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K0UT£5 ET CHBMinS.

237. Infitance des variations de y dans les formétt -qni donnent les surfaces de déblai et de remhlai, «.<» 216.

Lorsque y varie de centimètre en centimètre, la qoaii* tilé e est égale à 0,01 et la quantité p, donnée par le tableau précédent, en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche, est généralement fort petite. lien résulM que dans la compositinn ( n'° 210 ), d*une suite de stirf»ces, à l'aide d'une première Du, ta valeur de p a peu «l'influence, et comme dans Ce Calcul, on peut se conieoter d'une exaclilude poussée jusqu'aux centièmes, il ii*y aon point d'inconvéniens à omettre le terme en p; dans la coaposition d'un certain nombre de ces surfaces qirf sennt iilors :

^our y = y» , D = Do ,

y = yi -4- 0,01 , D = Do -*- y y = yt -i- 0,02 , D = Do X 2?

y = yi ^ 0,01 X n, D = Do + isf

il s*agit de déterminer quel nombre de surfaces. Tenant après Do, on peut ainsi calculer sans commettre d'erraics sur les centièmes. La véritable valeur de D est :

D^Do-l-ng-H-n-îî^p

Il faut donc que le lerme en p soil plus petit que oo cefltième pour que nous puissions nous coutenler de B.-4-«f. La phis grande valeur de n sera donc donnée par résaltté

biiivaiitc i

u^^pz^ 0 01

d'où nous âC'duison i :

ea nreUanI dans cette expression, la vnteur de p, donnée par le tablean précédent pour chaque formule, on connaitra le nombre de surfaces qne Ton peut ainsi calculer, sans commetlre d'erreur sur les ceulièuies.

Far exemple , dans le cas de la formnle (4)^ n.** 235, et pour « ::=o , p est égal k OfiQQi , on a donc

ainsi on ponrrait, sans erreur ^ar les centièmea, calculer les d4 surfaces supérieures à Do, c'est-à-dire celles correspondaules à

y = yi , y s yi + 0,01 , y =yt -4- 0,02, y ss ^i -«- 0,03 • • . • y = yi '^ 0,14

et eo outre 43 sarfaces inférieares» correspondantes à

y = ya y B yi -^ 0,01 , y as yt — 0,02 , y sa y — 0,03. • • . y =f yi — ; 0,13

23S. La propriété précédente, pen importante pour le calcul approché des surfaces, le de? ientbeaucoup quand on vent avoir des tables abrégées.

Supposons, en effet, qu'au lien de faire varier y de centimétFe en ceotiniètre, nous le fassions varier de déci' mètre en décimètre, et que d'après la méthode dtii n « 229 Dous calcnlions toutes les surfaces correspondantes h y^o y = 0,10, y =: 0,20.*..,on fait alors « = 0,10 dans les formules du n <> 235 ; avec une table ainsi oonslruiie, et an nio>en de la différence qui existe entre deux surfaces consécutives, on peut avoir la surface coi'respondanle h. one valeur quelconque de y.

Ainsi, s*agit-il d'avoir la surface de déblai correspop* dante à une cote en déblai : y == 0,43, et h une incîi* naison en rampe dr = 0, 03.

Ou posera d'abord pour y— 0,40, 3 317, voir U mo' dèle de tables n.» 272 , ensuite q X 0,03=0 1839 et Ton aura, pour la surface cherchée . . . • 3,5Q.

299. D'APBts ce que nous avons dit pour les formols (1), on pourrait roême se contenter de calculer les smfaces de t6 eu 26« niais la muUipUcation des différences par un nombre de deux chiffres, aurait retardé la niaicbe et Ton parvient d'ailleurs à des tables assez abrégées ci calculant de 40 en iO; au reste tontes les formules ae donntint pas une limite aussi étendue que la- preroîère, d sur les neufs systèmes qui comprennent tous les cas ilja a même trois qui ne permellent pas de calculer de dix n dix ; pour celles-là , on fait alors varier y de centimètre en centimètre, jusqu'à ce que l'on paisse reprendre b narche par dix.

Il est facile de reconnaître, au premier cw^ d'(Bil ^ si les formntes permettent pu non de ne calcalcr des surfaces que de dix en dix^ il faut en eCFet, poor qs'oii

4 + puisse en agir ainsi, que TexpressioD n 5-=

-T^H[ — '-^ — soil an oioias égale à 6|5Q , d'où Ton dé-

doit , en posant :

±^ ^ 2»?i = 5;go* = 30,25 , p = 0,000666

ainsi la condition ponr aller de dix en dix, esl-p < 0,000666. Le tableau des valeurs de|> indiquera les cas m Ton pourra suivre cette marcbe

240. Inffuenee des vafiationt de «, dam Us formidtt qui donnent Us surfaces de dibUt et de remblai, o.* VS-

§i Ton éLtit obligé de calculer des tables de surfaces en ne faisant varier a qne de millimètre en millimètre, elles seraient fort étendues et Topératiori deviendrait trè»-loague. Mfifs nous allons voir qu*on peut encore les réduire, sans apporter une erreur de plus de un centième^ dans les résultats obtenus.

Supposons donc que y demeure constant et cherchoos l'influence des variationji de â;^ prenons d'abord la formsli du n.*' 228.

( »3 ) que je mets sons la fomie :

en-Csisant croître j? de «\ quantité qne nons snpposeroiîs égale à un millimétré, par exemple , la surface correspondante à cette noufelle inclinaison^qoe je représente par Pi, sera donnée par la formule:

on aurait de même, ponr un accroissement de ni

Dni = A -r — - — rd*oà nous déduisons :

Dni

En calfttlant ainsi les «différences, nous aurons pour la ''aleur des surfaces correspondantes à*,a?-l-î, «-♦-2»,...

D«D, Di = DH-I{i), I>» = D-*- I(2i} D(ia}=:l>4.1;fc

remarquons que les différences des surfaces, correspoadanles aux différences de a? , Di — D, Dsi — I)i, Dis— DS etc. . . . vont en augmentant; si elles étaient constantes oi aurait :

(1) D(ni)5=:D-*-nI(i)

Comme toutefois ces différences sont fort petites, il s'ensuit c*u*on peut calculer par la formule précédente, m cerlain nombre n de surfaces, sans commettre d'enar sur les centièmes.

La formule (i) donnera donc une taleur approchée^ et la formule

D ftî = D -4- I(ni)

donnera la Talear exacte. La différence entre ces deux valeurs estr

I(ai)— »I{l)=t=Att«( -73 TT-ï rr

^^ ^' \ (d — ûf) (d — ar— nt)

on encore

73 ma' ^ — TTÂ Tl (1— jf) (1 — a? — ») (4 — «— ut)}

il faut que cette différence soit plus petite on tont an pl« égale à un centième. Posons donc Tégalilé :

de laquelle nous déduisons :

celte Yaleiir de n devient d'autant pins peUla que ( i— « > diniinne et que K au^çmenle. Four nous mettre dans le cas le ptos défavorable, prenons pour A lapins grande valenr qu'il paisse atteindre dans des tables poussées jasqu'â y = 3.*", dans une roule de 12*^ de largeur; et, pour (l^x), la plus petite, dans des tables poussées jusqu'à «=0,10; alors A=40 . 50 1—^=0,90, et

fi = 0,40 ^43 environ

ce qui prouve qne Tou pourrait se servir de la aiéme différence I (i) pour le calcul de treize surfaces supérieures, et de quinze inférieures, sans commettre d'erreor sur les centièmes.

Lorsqu'on aura calculé les surfaces correspondantes à toutes les inclinaisons depuis o, jusqu*à 0,40, en procédant de cinq millimètres en cinq millimètres, on pourra donc écrire les différences de deux surfaces consécutives, et s'en servir pour calculer celles correspondantes aux inclinaisons que les tables ne donnent pas immédintement. Par exemple, supposons qu*on veuille avoir la surface de déblai correspondante à y=; 0,55 et à dr=0,027, l'inclinaison étant en rampe, on fera le calcul comme ci-dessous:

( Voir le modèle de tables construites de cette manière à la an de l'ouvrage, n.<* 272 ).