SURFACES COURBES
bases du cylindre , et le côté C D en décrit la surface cylindrique droite:
La ligne immobile A B s’appelle Vaxc du cylindre.
On nomme surface conique toute surface sur laquelle une règle peut s’appliquer dans toute sa longueur et selon des directions concourant au même point. Ainsi toute surface conique est une surface courbe réglée par des droites qui se coupent toutes en un même point.
Il y a deux manières principales d’engendrer ou de produire la surface conique : i° en faisant tourner une droite AB ( fig. a5 bis), autour d’un point A, de façon qu’elle passe successivement par tous les points d’une , courbe B B’ B”...; a 0 en faisant marcher la courbe vers le point A et parallèlement à sa première position , en la diminuant de telle sorte que les points B, B’ B”, etc., suivent des droites qui se coupent au même point A. Il est aisé de voir que ces deux générations produisent une surface courbe réglée par des droites concourantes. La surface conique a donc , comme la surface cylindrique , des génératrices droites telles que AB, AB’... et des génératrices courbes telles que B B’ B”. . . b b’ b ”. . . . La plus simple de toutes les surfaces coniques est celle dont la génératrice courbe est une circonférence. Cette surface conique est droite , quand lesommet S (fig. a5 ) est situé sur la perpendiculaire S A , menée au plan de la circonférence par le centre A ; elle est nommée oblique dans le cas contraire.
Le toit d’une tour ronde offre extérieurement une surface conique circulaire droite.
64 SOLUTIONS ȣ PROBLEMES
On appelle cône le solide (fig. a 5) produit par la révolution du triangle rectangle SAB, qu’on imagine tourner autour du côté immobile S A :
Dans ce mouvement , le côté A B décrit un plan circulaire B M D , qu’on appelle la base du cône , et l’hypothénuse S B en décrit la surface conique droite et circulaire.
Le point S se nomme le sommet du cône , S. A Y axe ou la hauteur , et S B le coté ou Y apothème.
Toute section faite perpendiculairement à l’axe est un cercle ; et lorsque le sommet du cône a été ainsi retranché , la portion qui reste E F B M D, se nomme tronc du cône. Toute section faite suivant l’axe est un triangle isocèle double du triangle générateur.
La section faite par un plan parallèle à la génératrice courbe de la surface conique droite et circulaire , est un cercle. Si le plan coupant passe par le sommet du cône, l’intersection est un point. Si le plan coupant n’est pas parallèle à .la génératrice circulaire , et que cependant il rencontre deux génératrices droites diamétralement opposées , l’intersection est une ellipse : c’est une parabole si le plan coupant est parallèle à l’une des génératrices droites , et cette courbe est celle du jet d’eau qui s’élève et retombe en décrivant une parabole.
Ces différentes sections sont ce qu’on appelle les sections coniques.
§ IX. Solutions de problèmes géométriques indispensables au TRACÉ DE LA PERSPECTIVE.
Le tracé de toutes les figures devra s’exécuter , non
pas seulement dans la position particulière qu'indique la gravure , mais encore dans toutes les positions possibles, afin de bien comprendre l’esprit des méthodes graphiques. Quant à l’exécution des tracés , elle se fera d’abord à la simple vue et à la main ; puis on rectifiera à la règle et au compas, jusqu’à ce que l’œil et la main aient pris l’habitude d’une correction géométrique.
Diviser une ligne droite en deux parties égales.
Soit A B (fig. 26) la ligne qu’il s’agit de diviser. Des points A et B comme centres , avec un rayon égal à A B on décrit deux arcs qui se coupent en D et en E; ces points D et E, sont dès lors également distans des points A et B , au-dessus et au-dessous de A B; alors joignant D E, celte droite , perpendiculaire sur le milieu de la ligne A B, la coupe en deux parties égales au point (L
Ou comprend qu’il suffit que le rayon, sans être égal à A B, soit plus grand que AC , ou C B, moitié de A B , pour que les arcs puissent se couper , et donner par leurs intersections des points D’ et Ë’ de la droite DE.
La droite AB (ûg. 26) étant horizontale , la perpendiculaire DE est verticale. U sera bon, comme exercice, d’exécuter cette division d’une droite en deux parties égales , sur une droite quelconque A B’ dans plusieurs positions différentes de l’horizontalité, et de suivre par comparaison avec la verticale , la direction D” E” de la perpendiculaire qui coupe A B’ eu deux parties égales . On acquerra par ce moyen le sentiment de la perpendi-
SOLUTIONS DE PROBLEMES
cularitc différente de la verticalité , et par suite celui de l’angle droit dans tontes ses positions.
Par un point donné sur une droite , élever une perpendiculaire à celte droite.
Soit A le point donné (fig. 27) ; des points B, C, également distans de A , pris comme centres , et d'un rayon plus grand que B A , on décrit deux arcs de cercle qui se coupent en D ; le point D étant dès-lors également distant de B et de C, A D est la perpendiculaire demandée.
Si le point A (fig. 28) est donné sur l’extrémité de la droite, sans qu’on puisse prolonger cette droite audelà du point donné ; on prend en dehors de A B un point quelconque C ; de ce point comme centre décrivant avec le rayon C A un arc de cercle qui coupe la droite en B , on joint B C , que l’on prolonge jusqu’à sa rencontre en E avec l’arc décrit , et A E est la perpendiculaire demandée ; car l’angle inscrit B A E qui a son sommet à la circonférence, a pour mesure la moitié de l’arc E O B , c’est-à-dire le quart de la circonférence, et conséquemment c’est un angle droit.
Si par le centre C on élève C O perpendiculaire sur le diamètre B E , et qu’on joigne le point A avec le point O ou la droite C O rencontre la circonférence, l’angle idroit B A E sera divisé en deux parties égales par la droite O A ; car chacun des angles inscrits E A O , OA B , ayant son sommet à la circonférence , a pour mesure l’autre moitié de l’arc compris entre ses côtés, c’est-à-
dire l’arc E O ou l’arc O B, et chacun de ces arcs est le quart de la circonférence.
D’un point donné hors d’une droite , abaisser une per • pendiculaire sur cette droite.
Soit A le point donné (fig. 29); de ce point comme centre, et d’un rayon suffisamment grand, on décrit un arc qui coupe la ligne droite donnée aux deux points B et D ; puis de ces points B et D comme centres, et avec le même rayon B A ou D À, on décrit deux arcs qui se coupent en E., et A E est la perpendiculaire demandée. On comprend facilement comment on peut suppléer à cette construction à l’aide d’une règle et d’une équerre; il suffit de placer la règle suivant la direction donnée B D, et de placer l’équerre , en la faisant glisser sur la règle , de manière que l’angle droit de l’équerre coïncide avec A C B ou avec A C D. Cependant le tracé géométrique est en général préférable à une opération mécanique , et sert en tous cas à vérifier l’exactitude des instrumens.
On fait un emploi fréquent des perpendiculaires dans les constructions de perspective ; il est très peu de dessins où l’on n’en arit pas besoin , et ce besoin devient indispensable et continuel dès qu’il s’agit d’indiquer les lignes les plus simples de l’architecture.
Les perpendiculaires les plus remarquables sont celles qu’on peut mener à une verticale: nous avons dit qu’on les nommait horizontales ou lignes de niveap. Il suffit, pour qu’uue droite soit horizontale ou de niveau, qu’elle
68 SOLUTIONS DE PROBLÈMES
soit d’équerre sur le fil à plomb, ou perpendiculaire à la verticale; et par un même point d’une verticale, on peut mener une foule de droites qui satisfassent à cette condition, tandis que par un même point d’une horizontale, on ne peut élever qu’une seule verticale ; ainsi toute perpendiculaire à une verticale est nécessairement une horizontale, et parmi toutes les perpendiculaires menées à une horizontale par un point pris sur cette horizontale, il a’ y en a qu'une qui soit une verticale.
Faire un angle égal à un angle donné.
Soit K (fig. 3o) l’angle donné. Du sommet K. comme centre et d’un rayon à volonté on décrit l’arc I L terfniné aux deux côtés de l’angle ; on mène à volonté la droite A B, et du point A comme centre, avec le même rayon Kl ou KL, on décrit un arc indéfini B O; du point B comme centre, et avec I L pour rayon , on décrit un arc de cercle qui coupe Tare B O au point D , et B A D est l’angle demandé égal à l’angle donné K, car il a pour mesure l’arc B O égal à l’arc I L, et ces deux arcs ont un même rayon.
Diviser un arc ou un angle donné en deux parties égales.
S’il faut diviser (fig. 3i) l’arc A B en deux parties égales; des points A et B comme centres et avec un même rayon , on décrit deux arcs qui se coupent en D, et joignant ce point D au centre C, la droite CD perpendiculaire sur le milieu de la corde A B coupe l’arc A B en deux parties égales au point E.
S’il faut diviser l’angle A C B en deux parties égales; après avoir décrit du sommet C l’arc AB, la droite DE, déterminée par la construction précédente, et qui coupe eu E cet arc en deux parties égales, divise l’angle A C B aussi en deux parties égales.
Par un point donné mener une-parallèle à une droite
donnée.
Soit A et B E (fig. 32 ), le point et la ligne donnés ; du point A comme centre et d’un rayon suffisamment grand on décrit l’arc indéfini E O ; du point E comme centre, et du même rayon, on décrit l’arc AF; on prend l’arc EOégal à AF, et joignant le point A au point O par une ligne droite qu’on peut prolonger indéfiniment , A D est la parallèle demandée ; car les angles dans le même sens e E C et E A O sont égaux, puisque e E C est égal àFEA, et que FEA et EAO sont égaux comme ayant pour mesure des arcs E O, F A qui sont égaux et décrits du même rayon.
On supplée à cette construction dans la pratique à l'aide d’une équerre et d’une règle ; on applique un des côtés de l’équerre sur BC, le côté adjacent sur la règle que l’on maintient sans bouger , et on fait glisser l’équerre jusqu'au point A pour tirer AD. Mais il ne faut pas oublier que ces méthodes abrégées ont besoin , comme toutes les figures tracées à la simple vue et à la main , d’être vérifiées de tems en tems par le tracé géométrique, pour s’habituer h une correction mathématique du dessin linéaire.
SOLUTIONS DE PROBLÈMES
Trouver le centre d'un cercle ou d'un arc donné ; faire passer une circonférence par trois points donnés; inscrire un triangle dans un cercle.
On prend à volonté sur la circonférence ou dans l’arc (fig. 33) trois points A, B, C, que l’on joint par les droites A B et B C; on divise ces droites en deux parties égales par les perpendiculaires D E, E F, dont l’intersection O est le centre cherché.
Cette construction sert également à faire passer une circonférence par trois points donnés , A, B, C, et aussi à tracer un cercle dans lequel le triangle donné ABC soit inscrit.
Par un point donné, mener une tangente à un cercle
donné.
Si le point donné A (fig. 34) est sur la circonférence, on tire le rayon A C et on mène À D perpendiculaire à l’extrémité A de ce rayon ; A D est la tangente demandée.
Si le point donné A (fig. 35) est hors du cercle, on joint le point A avec le centre C, par la droite A C que l’on divise en deux parties égales au point O ; de ce point O comme centre et du rayon O C , on décrit une circonférence qui coupe la circonférence donnée en B et en D; puis joignant AB ou AD, chacune de ces droites peut être la tangente demandée.
L 'angle CBA, ou l’angle CDA, qui a son sommet B ou D à la circonférence et ses extrémités sur un diamètre, est un angle droit, car il a pour mesure la moitié de
l’arc compris entre ses côtés, c’est-à-dire le quart de la circonférence.
Dans les arcades en plein cintre , les arêtes de piedsdroits ou jambages sont tangentes à l’arête circulaire. Les moulures des colonnes, des corniches, etc., sont ordinairement des tangentes à des arcs de cercle.
Quand une droite est tangente à un cercle, ce cercle est aussi tangent à la droite.
On dit que deux cercles sont tangens quand ils n’ont qu’un seul point commun ; ce point T (Gg. 34) est le contact des deux circonférences, et il se trouve toujours sur la droite C C’ qui joint les deux centres.
On appelle concentriques deux circonférences dont les centres sont confondus et qui d’ailleurs n’ont aucun point commun : telles sont les circonférences M et N, (Gg. 34).
Diviser une ligne droite donnée en tant de parties égales que l’on veut , ou en parties proportionnelles à des lignes données.
Soit proposé de diviser A B (Gg. 36) en cinq parties égales ; par l’extrémité A on mène une droite indcGnie A G , et prenant A C d’une grandeur quelconque, on porte A C cinq fois sur A G , de A en C, de C en D, de D en E , de E en F, de F en G ; on joint le dernier point de division G avec l'extrémité B de la droite donnée , et menant par les autres points de division F, E, D, C, des parallèles à G B, les points M, L, K , I, où ces parallèles coupent AB, la divisent en cinq parties égales.
SOITJTXOHS DE l’ROBI.ÈMES
Pour que ces divisions de A B soient parfaitement égales dans la pratique, il est nécessaire que l’angle BAG soit de Go® à 8 o° centigrades ; plus grand il pourrait rendre les parallèles trop obliques sur A B, et causer par suite de l’incertitude sur les points I, K, L, M> plus petit il rendrait difficile la détermination précise du point A. Il faut encore que la droite A G ne diffère pas trop en longueur de la droite A B, sans cela les parallèles seraient trop obliques , même dans le cas où l’angle B AG serait d’une soixantaine de degrés. •
C’est au moyen de ce tracé qu'on divise l’échelle d’un dessin de perspective, et cette échelle est nécessaire pour qu’on puisse représenter exactement en petit, dans un paysage peint, une foule d’objets , arbres, maisons , etc., dont la grandeur naturelle dépasse de beaucoup le cadre ordinaire d’un tableau.
Soit proposé de diviser AB (fig. 37), en parties proportionnelles aux lignes données P,Q,R. Par l’extrémité A on tire l’indéfinie AG ; on porte P de A en C , Q de C en D , R de D en E ; on joint EB , et menant CI, DK, parallèles à EB , la ligne AB est divisée en parties AI , IK , KB, proportionnelles aux lignes données P,Q,R.
Trouver le rapport numérique de deux lignes droites données , si toutefois ces deux lignes ont entre elles une commune mesure.
On porte la plus petite droite sur la plus grande autant de fois qu’elle peut y être contenue ; s’il y a un reste , on le porte sur la plus petite autant de fois qu’il
peut y être contenu ; s’il y a un second reste , on le porte sur le premier , et ainsi de suite , jusqu’à ce que l’on ait -un reste qui soit contenu un nombre de fois juste dans le précédent ; alors ce dernier reste est la commune mesure cherchée : en le regardant comme l’unité, on trouve aisément les valeurs des restes précédent, et enfin celle des deux lignes proposées , d’où
l*on conclut leur rapport numérique. .
Si l’on ne peut trouver une commune mesure , quelque loin que l’on eontinùe l’opération, alors les deux lignes sont dites incommensurables ; tels sont par exemple la diagonale et le côté d’un carré. On ne peut donc alors trouver le rapport exact en nombres; mais en négligeant le dernier reste , on trouve un rapport plus ou moins rapproché , selon que l’opération a été poussée plus ou 'moins loin.
Construire une figure qui soit égalé par symétrie à une ' ' . fg ure donnée. •
Soit ABCDE (fig. 37 bis) , la figure donnée ; on trace des parallèles quelconques par tous les sommets du polygone, et on lps coupe par une perpendiculaire FG ; on porte ensuite ÀF de F en A’, BH de H en B’, El de I en E’ ; on joint A’B’, B”C\ C’D\ D’E', E’A’, et l’on forme ainsi le polygone A’B’C’D’E’ égal pâr symétrie, au polygone donné ; les angles F, H, I, K, .G étant droits, les deux polygones se superposeront par rabattement, 1 a droite F.G servant de charnière.
La surface limpide des eaux tranquilles inésente
74 * SOI.CT.OIfS DE PROBLÈMES-
pour image d’une surface plane une surface qui lui est égale par symétrie , la ligne de niveau de l’eau sert alors de charnière.
Inscrire un camé dans une circonférence donnée.
On tire deux diamètres AC, BD (fig. 38) , qui se coupcntà angles droits , et joignant les extrémités A, B, C,D , les.angles en A,B,C,D, qui ont pour mesure la moitié de l’arc compris entre leurs côtés , c’est-à-dire le . quart de la circonférence , sont des angles droits ; les deux triangles ABC, ADC sont égaux par symétrie , et les çôtés AB, BC, CD, DA sont égaux.
Les diagonales du carré inscrit se coupent au centre ’O du cercle circonscrit.
Construire un polygone semblable à un polygone • donné.
On partdge d’abord en triangles le polygone donné , et prenant pour base une droite quelconque dont la grandeur règle l’échelle suivant laquelle la figure semblable sera exécutée , on construit sur cette droite un
triangle semblable à l’un des triangles dans lesquels on
a partagé le polygone donné ; ce triangle semblable
étant exécuté , on construit sur un de ses côtés un triangle semblable au triangle suivant du polygone donné, et ainsi de suite , etc.
Lever un plan , c’est construire sur le papier un polygone semblable à celui que forment dans la nature les différens points remarquables d’un terrain , supposés liés entre' eux par des droites.
'C.iOMÉTIUQÜfcS.
Nous bornons ici les élémens de géométrie indispensables à l’intelligence de la perspective ; mais nous aurons soin d’ailleurs d’indiquer successivement pour les différens tracés perspectifs , les constructions géométriques qui servent à les déterminer , et qui reposent sur
les principes que nous venons d’exposer.
Après avoir résolu ces différens problèmes , en traçant
des figures.aussi grandes que possible dans des positions • • autres que celles des figures gravées , à la simple vue et
à la main , en les rectifiant au besoin à la règle et au
compas , le peintre fera bien de les répéter suivant des
échelles variées qui rhabitueront à la comparaison des
figures semblables , afin d' acquérir ainsi une grande jus -
tesse de coup-d’cril et beaucoup de dextérité pouf tous
JeS tracés perspectifs.
