MULTIPLICATION

droite; si l’on veut rendre le nombre cent fois plus grand, on reculera le point de deux rangs; si c'est mille fois plus quo l’on désire, on reculera le point de trois chiffres : ainsi, 2.354, multiplié successivement par dix, par cent et par mille, deviendra 25.54, 235.4 et 2354.

Par une raison semblable, un nombre est rendu dix fois, cent fois, mille fois plus petit , en séparant par un point décimal, I, 2 ou 5 chiffres par la droite; ou, si ce nombre contient déjà des décimales, en avançant successivement le point, d’après la même règle. Par exemple, 2.5 est dix fois plus petit que 23; de même 0.23 sera égal à 25 divisé par 100; 0.057 sera la millième partie de 37, et ainsi dans tous les autres cas.

Maintenant on concevra aisément que la multiplication des nombres décimaux doit se faire comme celle des nombres entiers, et qu’il suffit, dans le produit, de séparer par le point décimal autant de chiffres que l’on compte de décimales, tant dans le multiplicateur que dans lo multiplicande.

Exemple. Multiplier 324.17 par 15. G2; voici l’opération figurée :

On sépare quatre chiffres décimaux dans le produit, parce qu’il y en a deux dans le multiplicande, et deux dans le multiplicateur : la raison en est qu’en faisant abstraction du point décimal dans les deux termes ou facteurs delà multiplication, on suppose chacun d’eux cent fois plus grand qu’il n’est effectivement; lo produit sc trouverait donc 10,000 fois trop grand, parce que 100 multipliés par 100 donnent 10,000; c’est pour le ramener à sa vraie valeur qu’on en sépare les quatre derniers chiffres par le point décinlal , ce qui est la même chose que si on le divisait par 10,000.

Lorsqu’on n’a pus besoin d’une précision plus grande que les centièmes , ou ne conserve que les deux premières déci-

males ; si l’on veut pousser la précision jusqu’aux millièmes, il faut conserver trois chiffres après le point.

Ainsi, dansl’excmple précédent, après avoir trouvé le produit, on peut l’énoncer comme il suit, 8187.55, ou 8187.555, en supprimant les deux derniers chiffres, si l’on se borne aux fractions de centième ; ou seulement le quatrième, si l’on veut exprimer des millièmes.

On ne doit pas craindre que ce retranchement donne uno erreur sensible ou préjudiciable; car les calculs n’ayant lieu, dans les usages courants, qu’en conséquence des mesurages effectifs, ce serait un scrupule déplacé que de vouloir donner aux calculs plus d’exactitude que n’en comportent les instruments dont on s’est servi pour mesurer.

Si l’on veut obtenir un peu plus de précision, ce qui est possible sans rien changer à l’opération môme, on aura attention, lorsqu’on supprimera quelques décimales dans les résultats, d’augmenter le chiffre précédent d’une unité, si la première des décimales supprimées est 5 ou au-dessus. Alors, dans un certain nombre d’opérations, les parties négligées se compensent il très-peu près. Ainsi, dans la multiplication faite précédemment, le produit serait porté à 8187.54, au lieu de 81 87.55.

La suppression d’un certain nombre de décimales abrège et simplifie les calculs; mais elle ne doit pas être faite au hasard , et il faut toujours avoir égard tant à la grandeur de l’unité, qu’au degré d’exactitude qu’on veut obtenir : avec un peu d’habitude on parvient bientôt à connaître, dans chaque cas particulier, combien on peut négliger de décimales, sans craindre une erreur sensible.

Dans la plupart des opérations relatives aux ventes de marchandises, les multiplications ont pour objet des questions analogues à colle-ci : la mesure de telle marchandise coûte tant, combien valent tant de mesures de la même marchandise?

Par exemple, à 55 fr. le mètre de drap , combien coûtent 62 mètres?

Réponse : Il faut multiplier 62 par 55 , ou 55 par 62; lo produit est 5410; par conséquent les 62 mètres vaudront 5410 fr.

S’il se trouvait quelques décimales après le nombre de mètres , comme s’il y avait 62. m 25, et que le prix du mètre fût 55 fr 13, le prix total s’obtiendra de même, en multipliant

DIVISION

6225 par 3515, cc qui donne 5431.8423, ou 5451 fr. 84, on supprimant les deux derniers chiffres qui sont supcrllus, et qui n’équivaleut qu’à un quart de centime (1).

Si l’on demande : A 5G centimes le mètre, combien $ décimètres? La multiplication de0.3G par 0.8, ou simplement do 56 par S, donnera 288, et en séparant 3 chiffres, parce qu’il y a 3 décimales tant au multiplicande qu’au multiplicateur, Ô.2S8, c’est-à-dire 28 c., en négligeant les millièmes de franc, et plus exactement 29 c., le chiffre supprimé étant supérieur à 5.

§ 4. — DIVISION

Pour diviser l'un par l’autre deux nombres, dont l'un seulement, ou tous les deux, contiennent des décimales, la règle à suivre est très-simple, et fondée sur ce principe, que si l’on multiplie ou si l’on divise par une même quantité les deux termes d’une division avant de l’effectuer, on ue change pas la valeur du quotient.

Si les deux termes ont le même nombre de décimales, on supprime le point dans chacun d’eux, et l’on opère comme sur des nombres entiers.

Exemple : Pour diviser 120.62 par 54.13, on procède comme s’il s’agissait de faire la division de 12062 par 3415.

S’il y a plus de décimales dans un terme que dans l’autre, on les égalise en ajoutant des zéros aux décimales les moins nombreuses, ce qui n’en altère pas la valeur, et l’on supprime ensuite de part et d’autre le point décimal.

Exemple : 247.2 étant à diviser par 57.83, ou 158.93 par 27.8, ou opère comme pour diviser 24720 par 5783, ou 15895 par 2780.

Enfin, lorsqu’il no se trouve de décimales que dans l’un des deux nombres, on supprime le point, et l’on ajoute à l’autro autant de zéros qu’il y avait de décimales au premier.

Exemple : 2000 à diviser par 14.25 , se considère comme 200000 à diviser par 1425 ; et 217.18 par 12 , comme 21718 par 1200.

La question se réduit donc à faire la division d’un nombre entier par un autre nombre entier.

La plupart des questions où la division est nécessaire sont

(L Voy. ( p, 03) U: § de la fraction do centime.

analogues à l’exemple qu’on va citer. Pour 2000 fr., combien forait-on fairede mètres d’ouvrage à 4 fr. 25 le mètre?

(I s’agit de diviser 2000 par 4.25.

Transformons d’abord ces nombres de celte manière, 200000 et 425, et figurons l’opération :

On trouve d’abord 470 pour quotient; et il reste 250, qui, étant plus petit que 425, no peut plus donner qu’une fraction.

Je suppose qu’il n’y ait pas d’intérêt à prolonger l’opération plus loin que les centièmes , j’ajoute deux zéros h 250, et je > continue la division.

J’obtiens au quotient deux nouveaux chiffres formant 58, et je les sépare des précédents par le point décimal.

Je trouve ainsi pour quotient vrai, et par conséquent pour réponse à la question proposée, 470 mètres 58 centimètres.

Si l’on veut pousser 1a division jusqu’aux millièmes, oni ajoute un troisième zéro, etc.

On voit que l’adjonction de deux zéros h 250 a multiplié le dividende par 100, et que le placement du point divise le quotient par la même quantité; la valeur que devait avoir le quotient ne se trouve donc pas altérée. On aurait pu, avant i de commencer l’opération, augmenter le dividende primitif des deux zéros que nous venons d’ajouter au nombre 250, et cela serait revenu parfaitement au même.

De là se déduit cette règle facile : Lorsque l’on opère surr des nombres entiers, ou que, par un égal nombre de décimales, les deux nombres sont dans le cas d’être divisés comme entiers, ajoutez au dividende autant de zéros que vous voulez avoir de décimales au quotient.

11 s'ensuit aussi que, si le diviseur n’a pas de décimales, ou on a moins que le dividende, on peut opérer la division comme

Ht ACTIONS.

sur des nombres entiers, en observant seulement de séparer au quotient, par le point, autant de décimales que le dividende en a de plus que le diviseur.

Enfin, si au dernier reste on ajoutait encore un zéro, et que le quotient de ce reste ainsi accru donnât un chiffre égal à 5 ou plus grand, on aurait un peu plus do justesse dans le résultat total, en augmentant son dernier chiffre d’une unité. On peutmème se dispenser d'ajouter un zéro au dernier reste, et de faire ensuite la division pour connaître silo quotient serait un 5 ou au-dessus ; il suffit d’examiner si ce dernier reste est au-dessous ou au-dessus de la moitié du diviseur : s’il est au-dessous, il n’en faut tenir aucun compte; s’il est de la moitié ou au-dessus, il faut ajouter une unité au dernier chiffre du quotient.