles sont écrites en vers. On y trouve ce principe fondamental : les nombres ont des valeurs croissant en proportion décuple suivant la place qu'ils occupent. On n'v trouve point la table qu'on dit avoir été rapportée de l'Inde par Pythagore ; on n'y voit, non plus, aucun signe pour indiquer la multiplication et l'addition. Un zéro, placé au-dessus d'uu nombre, signifie qu'il faut le retrancher.

Arithmétique des Grecs, par Delambre, petit traité iuséTéà.ù.Qsl" Histoire de l'astronomie àMmémeùMteuv{\9,\l). On y trouve exposées avec une grande clarté, d'après les ouvrages anciens que nous possédons, la numération écrite des Grecs, et les méthodes suivant lesquelles ils exécutaient leurs opérations numériques. Nous y apprenons que ces opérations présentaient pour eux les difficultés que l'on rencontrait naguère dans le calcul des nombres complexes ; que, pour désigner les quantités des ordres supérieurs, les Grecs se servaient de traits

E oints qu'ils plaçaient au-dessous de leurs chiffres ; que, ) plus souvent, ils faisaient leurs additions, leurs soustractions, leurs multiplications de gauche à droite. Delambre fait bien saisir le développement que la numération grecque renut d'Archimède et d'Apollonius, et qui était un pas marqué vers notre arithmétique de position.

ARITHMÉTIQUE adj. Qui est fondé sur l'arithmétique, qui est relatif à l'arithmétique : Opération arithmétique.

— Machine arithmétique » Instrument avec lequel on peut exécuter mécaniquement les principales règles de l'arillimétique : Machine arithmétique de Pascal. \\ Langage arithmétique, Ecriture composée de chiffres, il Echelle arithmétique. Progression géométrique par laquelle se règle la valeur relative des chiffres simples, dans un système quelconque de numération. \\ Jiappoi-t arithmétique. Différence entre deux quantités, il Progression arithmétique. Suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent, augmenté ou diminué d'un nombre constant.

Il Moyenne arithmétique de plusieurs nojnbres. Nombre que l'on obtient en faisant la somme des quantités et en divisant cette somme par le nombre des quantités.

— Gramm. Cadencé, calculé avec justesse et précision : L'antithèse AB.iTHMÈTKiUEadeuxmembres sonores. (Ch. Nod.)

ARITHMÉTIQUEMEMT adv. D'une manière arithmétique, selon les règles de l'arithmétique.

ARITHMÉTOGRAPHE (du gr. arithmos, nombre, et graphein, écrire) n. m. Instrument à calculer, inventé en 1860, par l'ingénieur Dubois, et au moyen duquel on ert'ectue les opérations ordinaires de l'arithmétique de la même manière qu'avec les Bâtons de Néper, dont il est une ingénieuse modification.

ARITHMOGRAPHE (du gr. arithmos, nombre, et graphein, écrire) n. m. Nom donné par Gattey, en 1810, à un instrument à calculer, qui était une simple modification de la lîègle à calculs de Gunter.

ARITHMOGRAPHIE (rad. arithmographe) n. f. Nom donné par Ampère à l'art d'exprimer par des signes conventionnels les quantités dont la composition est connue.