VIII. SOLIDES OU CORPS ; SURFACES COURBES

Le prisme est un solide compris sou# plusieurs plan»

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parallélogrammes, terminés de part et d'autre par deux plans polygones égaux et parallèles.

Pour construire ce solide (fig. 20), soit ÀBCDE un polygone quelconque; si dans un plan parallèle à ABC, on mène les lignes FG, GH, HI, IK , KF égales et parallèles aux côtés AB, BC, CD, DE, AE, ce qui formera le polygone FGHIK égal à ABCDE ; si ensuite on joint d’un plan à l’autre les sommets des angles homologues par les droites AF, BG, CH, DI, EK, les polygones ABGF, BCHG, CDIH, DEKI, EAFK seront des parallélogrammes , et ABCDEFGHIK sera un prisme.

Les polygones égaux et parallèles , ABCDE, FGHIK , 8’appellent les bases du prisme ; les autres plans parallélogrammes se nomment faces du prisme , et pris ensemble ils constituent la surface latérale ou convexe de ce solide. Les droites égales AF , BG, CH , DI , EK, s’appellent les côtés du prisme. Lorsque ces arêtes parallèlessont inégales, et que néanmoins leurs extrémités se trouvent dans un même plan , le prisme est tronqué , comme ABCDE a d , et le polygone supérieur n’est plus parallèle à l’inférieur. ,

Un prisme est droit , lorsque les côtés AF, BG, etc., sont perpendiculaires aux plans des bases; les faces d’un prisme droit sont donc des rectangles : dans tout autre cas le prisme est oblique . Quand les bases d’un prisme droit sont horizontales , les côtés sont des verticales.

Un prisme est triangulaire , quadrangulaire , polygonal, selon que la base est un triangle , un quadrilatère v un polygone.*

SOLIDES ou corps;

Dans une maison qui a deux pignons , et dont le plan est un rectangle , le toit est un prisme droit triangulaire et creux. Quand l’édifice n’a pas de pignons, le toit a deux croupes , et il présente un prisme triangulaire tronqué , terminé aux deux bouts par des triangles égaux dont les plans symétriques et non parallèles , sont également inclinés sur les arêtes parallèles.

Les corps ont des plans de symétrie , comme les sûrfaces ont des lignes de symétrie. Le plan de symétrie de deux prismes est celui qui coupe à angles droits et en deux parties égales toutes les droites qui unissent les. sommets de l’un des corps avec les sommets .-«urrespondans de l’autre. Les deux prismes égaux P, P’ (fig. 21), placés de cette façon , par rapport au plan de symétrie MN, sont égaux par symétrie.

Dans les reflets , la surface des eaux tranquilles est de niveau et présente un plan horizontal de symétrie ; mais cette surface ne peut être regardée comme plane que de la même manière , et entre les mêmes limites que nous avons assignées au parallélisme des verticales. Au reste la direction du fil à plomb est toujours perpendi.-. culaireà la surface des eaux tranquilles.

Parallélépipède est un prisme, P, ou P’ (fig. 2 1) qui, ayant pour base un parallélogramme , a toutes ses faces parallélogrammiques.

Le parallélépipède est rectangle, lorsque toutes ses faces sont des rectangles ; c’est un cube , lorsque ses six faces rectangulaires sont des carrés.

La hauteur d’un prisme est la distance entre les deux

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bases; celle hauteur est par conséquent égale à la perpendiculaire abaissée d’un point de la base supérieure sur la base inférieure , et la hauteur d’un prisme droit est mesurée conséquemment par l’un de ses côtés.

La hauteur d’un cube est la longueur de l’une de ses douze arêtes ; car chacune d’elles est la distance entre les deux bases.

Les quatre diagonales d’un cube sont égales , et le divisent symétriquement chacune.

La pyramide est le solide formé lorsque plusieurs plans triangulaires (fig. a a), partent d’un même point S, et sont terminés aux différons côtés d’un même plan polygonal ABCDE.

Le polygone ABCDE s’appelle la base de la pyramide, le point S en est le sommet, et l’ensemble des triangles ASB, BSC , CSD , DSE, ESA, forme la surface convexe ou latérale, de la pyramide.

La hauteur d’une pyramide est la distance du sommet à la base ; cette hauteur est par conséquent égale à la perpendiculaire SH (fig. aa), abaissée du sommet S sur le plan de la base ABCDE, et qui la rencontre en H.

La pyramide est triangulaire , quadrangulaire , polygonale , suivant que la base est un triangle , un quadrilatère, un polygone.

Une pyramide est régulière , lorsque la base est un polygone régulier, et qu’en même tems la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base passe par le centre de base : cette ligne s’appelle alors l 'axe de la pyramide.

6 o solides ou corps;

Le toit d’une tour carrée est ordinairement composé de quatre lattis formant une pyramide quadrangulaire et régulière : nous pourrions citer beaucoup d’autres exemples , et ce sera une bonne étude pour le peintre , que de se rendre compte ainsi des formes des édifices qui toutes sont accusées par des lignes géométriques.

Deux pyramides régulières de même base et de même hauteur , qui sont opposées base à base , ou sommet à sommet , sont placées symétriquement , lorsque leurs axes se confondent en une seule et même ligne droite.

Si l’on coupe une pyramide quelconque par un plan parallèle à sa base, la pyramide retranchée est semblable à la pyramide totale , et le tronc qui reste a ses bases parallèles.

La sphère est un solide (fig. »3) terminé par une surface courbe dont tous les points sont également distans d’un point intérieur qu’on appelle centre .

On peut imaginer que la sphère est produite par la révolution du demi-cercle AM B autour du diamètre AB ; car la surface décrite dans ce mouvement par la courbe AMB aura tous ses points à égale distance du centre C.

Le rayon de la sphère est une ligne droite menée du centre à un point de la surface ; le diamètre ou axe est une ligne passant par le centre , et terminée de part et d’autre à la surface.

Tous les rayons de la sphère sont égaux ; tous les diamètres sont égaux et doubles du rayon.

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Toute section de la sphère faite par un plan est un cercle : on appelle grand cercle, la section G qui passe par le centre ; petit cercle, celle P qui n’y passe pas.

Un plan est tangent à la surface sphérique , quand il n’a qu’un seul point commun avec elle ; d’où il suit que tout plan perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon d’une sphère, est tangent à cette sphère.

La normale à une surface courbe est la perpendiculaire menée au plan tangent par le point de contact : d’où il suit que tous les rayons de la sphère sont des normales , ou que toutes les normales à la surface sphérique passent par le centre.

Les verticales ou les directions du fil à plomb sont les normales de notre globe.

Le plan normal , c’est-à-dire celui qui contient une normale , passe par le centre et coupe la sphère suivant un grand cercle.

Ce qu’on appelle coupole , dans un édifice , est ordinairement une calotte hémisphérique.

On nomme surface cylindrique toute surface sur laquelle une règle peut s’appliquer dans toute sa longueur suivant des directions parallèles. Ainsi toute surface cylindrique est courbe et réglée par des lignes droites parallèles. Comme ces parallèles sont naturellement sans limites, la surface cylindrique n’est terminée par les deux bouts que dans le cas où l’on en considère seulement une portion.

U y a deux manières principales d’engendrer ou de produire une surface cylindrique : i° en faisant chemi-

PERSPECTIVE. fi

SOIiTObS ou corps ; ner une droile AB ( fig. 24 bis), le long d'une courbe B B’ B”, de façon qu’elle reste toujours parallèle à sa première direction ; 2 0 en promenant la courbe le long delà droite AB, de façon que le point B de cette courbe ne quitte jamais la droite , et que les autres points tracent des parallèles à AB. Il est visible que ces deux génératrices donnent une surface courbe réglée par des parallèles : AB est dite la génératrice droite de la surface , et B. B’ B” est la génératrice courbe. On appelle aussi génératrices toutes les droites , A’ B’, A” B”, etc. , qu’on peut tracer sur une surface cylindrique.

La plus simple de toutes les surfaces cylindriques est celle dont la génératrice courbe estime circonférence. Cette surface cylindrique est dite droite , quand les génératrices droites sont perpendiculaires au plan de la circonférence; elle est appelée oblique dans le cas contraire.

Si un rectangle ABDC (fig. 24), tourne sur un de ses côtés A B, le côté parallèle C D engendre une surface cylindrique droite ; car alors C D chemine le long de la circonférence que décrit le point C , et reste constamment parallèle à sa première position.

On appelle cylindre , le solide (fig. 24), produit par la révolution du rectangle ABDC, qu’on imagine tourner autour du côté immobile A B : c’est ainsi que les maçons dirigent leur construction d’une tour ronde ou parfaitement cylindrique.

Dans ce mouvement, les côtés AC, BD, restant toujours perpendiculaires à AB, décrivent des plans circulaires égaux ACME,BDNF, qu’on appelle les