CHAPITRE VII

Plan incliné mobile. — 86. Cireomlance* dan* letguelle* il cet tur le point rie glissa- tur une matte gui elt prettèa contre lui par de* force* donnée». — 87. Le coin. — 88. Son angle ne doit pat excéder l'angle limite de réiittance. — 89. Circonstance* dam laquelle* le coin ne peut être enlevé par aucune preuion de la moue dam laquelle il eit enfoncé par ion do*. — 90. Exemple de l'emploi du eottt.

Nous supposerons maintenant mobile le plan incliuê que nous avons considéré comme fixe jusqu'ici. La force nécessaire pour le maintenir en repos est égale et opposée à la résistance qu'il supporte; c'est-à-dire qu'elle est égale àla force ne (fig, 58) et suivant la direction Sa.

86. Supposons que toutes les forces qui agissent sur unu masse M (fig. 61) ont pour leur résultante une force agissant dans la direction P Q. Prolongeons P Q jusqu'en m, et prenons Q m pour représenter la force résultante. Une force représentée eu quantité et en direction par mQ maintiendra dès-lors le plan en repos. Menons Qn perpendiculaire à B C; les forces représentées par m » et nQ sont alors équivalentes k celles représentées par m Q. Donc elles maintiendraient le plan en repos. Mais s'il repose par sa base A B sur un plan horizontal, la force verticale mn sera détruite par la résistance de ce plan. Pour maintenir le plan incliné en repos, tout ce qu'il fant dès-lors , en supposant le plan A B sans Mécanique indmirielle, i™ pari. g

frottement, c'est d'appliquer en », derrière lui , une force nn', représentée en grandeur et en direction par nQ.

L'angle que PQ fait avec la perpendiculaire QR, à la surface du pian, sera toujours égal à l'angle limite de résistance, quelle que soilln force n' n appliquée derrière le plan, pourvu que la force PQ soit détruite par la résistance de quelque masse fue dont M forme uno partie, ou contre laquelle elle aboutisse; et pourvu que la direclion de nQ soit dam l'angle, limite de frottement en Q. En effet il est évident que si la direclion de nQ eût été dam la limite de l'angle de résistance, cette force eût été complètement détruite parla résistance de la masse M, en sorte que F Q et nQ eussent clé dans la même ligne droite, et qu'aucune réaction du plan AB sur lequel pose le corps n'eût été nécessaire à l'équilibre; mais si cette force nQ est en dehors de l'angle limite de résistance en Q, en sorte que la résistance de H soit insuffisante seule pour le soutenir, il ne faudra que la plus faible réaction du plan AU pour la rendre suffisante, ou pour produire avec nQ une résultante tnQ, qui soit juste dans la limite indispensable.

Si la force n'n s'accroît assez pour que la force m Q devienne plus considérable que toute résistance que la masse AI, ou celle dont elle fait partie, puisse fournir, l'équilibre sera détruit, et le plan se mouvra dans la direction m Q ; la réaction du plan ABcessera, et par l'action de la forcenQ, dont la direction est supposée dans l'angle limite de résistance, et qui est la seule qui agisse maintenant sur lui, le plan glissera sur la surface de M, jusqu'à ce que sa base revienne de nouveau en contact avec le plan AB. Quand elle est employée de cette manière, l'action du plan est précisément semblable à celle du coin.

87. Le coin. Soient M et M' {fig. 62;, les parties d'un solide pressé sur les faces d'un coin CAC, par des forces égales agissant dans des directions PQ et V'Q'. Prenons Qm et Q' m' pour représenter ces forces, et décomposonsles en mm, Qn, et a' m", Qn'. Parmi ces composantes, nm et n'm' sont égales et agissent sur le coin en directions opposées. Elles se détruisent donc l'une par l'autre. Les forces Qn et Q'n' sont détruites par «ne force R, appliquée perpendiculairement sur le milieu du dos du coiu et égaie à leur somme. D'après l'article dernier, on voitque les directions de PQ et

P'Q' feront, dans ces cire on stances, arec la perpendiculaire aux surfaces AC et A' C, des angles égaux aux angles limites de résistance; de plus, que lorsque les forces mQ et m'Q' Tiennent à excéder les résistances en M et M', le coin glisse en avant, et produit une séparation nouvelle du solide dans lequel il entre.

88. Revenons au cas d'une masse amenée en contact avec la surface d'un plan incliné par la résistance d'un obstacle insurmontable. Soit RQS ifig. 63), un angle égal a celui dm frottement. Menons Q P parallèle a la hase du plan. Alors si l'angle RQS devenait plus grand que RQP, la direction de mQ est dans l'angle de résistance, et ancune force, quelque grande qu'elle soit, appliquée an dos du plan, ne peut le faire mouvoir sur la masse M.

Or l'angle R Q P est égal à l'angle A C B. Le plan ne peut donc pas se mouvoir si l'ongle limitede résistance excède celui qu'il fait avec la verticale.

89. Supposons maintenant le coin poussé, et considérons la pression que la substance dans laquelle il est poussé doit exercer sur ses cOlès pour le chasser dehors.

Soit PQ ifig. 64), la direction de la résultante des forces agissant sur la face AC, laquelle étant propagée à travers la masse du coin tend à faire glisser la face A C sur la surface avec laque''e elle est en contact. Menons QR perpendiculaire i la surface en ce point. Alors si P QR n'est pas plus grand que l'angle limite de résisiance, aucune force que la masse dans laquelle le coin est entré puisse avoir pour le chasser, n'en viendra à boni.

Quoique l'on comprenne très-bien comment une substance dans laquelle un coin est enfoncé, puisse opposer une rètiiiance en tous sens à son mouvement en avant, il est difficile de comprendre comment cette substance exercerait un eûort pour l'empêcher, et pour le chasser, autrement qne suivant une direction perpendiculaire aux cotés du coin, surtout si elle est d'une nature fibreuse.

PQ étant alors supposé perpendiculaire à AC, l'angle CAC* sera égala PQR. Dans celle hypothèse, donc, si l'angle du coin n'esl pas plus grand que l'angle limite de résistance, il restera fixé ferme dans la subslsnce où il est en-

f ° 90.' Celte propriété du coin le rend éminemment utile en

cbarpenteria ; l'application suivante «SI uns de selles trèsnombreuses qu'on en fait. Supposons qu'on veuille réunir deux pièces de charpente A B et A'B' ( fig. 63), et qne par raison d'économie, ou pour éviter la ruine du bois par la rouille, on ne veuille pas se servir de boulons en fer ; façonnons dans chaque pièce deux mortaises représentées par oce'a' etbcc'b', de grandeurs égales a leurs petites extrémités. Réunissons les pièces, ces extrémités des mortaises coïncideront. Ayons deux pièces de bois dur, façonnées comme <*c&(flg. 66), dont la face a eb corresponde à la mortaise de la fig. 65, mais dont l'extrémité supérieure a soit un peu plus étroite que- s. Plaçons ces deux morceau* dans les mortaises, les forces correspondantes coïncidant. L'espace qui restera enlr'elles aura la forme d'un coin, à raison de ce que le dessus en est pins étroit que le dessous. Chassons-y un coin de dimension convenable. Si l'angle du coin est assez petit, aucune force exercée sur les côtés ne pourra le chasser ; conséquemmem aucune force possible ne pourra séparer les deux pièces de charpente. Cette méthode est en usage en Amérique pour assembler les pièces des immenses charpentes des ponts de bois qn'on y construit.

91. Il n'est pas d'instrument dont les applications soient plus nombreuses que celles du corn. Les clous, les alênes, les aiguilles, les huches, les sabres, etc., etc., ont leur iclion fondée sur le principe du coin. Comme exemple de la grande puissance du coin, on peut dire qne les vaisseaux, quand ils sont sur chantier, sont aisément lancés a l'aide de coins qui sont chassés sous leurs quilles.

Un ingénieur qni avait construit une haute et pesante cheminée ponr un fourneau, s'aperçut, après quelque temps, que par la faute des fondations elle commençait a s'incliner. Il réussît à la remettre d'aplomb en chassant des coins sous l'un de ses côtés (1).

(I) La puissance énorme do coin tient sort ont à ce qu'il soit enfoncé par impact. La résistance sur set cûtés est de la nature de la pression; et l'on verra, dans la suite de cet ouvrage, combien est grand le moment d'impact pour une force do choc, quelque petite qu'elle soit. La séparation momentanés de la n par la poussée. en avant in coin.

92. La résistance an mouvement d'nn coio dépend nonseulement de l'angle a son sommet, mais de la profondeur à laquelle il est entré , et conséquemment de l'étendue de la surface par laquelle il est pressé ; elle dépend en outre de la quantité dont les particules de la masse sont déplacées. En effet, a raison de leur élasticité, ces particules tendent à se rapprocher avec une force proportionnelle II leur déplacement. C'est par cette raison qu'un coin est enfoncé avec difficulté, quand il est entré profondément. *

Le coin A CC [fig. G7) étant entré par l'action de la force P, jusqu'à, une certaine profondeur dans la masse MN; supposons qu'une seconde force Q lui soit appliquée, sa position du haut restant d'ailleurs la même. Cette force Q pressera la surface A C contre la masse entre M et M', et si elle est suffisante, elle éloignera cette masse, en sorte que le sommet du coin rencontrera une nouvelle surface M'N', parallèle a MN, et le fera entrer ainsi que l'avait fait précédemment la force P. Si au lieu d'agir séparément, les forces P et Q agissent ensemble, l'effet sera précisément le même, leurs directions étant perpendiculaires l'une à l'autre. Telle est la théorie de la scie ordinaire. Elle est formée d'une série do coins de ce genre déconpès sur le bord d'une feuille d'acier mince, et tend continuellement par son poids à enfoncer les pointes de ces coins dans la substance où on la fait travailler, tandis que son mouvement longitudinal présente continuellement une surface nootelle à leur action. Quand les dénis sont petites, les portions de matière entre chaque système de deui dents sont petites, et la force nécessaire à leur mouvement est conséquemment faible. Aussi les scies à grandes dents s'emploient' elles pour les substances tendres, et celles à petites dents pour celles qui sont dures.

La. plupart des instrumens tranchans agissent comme la scie; les aspérités de leur tranchant, formées par l'aiguisage, agissant comme des coins. Les fans, les couteaux, les sabres, e 'c., sont de ce genre; seulement les dents du tranchant iont difficiles à distinguer à la vue simple.

0!î. Dans le sciage des pierres, ou ne se sert que d'une simple lame de mêlai doux; les petites particules angulaires de la pierre, ou la poussière de quelque pierre plus ente que l'on y mêle par l'action de la lame métallique, dans

sou mouvement de va et vient sur la pierre, agissent alors comme autant de coïdb. Les pierre* les plus dures se scient par ce moyen, et pour le granit on emploie l'émeri.

Pour tailler le verre, on mêle de l'émeri à l'eau et l'on travaille avec nne roue à bord tranchant ayant un mouvement rapide ; pour la taille des pierres précieuses, c'est de la poussière do diamant que l'on mâle a l'eau sur la pointe d'une tige de fer doux tournant sur son aie avec une grande ?Itessa. Les cristanx ou les^erames a. tailler, sont alors amenés contre l'outil qui les coupo avec une étonnante facilité, et ce b raison des petits coins que fournissent et la poussière employée et celle qui se forme par la taille.

Les lime» sont ordinairement des barreaux d'acier, dont les surfaces sont armées de petits coins, et dont l'action est précisément la même que celle de la scie.

Le rabot n'est autre chose qu'un coin qui, au lieu d'avoir des dents comme une scie, dans une feuille de métal mince, est d'une grande épaisseur et a son axe faiblement incliné; ce qui fait que le tranchant pénètre dans la substance a raboter. Son action est précisément analogue à celle de la dent d'une scie.