CHAPITRE VL
Pion incliné. — 79. Equilibre d'une motte placée sur -tir plan incliné et qui n'eit supportée par rien autre que. le rétittance du plan. — 80. Equilibre d'une motte tupportêt en partie par une autre force agitiant twieanf une direction quelconque. — 81. La meilleure direction de cette force pour qu'elle toit lur le point de donner du mouvement d la moue lupérieure. — 85. Equilibre d'un cylindre tur un pian incliné, — indépendant du frottement. — La roue de voiture.
79. Supposons (fig 56) qu'une masse pesante dont le centre de gravité est G, soit placée sur un plan incliné AB ; et qu'on demande de déterminer dans quelles circonstances cette masse sera juste au point de glisser en bas du plan.
Menons la verticale GM : toute la pression de la masse en bas peut être supposée agir dans la direction de celte ligne ; et cette pression se trouvera complètement détruite par la réaislance delà surface du plan, quand l'angle G PO, que GP fait avec PQ perpendiculaire à la surface du plan, est égal à l'angle limite de résistance (art. 73). Or il est aisé de voir que l'angle GPQ est égal a l'angle BAC. Une masse de substance quelconque sera donc supportée sur un plan incliné, sans glisser, quand l'inclinaison du plan est égale à l'angle limite de résistance des surfaces en contact.
80. Si la masse, ontre la résistance de la surface du plan, est du tenue (fig. 57) par «ne force égale au poids N, et agïsant dans la direction QP;on peut dêter mi lier dans quelles ■îrconstances elle restera en repos, en prolongeant PQ jus- [u'à sa rencontre arec la verticale G II, passant par le centre le gravité en a, ad et ab étant pris pour représenter les poids M et N. Puis complétant le parallélogramme abcd, de manière à ce qu'il ait ad pour diagonale, ac représentera la quantité et la direction de la force nécessaire pour supporter les deui autres en équilibre (art. 21). Si cette direction n'est ■ as inclinée sur AC, au-delà des limites de résistance, la Force nécessaire sera fournie par la résistance même du plan, e I le corps restera en repos. Si elle est au-delà de celle limite, la résistance du plan sera insuffisante pour suppléer la orce nécessaire à soutenir les denx autres, et la masse descendra.
Si la direction de la force ac est vers le haut, la tendance de la masse sera pour glisser vers le baul du plan, au lieu d'en descendre : et pourvu que a c soit inclinée dans cette direction, juste à la limite de résistance, le mouvement sera sur le point d'avoir lieu.
SI- Voyons maintenant dans quelle direction la force 71 doit agir, ponr conserver l'équilibre dans ces circonstances, el n'être que la moindre force possible. Prenons ad [/lg. 58) comme précédemment pour représenter le poids de la masse, el menons ac dans la direction limite de résistance en haut (art. 73). Par à menons d b parallèle à ac. Alors la ligne ab menée de a jusqu'à la rencontre de db, représentera en quantité et en direction nne force telle qu'elle maintiendra juste l'équilibre (art. 21); car menant d e parallèle hab, celle force et la force ad auront pour résultante ae, qui se trouve dans la direclion où elle est complètement détruite par la résistance.
Or, de tontes ces lignes qui peuvent Sire menées de a sur bd, celle qui lui sera perpendiculaire est la plus courte. Celte ligne esl donc dans la direction de la moindre force et la représente en grandeur. C'est dans celle direclion qu'une force donnée, la force d'un cheval par exemple, s'eserceraii avec le plus d'avantage pour tirer la masse en haut.
82 II y a une aulre condition nécessaire à l'équilibre, c'esln-dire qu'il faut que la résultante des forces agissant sur la
messe passe par celle portion de «a surface KL qui est en contact avec fe plan (art. 55). Elle serait évidemment sur le point de se renverser si a c prolongée passait en dehors des points K ou L.
83. Si le corps ne repose sur le plan que par un seul point, la résultante doit passer par ce point. Supposons que ce soit on cylindre | fig. 59) dont te centre soit G, et qne la force H qui lui est appliquée soit précisément celle qui le main lient es équilibre. Alors, puisque deux des forces maintenant le cor pi en repos, savoir la force N et le poids de la niasse elie-mâmi du corps, passent par le point G, la résistance qui est égale i leur résultante, passe par le même point (ait. 32). Mais cettt résultante passe aussi par le point L ; si donc l'en joint G L, elle agira suivant celle direction. Pour peu que la force IS s'accrùl , la résultante serait entraînée dans l'angle L G F ; et si la masse était mobile autour de G , elle roulerait sur le plan. LG étant un rayon du cylindre, est essentiellement perpendiculaire au plan avec lequel il est en contact au point h. Dans ce cas particulier, sa résistance s'exerce donc dans une direction perpendiculaire à sa surface; en sorte que les conditions de l'équilibre ne sont pas affectées par le frottement des surfaces. Ainsi la roue d'une voilure, s'il n'y avait pas d'obstacle à sa marche el pas de frottement à son axe, pourrait remonter un plan incliné par le moyen de ta moindre force, pourvu qu'elle fût un peu plut grande cependant qne celle nécessaire à la maintenir sur ce plan.
84. Prenons Ga pour représenter le poids de la masse, et menons a c parallèle à G P, el c* parallèle à a G. Alors &b représentera la grandeur de la force N nécessaire pour déterminer l'équilibre, sur la même échelle que Ga représente le poids el G c la résistance.
85. Si G P {fig. 59! est parallèle a A C, a C coïncidra avec oL; et à raison de la similitude des triangles G oL et A CB, si, dans ce cas, l'on prend A C pour représenter le poids de la masse supportée, B G, 4 la même échelle, représentera le poids N nécessaire a la supporter, et A B la résistance.
85. Si G P , fia. 60) esl parallèle «r la base A B du plan incliné ; B C étant pris puur représenter le poids de la masse G, A B représentera celui du poids N, k raison de ta similitude des triangles G ac et ABC.
Dans le premier cas, divisant AC en autant 4'unilë* de
longueur qu'il y a d'unités de poids dans G, il y aura autant d'unités dans le poids G, qu'il y en aura dans BC; dans le second cas, divisant BC en autant d'unités qu'il y en a dans le poids G, la valeur de H sera déterminée par le nombre de ces unités dans A B.
