MESURES DE SUPERFICIE

§ 1er. — NOTIONS PRÉLIMINAIRES.

Les mesures de superficie s’appliquent aux grandeurs qui ont deux dimensions , longueur et largeur; elles se divisent en trois classes : mesures de superficie proprement dites, mesures agraires et mesures topographiques. Elles ont toutes le mètre pour élément : les premières répondent aux toises , pieds, pouces et lignes carrés (1); les secondes, destinées à remplacer les anciens arpents, acres, journaux, etc., ont pour objet le mesurage des terrains; les troisièmes sont consacrées à mesurer l’étendue superficielle des états, départements, communes, etc. Il sera d’abord question des deux premières espèces ; nous ne parlerons des mesures topographiques qu'à la suite des mesures itinéraires.

L’arpcntago et le toisé ont pour objet la mesure des surfaces; c’est aux éléments de géométrie qu’il appartient particulièrement d’en enseigner les règles; mais la conversion des anciennes mesures en nouvelles oiTre souvent l’occasion d’en faire usage.

Si l’addition, qui était la plus simple des opérations de l’arithmétique, offrait tant de difficulté lorsqu’il fallait l’appliquer aux anciennes mesures de superficie, ou peut se faire une idée de l’attention qu’exigeaient en pareil cas les règles plus compliquées de la multiplication et de la division. L’établissement des nouvelles mesures et la division décimale , qui en est la base, ont extrêmement simplifié ces opérations, puisqu’elles ont toujours lieu comme sur des nombres simples, quelle, que soit d’ailleurs l’unité qu’on emploie, et quo la réduction des multiples en sous-multiples, et réciproquement , se fait par un simple déplacement du point décimal.

Mesurer une surface, c’est déterminer combien de fois, ou dans quelle proportion cette surface contient un carré choisi pour servir d’unité. Cette unité est le mètre, le déca-

(! ; L’aune carrée no servait qu’ii mesurer la surface, des tapis et tapisseries ; elle répondait à 1 mètre carré 4124.

NOTIONS

mètre ou le kilomètre carré, selon qu’il s’agit de mesures do superficie proprement dites, de mesures agraires, ou de mesures topographiques.

La surface d’un carré se mesure en multipliant un do ses côtés par lui-mème : si le carré a 10 mètres de côté, la surface est de 100; le carré de 6 est 56 ; celui de 8 est 64, etc. L’occasion de multiplier un nombre par lui-même se présentant fort souvent, nous donnons ci-après une table contenant les carrés de tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à 100.

La surface d’un rectangle, ou carré long, se mesure en multipliant la longueur par la largeur; ainsi, la surface d’une porte qui a 2. 1,1 25 de hauteur sur I.111 13 de largeur, vaut en mètres carrés 2.5425 ; s’il s’agit d’un champ qui ait 223 mètres de longueur cl 1 13 de largeur, la surface est do 23425 mètres carrés ou centiares, ce qui revient à 2 hectares 54 arcs 25 centiares.

Le parallélogramme est une surface terminée par 4 côtés parallèles, et dont les angles ne sont pas droits; on le nomme lozange si les côtés sont égaux. La surface du parallélogramme s’évalue en multipliant un de ses côtés par la ligne perpendiculaire qui le sépare de celui qui lui est parallèle.

On appelle trapèze une surface à 4 côtés, dont 2 seulement sont parallèles; il s’évalue en multipliant la moitié de la somme des 2 côtés ou bases parallèles, par la ligne perpendiculaire qui les sépare.

La surface du triangle, est égale au produit de la base par la moitié de la hauteur : on appelle base le côté opposé au sommet; la hauteur est la ligne perpendiculaire conduite du sommet à la base; la surface d’un triangle est exactement la moitié de cello d’un rectangle ou d’un parallélogramme ayant même base et même hauteur.

Toutes surfaces autres que celles dont nous avons parlé , ne peuvent se mesurer qu’en les divisant en 2 ou plusieurs triangles, qui s’évaluent séparément, et dont la somme présente la surface totale. Ainsi, le Irapèzo'iile , figure quadrangulaire dont les côtés ne sont pas parallèles, se divise en 2 triangles, le pentagone en 3, l’hexagone en 4, etc. , en conduisant des diagonales d’un angle de ces ligures aux autres angles.

Les surfaces régulières , c’est-à-dire celles dont les angles et les côtés sont égaux, peuvent se diviser en autant de

triangles qu’elles ont de côtés, en tirant des lignes du centre de la ligure à chacun des angles : ainsi , l’hexagone régulier se divise en ti triangles égaux ayant leurs bases à la circonférence, et leurs sommets au centre.

Le cercle, considéré comme un polygone régulier d’une infinité de côtés, est également censé se diviser en une infinité de triangles, ayant, comme dans l’hexagono, leur base à la circonférence et leur sommet au centre. T. a circonférence peut donc être regardée comme la somme des bases de tous ces triangles, et le rayon ou demi-diamètre, comme la hauteur commune, d’où il résulte que la surface du cercle est égale au produit de la circonférence par la moitié du rayon.

Dans les polygones réguliers , d’un nombre de côtés déterminé , on distingue le rayon droit du rayon oblique: celui-ci est la ligne allant du centre aux angles; le rayon droit est la ligne perpendiculaire abaissée du centre sur les côtés du polygone; dans le cercle, le rayon droit et le rayon oblique se confondent.

La surface du polygone régulier est égale à la circonférence ou périmètre , multiplié par la moitié du rayon droit.

Le cercle est, de toutes les surfaces dont nous avons parlé, celle dont l’évaluation présente le plus de difficulté : elle exige la connaissance du diamètre et de la circonférence; et, si le diamètre» est une ligne droite et facile à mesurer, il n’en est pas de même de la circonférence. Communément, on regarde le diamètre comme le tiers de la circonférence; suivant Archimède , le diamètre et la circonférence sont dans le rapport de 7 à 'i'i, ; Adrien Métius les a trouvés comme 115 à 555, ce qui approche plus de l’exactitude. Ce dernier rapport équivaut à celui de 1 à 5.14159. Il faut donc, pour connaître la circonférence, multiplier le diamètre soit par 3, s’il suffit d’une simple approximation, soit par Ü septièmes, ou par 5. 1 il 59 , suivant qu’on se déterminera pour l’un ou l’aulro des rapports d’Archimède ou de Métius. Si l’on n’a pas besoin d’une exactitude rigoureuse, on peut se contenter de multiplier par >14. On trouvera, ci-après, une manière de connaître la circonférence de tous les cercles d’apfès leurs diamètres.

La circonférence une fois connue, ou la multiplie, conuno nous l’avons dit, par la moitié du rayon ou te quart du diamètre; le produit donne la surface du cercle.

La surface du cercle est à celle du carré formé sur le diamètre, comme 0.785597 à 1 ; d’où l’on déduit celte autre

manière d’évaluer le cercle : Multipliez le carré du diamètre par 785397, et séparez 6 décimales : s’il yen a déjà, avancez le point décimal de G chiiïres. 0.785397 est le quart de 5.14159, rapport de la circonférence au diamètre; si l’on n’a pas besoin d’une aussi grande exactitude, on peut multiplier seulement par 785, et retrancher trois décimales.

ÎS'ous donnons ci-après , avec la table des carrés et des cubes, celle des circonférences cl des surfaces de tous les cercles , ayant depuis 1 jusqu’à 100 de diamètre; on y trouvera quelques observations sur celte ligure, ainsi que sur la surface de l 'ellipse du cylindre, de la sphère, et de quelques autres surfaces courbes.

Pour ne pas commettre d’erreurs dans les opérations relatives à la mesure des surfaces, il faut se rappeler, 1° que la multiplication des nombres avec fractions décimales se fait comme celle des nombres entiers, en observant de séparer dans le produit autant de décimales qu’il y en a ensemble dans le multiplicande cl le multiplicateur; 2° pour réduire des mètres carrés, décimètres carrés , etc., à l’unité qui leur est immédiatement supérieure où inférieure, il faut avancer ou reculer le point de il chiffres ; le rapport entre les unités superficielles étant centésimal, encore bien qu’il soit décimal dans les unités linéaires ou do longueur.

L’unité des mesures de superficie est uno étendue piano, carrée, ayant un mètre de longueur et un mètre de largeur; on lui donne le nom do mètre carré. Pour mesurer de petites surfaces, on emploie les décimètre, centimètre et millimètre carrés; de même que, pour les surfaces étendues on pourra recourir aux décamètre , kilomètre et myriamètre carrés. Mais il est une observation qu’il ne faut jamais perdre de vue quand on emploie les mesures de superficie , c’est que le mètre carré et ses multiples ou sous-multiples ne conservent pas entre eux les rapports que leurs noms

(1) Le mètre carré est la mémo chose qnc le centiare ; mais on ne la considère ici que comme mesure de superficie ordinaire. Y oir, ci-après , titre des Mesures agraires.

MÈTRE CARRÉ. 1$o

semblent indiquer (!): ainsi, le décimètre et le mètre carrés ne sont pas dans la proportion de I à 10 , mais de I à 100, le mètre et l’hectomètre carrés ne sont pas dans le rapport de 1 à 100, mais de 1 à 10,000. il faut considérer ces mesures comme des unités particulières, dont chacune est 100 fois plus grande que celle qui la suit immédiatement.

L’inspection du damier polonais donne, des nouvelles mesures de superficie, une idée plus claire que tout ce qu’on pourrait dire.

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