On comprend combien par le mauval» choix d'une

t'irection on peut allongeri'éellement une route. Ainsi nous

en connaissons qui sont placées entre le faite et le talweg,

de manière à franchir successivement tous les contre-

foits et à présenter en plan une ligne sinueuse qui sur .le

terrain n'<»ffre qu'ime snccession de pentes et de rampes.

£o se rapprochant des prairies ou du faite principal , on

aorail obtenu un profil longitudinal presque de niveau

ûont la longueur horisontale équivalente n'eût peut-être

pas été le quartde celle correspo/idant à la route actuelle.

Si le développement se fesait sur les versants d'un

contre-fort dont lé faîte irait constamment en s'inclinanl

^ers la vallée , on peut se demander quel point il faut

choisir pour franchir la ligne de faite.

Soit FF. {fig. 8 bi») l'inclinaison de ee faite j AB la direclion générale du tracé, supposé arrivé au pied du coteau. BG le développement à la déclivité normale r, il faut chercher si un autre développement 6D avec une déclivité r' moindre que r, ne serait pas plus avantageux.

Nous représentons les développements par leur projection horisontale, hEz:z d et BG = d', en désignant les coefficients relatifs à r et r' par c et c', il faut, pour que le développement BG soit plus avantaf^eux que BE, que la longueur horisontale l' = d'e'y équivalente à d\ soit phis petite que Z = <j c, ou que l'on ait :

(i'c'<dcoud'<<î-^

remarquons mainlenant que l'on a CE = <^r =: DG X CH ou bien i

i étant rinclinaison du faîte. Eu tirant de cette égalité la valeur de d' et la substituant dans l'inégalité qui précède^ on est conduit à cette condition :

SI riociinaison t se troiiTaît précisément égale au seront! leriFe, il serait indifférent de prendre le développement B G ou Tnn quelconque des autres tels que B D , jusqiios et y compris rhorisoutale. En effet, en remplaçant rincii-

naison i par la Taleur ;—, dans Tégatité ci-dessus

on troave :

d'z=d -^ ou l'=:l

Si. l'inclinaison i était plus grande que le second terme, ce serait alors le développement horisontal allant passer au pied du coteau qui serait le plus avantageux de tous.

Si Ton avait ainsi plusieurs contre- forts suivant à peuprès la direction de la rivière, chacun donnerait par son pied, un point du tracé, et la théorie ramènerait an tracé qui , à priori , est évidemment le meilleur , c'est-à-dire, à placer la roule précisément au pied de ces contre-forts.

24. On peut se poser la question suivante: De combien faut-il déblayer un faîte pour remplacer par un parcours horisontal la partie supérieure d'une rampe et de la pente qui suit immédiatement ?

Soit d la partie du développement supprimé. Cette longueur de route nécessitera une dépense annuelle

■^J" I dt^nx 0,0002 X <i X 4,99573

p et < sont le prix de construction et d'entretien du mètre courant.

En composant de termes analogues la somme que nécessitera la tranchée à faire et les égalant, on en tirera la hauteur à déblayer pour qu'il y ait avantage à faire cette opération

Lorsqu*on n'a pas à descendre après avoir monté , et

qu'il s'agit de s'élever d'une yallée sur un plateau on peat

encore se demander s'il y a lieu de déblayer en haut et

de remblayer en bas a6n d'obtenir ainsi la déclivité nor-

*Bia1e, an lieu de la chercher par un développement.

Xci la hauteur à franchir reste fa même dans un eaa

comtoe dans l'autre. Le seul Avantage que piésenlenl les dèb\a\s et remblais est de permettre de ne pas s'éloigner (le la diredion àsnWre. Il faudra donc voir de combien un âève\oppenient par déviation allongerait la route, faire la somme des frais qui résulteront de cet allongement, en la composant des mêmes termes que cl- dessus , et la compunà la somme relative au tracé par écrètement.

25. Là direction d'une route se composera, dans le cas , le plus général , d'une suite d'alignements droits , faisant certains angles déterminés, les uns avec les autres, en sorte que la longueur et la position sur le terrain de l'un qnelconqne d'entre eux étant donné , on pourrait en déduire tous les autres , à l'aide de la chain^et du graphomètre. Cependant , lorsqu'on fait cette étude sur les lieux , il est indispensable de prendre plusieurs repères et de rattacher à des points fixes et invariables la position des diverses directions que l'on a adoptées, a6n de ponvoir les rétablir avec précision , à une époque quelconque; si l'on se contentait de fixer un seul alignement et d'en déduire ensuite \e& autres comme nous venons de le dire, on pourrait être conduit à des erreurs très- fortes et s'écarter notablement du tracé primitif; il suffirait pour cela de quelque varialioo dans la longueur de la chaîne ou dans les divisions d'un graphomètre. C'est suivant la direction primitive, qu^ l'on fait les nivellements en long et en travers dont nous parlerons plus tard et qui servent de base au calcnl des terrassements à eCTecluer pour donner an chemin la forme voulue ; on conçoit donc que si, au moment de l'exécution, on ne pouvait la retrouver rigoureusement, on s'exposerait à avoir un excédant considérable de déblai? ou de remblais, à se jeter dans des dépense^ imprévues ou à ruiner quelquefois l'entrepreneur qui aurait accepté de confiance les calculs de l'auteur du projet. Celte observation est très-importante ; dans quelques cas , il suffirait de reporter ' on alignement de un mètre à droite ou à gauche de la position qu'il devrait occuper , pour dénaturer complètement le projet.

Pour éviter cet inconvénient , il est prudent de faire , ^ l'extrémité de chaque alignement droit, un trou circulaire d'on métré au moins de diamètre , et d'y planter un fort piquet , et de rapporter en outre à des arbres , ou a des

bâUments Yoisins , la posilîon de chacun de ces piquets qui forment le soumiet des angles des divers alignenieuts.

26. QuÂVD le moment de l'exécution est vcnn , il faut tracer sur le terrain la ligne qui va du sommet d'un angle au sommet voisin, afin de diriger le travail des ouvriers : cette opération peut offrir trois circonstances :

d.° Si, du commencement d'un alignement, on peut voir un jalon vertical placé à l'autre extrémité , le problème ne présente aucune difficulté s on plante égalemeol un jalon à Teudroit où se trouve l'observateur , puis, dirigeant un rayon visuel sur le premier, on en fait placer intermédiairement a^^tant qu'on le désire , en ayant soin qu'ils soient tous tangens à la direction de ce rayon.

2,° Quand du point initial on ne peut pas voir un jalon ou un signal placé à Textrémité, ce qui arrive lorsque ces points sont séparés par un petit coteau A B (fig, 10), deux observateurs doivent chercher à se placer en deux points intermédiaires , G et D , tels que celui placé en G puisse voir celui placé en D et en même temps le jalon B , réciproquement pour l'observateur en D , alors la personne G fera placer celle D dans la direction de B , et st le point C se trouve en même temps dans la direction A D , les deux points C D seront sur la droite qni va de A en B. Lorsqu 'un premier dérangement des points G et D n'amène pas ce résultat y il est toujours facile de l'obtenir par une suite de tâtonnements , et alors le tracé se trouvera^ ramené an premier cas.

3.^ Si deux observateurs ne peuvent pas se placer intermédiairement aux deux points , comme nous venons de le supposer , soit parce qu'ils seront séparés par un édifice , soit par tout autre motTf , on mène par l'un des points uue droite quelconque A G (/î(/. d J ), sur laquelle on abaisse une perpendiculaire , du point B à l'aide du graphomètre ou de l'équerre, on divise la longueur A G en autant de parties qne l'on veut planter de piquets sur la direction A B , et on calcule, pour chacune des divisions , la longueur des perpendiculaires!) D'; £ E'}. . . , Ge qui donne la position

des piquets D', £', F', Ce calcul est fiacile puisque

tou3 les triangles sont semblables , Von a :

AF: FF' :: ag: CE,

d'où Ton déduit :

,, AFXCB; AC

la longoear A C est connue, pnkqn*en traçant celle ligne on l'a mesurée, il en est de même de C B, et, qnant à A F, c'est one partie connue de la ligne totale A C; ainsi snpposonsA C= 120", C B = 24 , si Ton veut avoir trois pi- <IQe(s sDr A B , on divisera la ligne A C en quatre espaces

^Qx chacun à — r- -= 30"^, ce qui donnera :

FF = j^Jx24 = 6-;

EE'=^-^X24 = 12«etc.;

et généralement, quand on divisera la ligne A On parvies è^les , comme nous venons de le faire , il suffira de caicQler U première perpendiculaire, dont la valeur muU tiplïée par les facteurs 2, 3, 4 donnera la 2.', la 3.% etc. . Si le tracé de la ligne auxiliaire A C présentait quelque difficulié ; par exemple , si le p<»int A était situé auprès d'une forêt {fig. 42) , alors on prendrait plusieurs lignes anxiltaiies , dirigées suivant les allées ou les clairière j , leiles que C D et B D , et comme , dans le polygone ainsi formé, on connaîtrait la longueur des côtés A C, C D, D B, cl les angles en C et D , on en déduirait Tangle que la ligne k B fnit avec Tauxiliaire A C , ce qui permettrait de niivre la direction A B , à Faide du graphomCtre , au fur cl à mesure que Vtm abattrait lés arbres pour établir la l'ouïe. Ainsi, dans le cas de la fiyttre 12, où Ton aurait un (loadrilaièrc, on commencera par calculer Tangle C A D au moyen des principes posés en trigonométrie peur la ré' ^liiiiun des triangles obiiquangles , ce qui nNtffrira aucune (lifiQculté puisque, dans le triangle A C D, on connaît <leox côtés A C , C D et Tangle compris A C D ; il en sera <le même pour le triangle A D B, dans lequel on connaîtra ^ Bn d'api-ès le calcul précédent , et D B directement, de iBème que Tangle compris.

Aligmbmsuts Courbes.

27. LoBSQUE tes alignements droits sont tracés , on cbtiendrait un chemin d'un parcours difficite , si on voulait s'astreindre à les suivre dans toute leur longueur ; pour passer de Van à Tautre, on aurait des coudes brusques qui sont toujours un obstacle asses grand pour le roulage, car les chevaux éprouvent beaucoup de difficulté pour tourner les angles un peu forts. Pour diminuer cet iucon\énient , inhérent au changement de direction , on abandonne Ta^ lignenient droit à quelque distance do sommet de Vangle qu'il forme avec l'alignement suivant , et l'on va rejoindre celui-ci en un point B , ordinairement située la même distance du point de rencontre S, que le point A {fig. 43). Entre ces deux points , le chemin suit une ligne qu'on nomme courbe de raccordement. Si Ton adopte un arc de cercle pour raccorder deux alignements consécutifs , on doit Ini donner un rayon aussi grand que les localités peuvent le permettre afin de diminuer l'effort que les chevaux ont à faire pour changer de direction.

Four concevoir la différence qui existe entre le tirage en ligne droite et celni en ligne courbe , on peut admettre qu'une voiture qui décrit un cercle , exige d'abord pour parcourir la circonférence la n.éme force que si on lui faisait parcourir une droite de même étendue et ensuite un effort additionnel , pour lui imprimer à chaque instant la déviation convenable pour faire une révolution complète pendant le parcours du cercle entier. Et si l'on suppose que l'effort total à exercer pour faire faire à la voiture celte révolution entière , reste le même quelque soit le rayon du cercle parcouru > il sera évident que l'effurt se trouvera réparti sur une étendue d'autant plus grande que le rayon sera pins grand et que les chevaux pourront le vaincre plus facilement ; d'après cela , en remarquant que pour raccorder deux alignements A S et B S, on au a toujours à décrire un même angle au centre O , égal à 480% moins l'angle en S, quel que soit le rayon du cercle adopté , il est facile de concevoir qu'il y a avantage à prendre un cercle aussi grand que les localités peuvent le permettre. 11 ne faut cependant pas pousser ce raisonnement à l'extrême et choisir des raccordements tellement

longs qu'ils dénatoreraient notablement le Iracé primitif* I/expérience a prooTé que lorsque le rayon n*é(ait pa» ao-dessons de 25 à SO** l'effort additionnel qne les che- Taux des voitnres de roulage avaient à faire ne les fatiguait pas trop. Nuns regarderons donc ce nombre coimue une limite inférieure.

Quelquefois on adopte , pour raccorder deux alignemn\8y d'antres courbes que le cercle , par exemple, \it JMrabAle ; sans chercher à en démontrer les propriétés , ooQs doooerons les moyens de construire cette courbe par points sur le terrain. Lorsque Tangle des alignements «9t 1res ouvert , la parabole se rapproche beaucoup du tercle et Ton peut adopter indifféremment Tune ou l'autre de ces courbes. Jl faut , dans tous les cas , que les raccor- Aemenissoient tangens aux alignements droits aux point» A elB où ils quittent et reprennent leur direction.

BkeMiIbE UéTHODB P0U& TAACEE LB CeACLE.

%• (^nuD on a fixé le rayon dn cercle de raccordement, le moyen ^ui se présente le plus naturellement à "esprit pour trouver le centre 0 , est de mener paralléle- (Dcnt à chacun des alignements et à une distance égale au ''.^op, deux droites dont Tintersection donne le point O, «îsnifede décrire le cercle, en fixant à ce point l'extréï^ilé d*nne chaîne égale an rayon. Mais ce procédé , très-

.le en exécution sur un plan, serait souvent bien pénible sar le terrain. Aussi est-il préférable de tracer le cer- ^^e indépendamment de son centre.

La valeur du rayon étant adoptée, on commence par en 'Waire la longueur des tangentes S A , S B , ce qui n'offre ancone difficulté. Supposons que Ton ait déterminé sur le pli*n le centre O, comme nous Tavons dit, divisons l'angle ^S en deux parties égales, la ligne de division ira passer pwle point O, et, dans le triangle O A S, oà Von connaî- [M le côlé 0 A, égal au rayon, et l'angle A S O, on pourra •fODTer 1.1 longueur de la tangente AS.

y^ peut éviter le calcul trigonométrique de la manière "l'^anic : prenons sur S A une longueur S B égale à l'u- *"'* 1 * nn mètre , par exemple , élevons de ce point une î^ndicnlaire sur S A juscpi'à sa rencontre avec O S, en

XI, et mesurons la ligne B C, dans les deui triangles sembiables S B C, S A O , nous avons

AS: 1 :: 0 A : bc,

ou, en désignant par T la longueur de la tangente, par B, celle du rnjron :

T n :: R : BC,

d^où T = A

Si l'on veut employer le calcul par logarithmes pour obtenir la longueur de la tangente, on aura , en désignant par A Tangle A S B, et remarquant que la ligne que nous

avons désignée par B C et que Ton peut mesurer directement sur le terrain , est précisément la tangente trigonométrique de la moitié de l'angle S :

Tang-7A,

supposons que k = 70^ et qu'on prenne R=:=àO°*, on aura

T = Tang. 3S°>'^^* T-»0S- 40-log. tang. 35*.

log. 40 = d,605 06a; comp. log. tang. 35.<'=0.154 7722^ donc nous avons: log. T s 1,756 8322, d'où T= 57»,i3»

29. QuAKD on connaît ainsi la longueur des tangentes on peut décrire le cercle sans s'éloigner du tracé de la route, pour y aller chercher des points auxiliaires.

i.^ Si nous joignons le point A au point B, on sait que tous les angles ayant cette ligne pour base et leur sommet sur l'arc A m B, sont mesurés par la moitié du reste de la circonférence, et qu'ils sont par conséquent égaux entre eux, et au bupplément de l'angle BAS, qui est connu du

moment où l*on se donne la longneor^h» lignes S A, S B. iiosiaoe suite ée points^ «, m, m... teJs qu'en les joignant aax points A et B, les angles A m B, soient égaux à l*angle coDon apparliendront an cercle. Four trouver facilement ces points , nous remarquerons qne Tangle m A B, qui a pour mesure moitié de Tare m B, est égal k Tangle m B S comme ayant même mesure, conséquem ment si nous tirons (fapoint A une ligne quelconque A m, faisant un angle arbitraire avec A B, et que du point B nous menions une seconde ligne , faisant avec B S un angle égal à m A B , le point d'mterseclfion de ces deux lignes appartiendra au cercle. On pourra tlonc obtenir par cette méthode autant de points qu'on le désirera.

■ 2 "* MitHODE POUB TRACER LE CeRCLE.