CHAPITRE XVH

il8. Stabilité des masies dont les bases sont des surfaces plane*.

— 219. Stabilité quand les bases sont des surfaces courbes,

— 220. Quand la surface sur laquelle pose la barre est une surface courbe. — 821. Sur des surfaces de non

218. Stabilité des corps pesans. — Si un corps maintenu 6ri repos dans une position quelconque par certaines forces qui lui sont imprimées, est mu hors de cette position par l'action d'une autre force, ce peut être une question de savoir si, quand cette dernière force est oléo , le corps, en vertu des forces qui lui sont imprimées, tend à retourner vers sa première position, ou à s'en Éloigner.

Pans le premier cas on dit qne son équilibre est stable^ et dans le second, qu'il est instable.

La masse ABCD est en équilibre dans ses déni positions (flg. 175 et 176). La verticale menée par le centre de gravité G, passant, dans l'une par le point H de la base du corps , et dans l'autre par son angle À', la résultante des

£>ids de chaenne de ses parties étant, dans les deux cas, pportée par la résistance qu'oppose la surface sur laquelle repose le corps.

Cependant il y » celle différence importante , entre ces deux positions, que la première est une position d'équilibre stable, puisque si le corps s'incline dans une position quelconque entre cette première et la seconde , il tendra , par l'action de son poids , à y retourner, et qu'il y retournera en effet si on l'abandonne à lui-même; tandis que dans la seconde position , pour peu que le corps se meuve , il tendra évidemment à s'en éloigner, et s'en éloignera effectivement. s'il est abandonné à lui-même, jusqu'à ce que cette révolution le ramène enfin a quelque position stable.

Il est peut-être impossible , dam la pratique , de placer un corps exactement dans la position de la fig. 1T0. S'il esl aussi abandonné à lui-même , n'étant pas dans cette position , ce n'est pas à celle-là qu'il reviendra , eL il s'en éloignera continuellement , an contraire. Alors , puisque le corps ne peut être artificiellement placé dans une position d'équilibre instable, et que placé hors de celle position il ne la recherche pas de lui-même, il esl impossible qu'il toit toujours dans une telle position de manière à y retter. Ainsi, s'il n'y avait pas certaines de ses positions où l'équilibre fut slabïe, le corps serait perpétuellement dans un état instable.

21 9. Si A C se trouve perpendiculaire au plan sur lequel le corps repose, l'angle GAC sera celui dans lequel on le fera tourner entre sa première et sa seconde position; on ce sera son inclinaison dans sa seconde position. Or l'angle GAC esl égal a l'angle AGH. Le corps, pour être amené de sa première à sa seconde position d'équilibre, doit, par conséquent, être incliné suivant un angle égal à celui que tait la ligne joignant son centre de gravité avec l'angle autour duquel on le fait tourner, et la verticale passant par son centre de gravité.

Or, plut le centre de gravité du corps est ileei, moindre est cet angle. Si doue le centre de gravité était en g, au lieu d'être en G, l'angle eût été A g U , au lieu de AGH, et Ton est évidemment joindre que l'autre. II s'ensuit dèslors que plus le centre de gravité d'un corps se trouve élevé au-dessus de sa hase, moindre est l'angle suivant lequel on peut l'incliner sans arriver à une position d'équilibre instable.

Si )£ corps incliné ou-dcîi de sa position d'équilibre instable est abandonné k lui-même , puisqu'il s'cloignr de celle position , il se renversera évidemment.

Une légère inclinaison d'un corps haut et debout suffit donc pour le renverser, surtout s'il est chargé par en haut de manière à exhausser son centre de gravité. Une lour élevée se renverse facilement ; un homme de haute stature repose moins ferme qu'un petit homme sur ses jambes; un véhicule dont le poids esl en haut, ou pesamment chargé en haut, verse facilement.

' 820. Si la partie sur laquelle repose nn corps est unesur-

face courbe, il est nécessaire à son équilibre, «a une position quelconque , que la verticale de son centre de gravito passe, dans celte position, par le point où le corps est eu contact avec la surface qui le supporte (art. 53). Ceci étant, si le corps est mu hors de sa position, de manière à se trouver en contact avec la surface de support par quelqu'autre point A' (fig. 17'), la verticale G H du centre de gravité passera par ce point, ou s'éloignera du coté autour duquel le corps a tourné, pour venir vers celui sur lequel il tourne. Si la verticale, dans la seconde position , passe par le point de support, aussi bien que dans la première, le corps restera en repos dans cette seconde position ; s'il ne le fait pas, il retournera de celte position dans la direction tert laquelle se trouve le centre de gravité ; c'est-à-dire il retournera cert sa première position , ou s'en écartera, suivant que le centre de gravilé, par rapport au point do support, s' approchera on s'Hoignera de celte position. Dans le premier cas l'équilibre est stable; dans le second il est instable.

Maintenant il est évident que G, par rapport à A', se rapproche de la première position du corps ou s'en éloigne, suivant que A G est moindre ou plus grand que AO; cette condition détermine donc le caractère de l'équilibre. Si AG est moindre que AO, il est stable; s'il est plus grand, il est instable.

Si la masse, comme on le voit dans la figure , repose sur un plan horizontal , la verticale du point de support est perpendiculaire à la surface du corps en ce point.

221 . Supposons que la partie de la surface du corps qui repose snr le plan soit une portion de sphère. Alors, puisque les lignes A 0 et A'O sont perpendiculaires à la surface de la sphère aux points A et A', le point 0 où elles se rencontrent en est le centre. Il s'ensuit dès-lors que l'équilibre d'une telle masse est stable ou instable, suivant que son centre da gravité est en denoui ou en demis do centre de la sphère dont sa base est un segment.

Si le centre de gravité de la masse coïncide avec le centre de la sphère, l'équilibre ne sera ni stable, ni instable, et il sera dit indifférent. Dans quelque position que le corps soit mu, la verticale de son centre de gravité passera par son point de supp orl; il restera donc en repos dans celte posi-

lion et n'aura pas de tendance h se rapprocher on 1 s'éloigner de nouveau de la position précédente.

Donc si le corps a non-seulement une base spherique, mais s'il est une sphère complète, son centre de gravité coïncidera évidemment avec son centre géométrique ; et par conséquent, dans quelque position qu'il soit placé, il y restera indifféremment . Biais si la partie supérieure était un cylindre, et que la partie inférieure fut une sphère, alors, pourra qne le premier fut assez élevé pour amener le centre de gravité de l'ensemble au-dessus du centre de la sphère qui forme la partie inférieure, l'équilibre serait instable, et le corps ne pourrait se maintenir en repos sur sa base sphérique. Si le cylindre pouvait être choisi de grandeur convenable pour que le centre de gravité coïncidât avec le centre de la sphère, l'équilibre alors serait indifférent; si on le prenait d'une hauteur telle que le centre de gravité fût au-dentmt du centre de la sphère, l'équilibre alors serait ttable.

Si la base du corps est une hémisphère, et la partie supérieure un cône droit dont la hauteur soit égale au rayon de la sphère multipliée par la racine carrée de 3, le corps restera en équilibre sur un point quelconque de sa base hémisphérique.

222. Pour déterminer le caractère de l'équilibre d un corps, en un point quelconque de la surface sir laquelle il repose, on n'a qu'à le déplacer à la plus petite distance concevable de cette position ; car alors, quelque faible que soit le déplacement, si son équilibre est inslabb, il s'éloignera continuellement de sa première position ; s'il est stable, il y retournera. Donc tout ce que nous avons d/t, par rapport au caractère de l'équilibre en A, est *rai, quelque près que A' «il pris de lui.

Maintenant, quelle que soit la forme de celle partie de m sur race sur laquelle un corps puifse reposer ; on peut imaginer une sphère de telle dimension et dans une telle position qu'elle coïncide exactement avec celle surface, immédiatement autour d'un poir-i qui y serait donné.

Ainsi l'on peul trouer une sphère qui coïncide exactement avec la surfa" '""nèdialcment environnant le point A. Celle sphère ~ nomme la sphère de courbure, el son rayon le rayon j- courbure; la longueur du rayon de courbure peut, eu tout cas , être exprimé* par certaines formules

Mécanique induitrielle, V« pari, U

algébrique!. Or si À' est immédiatement adjacent à A, il se trouve dans la surface de la sphère de courbnre, en ce point; elAO, A'O sont perpendiculaires à la surface de celle sphère, dont O est le centre par conséquent. La proposition générale peut s'énoncer ainsi qu'il suit :

« L'équilibre en un point quelconque sur lequel repose le corps, est stable ou instable, suivant que le centre de gravité est en deirou* on en detim du centre du cercle de courbure en ce point. » -

223. Si le corps, au lien de reposer snr un plan horizontal, repose sur une surface d'une inclinaison quelconque, ou sur une autre surface courbe (fig. 178), la verticale A'O du point de support, dans la seconde position, ne sera pas plus long-temps perpendiculaire à celle surface en ce point, et O cessera d'être le centre de la sphère de courbure en A. D'ailleurs, comme précédemment, si G s'approche plus de A que de O, le corps abandonné k lui-même roulera en arriére dans sa première position; s'il s'en éloigne, il roulera plus loin encore Aon de sa première position. Si donc la surface snr laquelle repose le corps est convexe, comme elle l'est dans la fig. 118; alors le corps roulera en haut par son propre poids, on contrairement fe la direction dans laquelle agit le poids. Puisque l'équilibre est stable on instable, suivant que A G est moindre ou plus grand que AO, il devient important de déterminer la grandeur de A O.

Supposons A' excessivement près de A, et menons C A' e perpendiculaire à la surface de chaque corps en A'; C et c seront les centns des sphères de courbure des deux surfaces en A et a. Or, f uisque le corps est excessivement peu infléchi de sa position d'équilibre, A et a sont très-près de coïncider, et la figurt formée par les lignes AC, ac et C e, peut être considéré» comme un triangle complet. Ceci étant, on a, par la propriéiè des triangles semblables,

Ce: CA'::CA:AO Or C c est égal a la somme des rayons de courbure en A et a; car puisque C et c sont !»s centres des sphères de courbure en A et a, A' étant très- p. ^ de A et a dans les deux sphères, il s'ensuit que C A' et c A' ] ei rayons des sphères, c A' est aussi le rayon de courbure en«, olCA ee lui eu A. Ainsi tous les termes de la proportion ci-d^ M , ls MDt

«MBS, à l'exception du dernier ; on peut donc l'en tirêr par l> iimple opération arithmétique nommée règlede trots.

Si la proportion est mise en équation et réduite, on trou- «ra le simple rapport suivant entra A 0 et les rayons de mibme en A et a; ces derniers étant représentés par R et r :

A 0 II r

Ï2*. Une partie de la surface d'un corps peut être disposée oa manière que la verticale de son centre de gravité ne poisse, m aucune position du corps reposant sur un plan horizontal, passer par son point de support. Si l'on pouvait former une surface qui se replierait ainsi dans elle-même, de Oimère à envelopper complètement on a contenir ane masse wlide, on qnelques-unes de ses parties; alors une telle masse, quand elle serait placée sur un plan horizontal, serait dans "a état de non repoi perpétuel; elle roulerait constamment tu elle-même, et le problème du mouvement perpétuel serail résolu. Mais il n'existe pas de surface de ce genre. Une «irface possédant les propriétés dont nous ?enons de parler, «f essentiellement une surface spirale ; elle ne peut se replier dans elle-même et ne peut complètement contenir autu !f, mas * e solide ou quelques-unes de ses parties.

D ailleurs une telle surface ne peut que faire parfis de la soilace d'an solide , et tant qu'elle est supportée par un point de celle portion de sa surface, le solide continue a tourner.

-'S- Une surface peut être engendrée dans ces conditions étirant une feuille d'un cylindre. Tenant la partie déroulée constamment déployée, son bord décrira dans l'espace une surface spirale, appelée volute.

ABo (/s 9 . 179) es t le cylindre générateur dont la surface jjpPa été tirée. La propriété caractéristique de la surface o p P, est qu'nne ligne quelconque p a menée perpendiculairement en un point quelconque p sur elle, si on la pro- 0B ge assez, touche nécessairement la surface du cylindre, puisqu'elle est perpendiculaire à la surface de la spirale en * point, étant perpendiculaire au plan horizontal qui i'u l'auto langent.

Maintenant , puisque la verticale PA fouefte la surface du mare, elle ne peut pas, quand on la prolongerait, pas-

ser par un .point dont celte surface. Si par conséquent 1»

masse est chargée de manière qne son centre de gravité G puisse être dans le cylindre générateur, alors la verticale an point de support ne passera jamais au centre de gravité; et réciproquement, la verticale du centre de gravité ne peut jamais passer par le point de support; conséquemrnenl la masse ne peut jamais se maintenir en repos sur sa surface spirale. En réalité, elle roulera jusqu'à ce qu'une extrémité de la spirale arrivant en contact avec le plan, fournisse un second point de support, et arrête ainsi la révolution subsé-