DH — GH = D1 — CI
RouTu ST Cbsmihs. 4i*
on regardera la tigne I H , prolongée josqv^à m rencontre avec A B, comme une solution suffisante du problème; dans le cas particulier que nous traitons, il est évident que de même que g h , elle divisera le rectangle en deux parties égales. Si Taire  B E F s'étendait au-dessous, de CI\ on opérerait, par rapport à cette seconle partie , comme nous venons de l'indtquer pour la première.
135. Les principes que nous venons de poser peuvent servir de guide dans la manière de faire les déblais, dans plusieurs circonstances que nous allons examiner succès* sivement, parce que ces exemples permettront de parvenir très-approxiinativement au minimum de dépenses , dans tous les cas qui pourront se présenter :
Supposons, en premier lieu, que Ton ait à faire unrem^ blai suivant la direction K. B fiy. 53, avec des terres pro*venant des deux points C et D , devant fournir chacun une i|uantité déterminée d'avance , on ne voit pas à priori , si l'on doit commencer par porter les terres venant du point D, en B, suivant B B', la ligne B B' étant proportionnelle Il la quantité à prendre en D, ou en A, suivant A B%et réci*proquement pour le point C, ou enfin s'il faut en prendre simultanément aux deux points et effectuer le remblai suivant A B ou suivant B A. Mais toute incertitude cesse si nous faisons tourner le point C autour de A B comme charnière ; il devient évident que les déblais à prendre en C seront portés sur B B', et ceux de D sur A B', puisque toute autre disposition donnerait un croisement , ce qui est contraire au principe établi au n.° précédent.
Si, dans le rabattement, le point C tombait dans I'Iik térieur du triangle D A B, fig. 54 le problème paraîtrait susceptible de plusieurs solutions, puisqu'il sufiBrait, pouf éviter le croisement, de prendre, à partir du point E, dé«> terminé par la rencontre de D C avec la ligne A B, deux longueurs E F, £ G dont la somme serait égale à la quan<» tité de déblais à prendre en G. Mais remarquons que pour parvenir au minimum de dépense, il fai^ que les points F et G qui séparent les remblais à prendre, en D, de ceux à prendre en G, soient tels qu'il soit indifférent de remblayet l'un avec les terres provenant de D, pourvu que Ton remblaie l'autre avec celles provenant de G, on doit donc avoir pour ccndition:
CO — C'F=DG— DP (o)
Poor déterminer le poiot F, par exemple, il suffirait de traduire algébriqiiemeot cette égalité, mais généralemeiU Il sera plus court de procéder par tâtounement, parce que \t calcul conduit à des résultats assez compliqués.
136. Supposons actuellement que la ligne À 6, /iy. 55 , doive être remblayée avec les terres provenant de la ligne C D, qui a même longueur; en faisant tourner le point G et te rabattant en C, on voit d'abord que, pour éviter le croisement, les terres, à partir de C vers D, ou de C versO, doivent être portées de B vers A, et cela jusqu'au point JB, tel que B £ étant égal à C F, la ligne E F prolongée aille passer par le point D. A partir du point £, les remblais sont faits avec des terres provenant à la fois de 0 F et 0 D que Ton prendra, pendant tout le cours du travail, proportionnellement à la longueur de chacune d'elles, c'est-à-dire que si la ligne O F se trouvait représentée par 5, par exemple, et la ligne O D par 6, on mettrait 5 tombereaux à déblayer la première et 6 pour la seconde. Il est facile de se convaincre que toute autre disposiiion entraînerait nécessairement un croisement dans les çiieiuins de transport.
437. NoTTs avons admis , dans tout ce qui précède , que je transport des terres, à partir du point où on les prend jusqu'à celui où on les dépose, pouvait se faire en ligne «droite, c'est-à-dire que l'espace compris entre le déblai <^t le remblai était libre et que les chemins suivis par chaque portion pouvaient être dirigés à volonté , mais il peut arriver d'abord que toutes les terres doivent passer par certains points fixes, tels que des ponts sur un ruisseau ou des portes dans un mur de clôture, ce qui introduit nne nouvelle modification dans les solutions que nous menons de donner. Lors même que cette sujétion ne se présenterait pas et qu'en effet l'espace seiait entièrement biire, on ne pourrait pas toujours etfectuer les transports
(*^ £n appliquant à ce ptobléme les régira directes qui donnent Im «mdiiioiMde miaimum, ou Uouve, ea eff«t» celle ci-deuus énoncée»
comm^ nons l'avons indiqué précédemment, ponr établir d*une manière plus simple les principes qui doivent guider dans cette opération. Dans la pratique, on est ordinairement obligé de préparer les chemins que doivent saivre les brouettes et les tombereaux, soit en établissant bout à bout des madriers pour les premiers , soit en régalant le terrain pour les seconds, et il serait trop dispendieux de faire ce travail pour tout l'espace qui sépare le déblai du remblai. Une autre considération encore engagea suivre toujours le même chemin : c'est qu'il acquiert plus de consistance par un roulage un peu prolongé, et offre ensuite un tirage beaucoup moindre.
d3S. La question qui se présente actnellement est donc de déterminer combien de chemins on doit préparer dans chaque cas particulier , et la direction qn'on doit leur donner.
Nous admettons d'abord que l'espace entre le déblai A B C D et le remblai A'B'C'D'i est entièrement Wbreifig. 56) ; si, comme cela arrive presque toujours dans la construction des routes, ces de4ix volumes sont compris entre planssensiblement parallèles, on pourra regarder la distance des centres de gravité G G' comme à très peu près égale à la dislance moyenne des transports, en supposant qu'ils soient effectués de manière que chaque portion de déblai m^n.,., aille directement en m', n'.., mais si l'on veut profiter du chemin préparé suivant B IK , il faudra que la partie m vienne en B, puis retourne de D' en m\ et l'on voit que la distance moyenne sera augmentée : la comparaison du surcroit de dépense qui en résultera , aux frais d'établissement d'un nouveau chemin, décidera, dans chaque cas particulier, si l'on doit se contenter de la direction G G' ou s'il est avantageux d'en adopter une autre pour la portion m du déblai; on raisonnera de même ponr .nne autre portion », en la comparant à G G' et à m m', et l'on parviendra ainsi à décomposer la surface entière en un certain nombre départies qui auront chacune ponr chemin de déblai, la ligne qui joindra leur centre de gravité. Chacune d'elles formera un atelier occupé par plusieurs ouvriers, si elle est trop grande comparativement à l'activité que l'on désire mettre dans l'exécution, on la subdivisera en plusieurs autres. En ce qui concerne les travaux d#
terrassemens des routes , il est toujours a? antageux de n'établir qu'un seul cliemin, aussi n'insisterons- nous pas sar cette question qui se rapporte plvs spécialement aux grands travaux.
139. Quelquefois les terres qui doivent servir à faire le remblai A' B' C jyifiy. 56.) sont prises au delà d'une cer* tnine ligne A" B^, dans un espace indéfini ; alors on est obligé de rechercher comment doit se terminer le déblai do côté opposé, la solution générale est encore très compliquée, mais on y parviendra d'une manière suffisamment approchée pour la pratique, en menant du centre de gravité G' une ligne vers le point le plus rapproché G" de A'' B", et décrivaut du point G, un arc de cercle £ F D, tel qne la surface G" D E F soit égale à A' B' G' D'. Si après cette opération, on voit qu'il serait plus avantageux d'établir plusieurs chemins que de fdire tout passer par D' G"*, ondivisera, comme nous Tavoos dit plus haut, les deux wrfaces A' B' G' D', G" D E F en nu certain nombre d'aleliers, un fracera les chemins de chacun d'eux, et des points tels que H, où ils rencontreront la ligne K" B", on
{wurra décrire de nouveaux arcs de cercle B" L, tels que es sorfaces I B" L soient égales aux surfaces I B'' K etc.
^40. Admettons maintenant que toutes les terres provenant du déblai A B G D, doivent nécessairement passer par un ou par plusieurs points 6xes F F' {fig, 57).
Si elles devaient toutes passer par le point F, il serait d'abord évident que la manière d'effectuer les transports serait complètement indiiférente. Mais si L'on peut disposer des deux points F, F", il en existera une qui donnera une dépense moindre que toutes les autres.
Admettons d'abord que la portion de déblai à faire passer par chaque point soit déterminée à priori par les circonstances locales , alors on commencera par tracer la courbe séparative de ces deux portions, de manière à ce ^l'ie la dépense de transport jus<ju'aux points F, F" soit un minimum (voir les n.*»» d32 et 433) on agira de môme par rapport à la surface de remblai et le problème se trouvera résolu (a).
r«) Il rat à remarquer que ce* deux conthe* •ppartiendrcut k 'leiix hyperbole* généralement différentes , mai» ayant touioui» '«wri ta^tr, en F, P'.
Si )a portion de débt^i à fntre passer, par chaqne pointv n*est pas déterminée à l'avance, on devra commencer par te rendre compte s'il n'y aurait pas avantage à effettoer tous les transports par un même point. Ce à quoi l'on par* viendra, en remarquant que, s'il y a avantage à passer par les deux points, les coinbes de séparation, dans les surfaces de déblai et de remblai, doivent être telles qu'il soit iiulif^ férent, pour transporter un point m de la première en unpoint n de la seconde, de passer par Tun ou l'autre de ce» pointa {fiy, 58) c'est-à-dire que l'on doit avoir
P m -i-P » = P'm -f-P' «, P an' -♦- P n'= P'fli' -I- P' «'etc.
Toutefois cette condition seule conduirait à une Infinité de solutions, mais il faudra de plus que les deux parties dedéblai et de remblai que séparent les deux branches de lacourbe soient respectivement égales, ce qui détermine le problème.
Dans ce cas, ces deux courbes séparatives appartiennent à une même hyperbole que l'on déterminera encore par tAtonnement.
Si les points P' P sont des ponts placés sur un ruîsseao,. ou des ouvertures pratiquées dans une clôture, il conviendra d'examiner s'il n'y aurait.pas avantagea en construire un nouveau dans une direction plus favorable, plutôt que de se servir de ceux existaus.
S'il n'existait ancun pont sur le ruis^ean^ on poorrait s*demander quel devrait être l'emplacement et le nombre d»ceux à établir; dans ce cas, on regarderait l'espace qui sépare le déblai du remblai, comnie entièrement libre et l!on procéderait comme nous l'avons indiqué plus haut » (voir le n <> 438) en faisant entrer dans les frais d'établissement de chaque chemin ceux occasionnés par cette circonstance particulière, ce qui en diminuerait nécessaitement le nombre.
La théorie des transports comporte des calculs d'analyse très- compliqués qui ne peuvent trouver place dans antraité élémeiilaire, les développemens dans lesqnek nous sommes entrés suffisent pour appeler l'jittention sur la maiiière dont on doit, en général, elfccdicr ce» travaux pour ne pas faire des dépenses inutiles.
Dd TbâHSPOET TEKTICii.
m* Dans tout ce qui précède^ nons avons supposé qim tes transports se faisaient horizontalement, mai^i il arrive somreot qu'ils s'eCFecluenl de bas en haut et Ton conçoit •tors qne le prix doit être augmenté. L'usage, dans ces cir* coastances, est de donner aux chemins que doivent parcourir les déblais, des inclinaisons d'environ un douzièfiie oii de (h,U80 , par mètre , quelquefois même d'an huitième ,. 00 de 0,125 par mètre. Nous adopterons la première pour établir les calculs qui vont suivre, ceux qui préféreraient U seconde n'auront que de faibles modifications k faire subir aux formules. On paie habituellement pour un parcours de 20*^, sur les rampes, le même prix que pour un parcours de 30"^, sur on chemin horizontal.
Eu parcourant une distance horizontale de 20'* sur une
rampe de un douzième par mètre , on s'élève de ^^ ==
4*667. On peut donc décomposer le prix total, alloué pour ce transport en deux parties : premièrement celle qui représenterait le prix ordinaire du parcours horizontal de 20", secondement celle afférente à l'élévation verticale àe I", 667.
En représentant par ;» le prix alloué pour un transport horizontal de 30*^ de longueur, celui payé pour 20°^ hori-
lonlalement sera évidemment \r:P^^^P ^^ >1 resleta ^ p
pour réiévation verticale de i,667; d'où il résulte qu'une élévation verticale égale à 30"^, suivant des rampes de i/it
30 1 par mètre coulerait ■T-'—Tr' -T-j' = 6p
l,Dt>7 o
Ainsi, l'usage adopté revient à dire que l'élévation verti- ^^^ considérée isolément, coûte six fois autant que le Inasport horizontal.
Ws donc que les déblais vont direclement en remblai, ^ une rampe de 4/12» on doit payer comme de coutume ^^ parcours de la distance horizontale qui les sépare, et •Ilôtier pour l'élévation verticale six lois le prix que Ton paierait pour une distance horizontale égale.
Kewarqnons toutefois que ce que nous venons de dire s'TpOieque les rampes à l'aide desquelles on s'élève se di-
( im )
r(gent en ligne <)rottQ vers le remblai, ou bien serTenI à parcourir la distance horizontale qui le sépare du déblai. Si , par exemple , prenant le cas extrême , on n'avait qu'à élever verticalement des déblais et qu'on le fit à l'aide de rampes de 4/12 , alors il est évident que puisqu'on paie f). pour un relai de 20°^ qui ne produit qu'une élévation
dd l^.ôô?, il faudrait payer (j-jt= p = 18 p j dix -huit
fols la même somme pour une hauteur de 30™ , on bien , pour ramener tout au prix du parcours horizontal, il fau« draitcomptei dix-huit fois la distance verticale pour évaluer la dépense , è l'aide du seul prix du transport boricontal.
«.142. Au moyen de cette distinction, il sera facile d'érainer le prix du transport dans tous les cas possibles , on plutôt la distance par laquelle on doit multiplier le pris donné du parcours horizontal, car c'est elle qui variera et qui introduira dans les formules la circonstance d'élévation verticale, et non le prix qui sera toujours celui du parcours horizontal.
Admettons qu'il s'agisse ifig» 69 ) de transporter le point d au point B. soit U la différence de niveau de ces deux points, D la distance borizoulale qui les sépare. Si l'on a :
•H 1 i.°-K*=^'7^1a ligne d R aura précisément rincli-
naison adoptée ponr les rampes et représentera le chemin à suivre, le prix de transport sera donc , en meltaot pour D sa valeur = 12 H :
—r représente le prix du parcours d'un mètre , consé-
quemment 18 H exprime la dislance par laquelle il faut multiplier ce prix, dans cette première hypothèse).
