CHAPITRE XVIII

228. Principe des vitesses virtuelles. — Si l'on applique an nombre quelconque de forces aux différens points d'un système en équilibre; et que ces points admettent un déplacement, les circonstances de leurs relations et dépendances mutuelles restant sans altération; de plus, si la nature do système et des forces qui lui sont appliquées, est telle que les points d'application étant alors ainsi altérés suivant Certaines conditions, l'équilibre puisse subsister; alors il existera la relation remarquable suivante entre les forces et les distances suivant lesquelles leurs points d'application ont été mus.

Si d'une extrémité P\ de la ligné PP' {/tg. 180), représentant le déplacement excessivement petit d'un point d'application P, on mène une perpendiculaire P' m jdr la direction P de la force avant son déplacement; et qu'on nomme vitesse virtuelle de la force P la perpendiculaire P m Interceptée entre le pied m de la perpendiculaire et le point P; alors chaque force dn système étant multipliée par sa vitesse virtuelle, prise de même, la somme de ces produits à l'égard des points d'application qui , par le déplacement dn eyslème, ont été mns vers la direction des forces qui leur sont imprimées , sera égale à la somme de ceux pris à l'égard de ces points qai ont été mus loin de celle direction.

Cè principe important est celui des vitesses virtuelles.

837. On le prouve ainsi qu'il suit: chaque point d'application d'une force peut Être supposé se maintenir en repos par l'application de deux forces opposées égales, l'une étant la force P actuellement appliquée en ce point, ei l'autre p étant la résultante des résistances ou tensions sur lui provenant de sa connexion avec les autres parties da système. Or supposons ces résistances et ces tensions enlevées , et remplacées par un système de poulies dans lesquelles le même cordon passe sur toutes. Le plus convenable que l'on puisse concevoir, sera probablement un système semblable a celui de Witke (article 157). Les poulies lêparées ne doivent pas d'ailleurs être filées dans la même chape, mais èlre mobiles séparément sur un axe commun. Que chaque système ait autant de cordons qu'il y a d'nai!ès dans la force qu'il est destiné à remplacer, alors la tension sur chaque cordon sera égale à una

Supposons que le wéote cordon passe sur tous les diffé- ■ens systèmes ; alors si le bout des cordons est fixé au centre de la première chape mobile, et si l'autre bout pend librement sur l'extrême poulie de la dernière chape fixe ; un poids égal h l'unité de force , attaché à ce dernier bout du cordon , maintiendra le tout en repus dans les circonstances que nons avons supposées. Chaque système de poulie Fournira une force égale à la résistance ou à la tension qu'il doit remplacer.

L'arrangement que nous venons de décrire est celui de 1* fig. 181 : Pi, P,, P., P., sont les points d'application des farces du système , et les résistances ou tensions sur ces points sont supposées remplacées par les systèmes de poulies Ai Bi, Ai B>,Ai 11:, A< B>, dont A., Ai, Ai, A., •ont les chapes fiscs, et !t i, 11 j , 1! •, It ., les chapes mobiles. Enfin on les suppose tontes sans poids; et chacune contient autant de poulies séparées qu'il y a d'unités dans la force correspondante. Un cordon est attaché au centre de la première chape B< et passé autant de fois autour des poulies de celte chape et de la chape Ai qu'il y a d'unités dans la la force Pi. Alors il passe sur la chape Ai et tonrne autant de fois sur les poulies de celte chape et de la chape Bi qu'il y a d'unités dans la force V>j pui» te 1* au "J"

Ûioe A. Bi« fournissant encore la de nouveau autant do brins qu'il y a d'unités dans la force Pi.

A l'extrémité du brin qui pend sur la dernière poulie de la chape Ai est aitachê un poids p égal h l'unité. Or, puisque nous ne supposons pas de rigidité à la corde, ni de

frottement snr les axes des poulies , il est évident { art. 141)

rla tension sur la corde est partout la même et partout lors égale a l'unité. La tension sur le premier point P> est égale aussi a la tension sur chaque brin du système Ai B. multiplié par le nombre des brins. On a tu que la tension sur chaque brin était d'une unité; donc toute la tension sur lepoinlPiest égale à autant d'unités qu'il y a de brins; mais, par hypothèse, il y a autant de brins que d'unités dans la force agissant en P.; il y a donc autant d'unilès dans la tension en Pi que dans la force qui s'y troure appliquée; la tension est dans une direction opposée à la force, et le

5 oint P., dès-lors, est en équilibre; l'action du système e poulies Ai Bi remplace exactement les résistances et les tensions qui sont fournies par la connexion et la réaction des différentes parties du système au point où la force Pt est appliquée. La même chose peut être prouvée pour les autres points d'application P., P., P*. Le système de poulies que nous avons supposé, supplée donc k tous les points d'application des forces exactement équivalentes aux résistances et aux tensions supportées avanl en ces points.

Supposons maintenant que les points P., P.Pi, P., etc., se meuvent à une petite distance quelconque, el dans une direction quelconque, simplement soumis a celte condition que dans la nouvelle position qu'ils vont occuper, el dans chaque position intervenant, ils soient en équilibre, et qoé les résistances et les tensions sur leurs divers points d'applicalion restent les mêmes. Puisque les tensions su* les points P., Pi, etc., restent les mêmes dans ce mouvement, les tensions sur les brins des systèmes appliquées à ces points restent les mêmes , el la tension sur chaque partie de la longueur du brin qui passe autour d'eux tous, reste la même. Alors, puisque la tension sur celle partie du brin qui sop-

Eorte p ne S'altère pas , il s'ensuil que p est toujours conlrealancé par elle, et ne doil pas se mouvoir. 11 s'ensuil aussi que le brin tiré en bas par ceux des systèmes A. Il <, Ai B>, de , dans lesquels tes chapes, par le mou. remet) t dci pointi

Pi Pi, etc., etc., tendent à l'approcher l'une de l'antre i est tiré f» haut par ceui des systèmes dans lesquels les chapes ('éloignent l'une de l'antre; car autrement, quelque portion du brin serait tirée en bas du dernier système, et p se oeuvrait.

Ainsi la somme des brins tiré* vers le bat par nne partie doijitème est égale à la somme dos brins tirés vert le haut par le reste.

Maintenant le rapprochement on t'èloignement des chapes de chaque système, à raison du mouvement du point d'applicalion correspondant, est en réalité la viteiie virtuelle c 1 ? et point. Reportons-nous à la fig. i 80 , nons verrons' que la distance du point P de O, qui peut représenter; le centre de la chape fine Ai, est diminuée, qnaud la distance PP, dans laquelle il se meut est petite , d'une quantité égale à Pm, puisque l'angle mOP' étant petit, On seul être considérée comme égale à OP'.

Celle égalité s'obtiendra exactement aussi pour chaque distance dans laquelle les points d'application peuvent être mus, pourvu que nons supposions que les forces appliquées MM toujours parallèles à leurs premières directions. En ;» "s les chapes fines Ai, Ai, A. doivent être fixées a disante! infinict des chapes mobiles ; hypothèse qui du moins ne porte aucune atteinte a la démonstration, la longueur du briu étant entièrement arbitraire. Dam cet circonstance* les «'taftl virtuelles peuvent donc être supposées^ se rapporter ' l^lquei mouvemens des points d'application, quelque grandi que soient ces mouvemens. .

Alors, puisque la quantité dont les chapes s'approchent « s'éloignent l'une de l'autre , sont les vitenei virtuelles des ("ces que supportent les brins passant sur ces chapes; puisque le brin tiré vers le bas par ces chapes est égal a autant de fois ce changement de dislance des chapes qu'il y a de brins passant d'une chape à l'autre ; puisqu'enfin le nombre des brins est égal au nombre d'unités dans la force correspondante; il s'ensuit que représentant ce nombre d'unités 'ans la force appliquée en P,, par P,, et la vitesse vir- «ellede cette force par n,, la quantité de brins tirés vers e bas par le premier système est Pi De mime Pa s ■si «ll 9 des brins tirés vers le bas par le second système, f> représentant le nombre d'unités dans la force appliquée

eoPi, et», sa vitesse virtuelle; et ainsi de suite, La somme des quantités du brin tiré vers le bas par les chapes qui se rapprochent l'une de l'autre, est égale à la somme de celles du brin lire vers le bas par les chapes qui s'éloignent l'une de l'autre; en conséquence, la première étant conçue avec un signe négatif, nous aurons

P, », + P, », + P, », + etc., = Q.

On comprendra peut-être inieuï ceci par son application à quelques ciemples.

228. Prenons le cas de la roue et de son essieu (art. 115;. Il est clair que si la puissance et le poids sont eu équilibre dans une certaine position de l'une et de l'autre , cet équilibre existera aussi dans une autre position. Leurs directions , en outre, conserveront toujours leur parallélisme.

Le ejslé me appartient donc à cette classe à l'égard de laquelle le principe des vitesses virtuelles aété prouvé atteindre, quelle que soit l'étendue du mouvement qui lui est communiqué. Sans ce cas aussi , la vitesse virtuelle de chacun est l'espace qu'il décrit, puisque l'une et l'autre, dans sa seconde position, occupent un point do la ligne où la force imprimée sur lui agissait dans sa première position (1). Dès-lors, en snp posant que la puissance P. donne le mouvement au poids P>, appelant n, el n, les espaces qu'ils décrivent respectivement, et affectant le dernier du signe négatif, puisqu'il est décrit dans une direction opposée à celle dans laquelle la force à laquelle il correspond, agit, on a

p, „ | — p. n, == 0, ou bien, Pi », = Pi »,.

Ou voit, d'après cela, que la puissance multipliée par l'espace qu'elle décrit , est égale au poids multiplié par l'espace qu'il décrit; el autant de fois la puissance est Moindre que le poids, autant de fois est plus grand l'espace dini lequel il se ment (2).

(1) On le verra aisément en se reporlunt à le /ig. 180, où P doit tue supposé se mouvoir dans la ligne P 0, le point P' fiant danl celif ligne, et P P' coïncidant avec p m.

(3) Ce principe est bien connu des ouvriers qui l'énoncent «iwi ■ * ce quo l'on gagne en puissance, on le perd eu vitesse, a

Les espaces «,, », sont évidemment égaux a ces parties

des circonférences des deux cercles d'où et où, Tient le brin; ot étant opposées à des angles égaux ou cercles ( chaque partie étant égale a l'angle suîvanL lequel l'essieu a tourné), elles sont l'une à l'autre comme leurs rayons.

Ainsi >i, et n t sont respectivement l'une fa l'antre comme le; rayons de la roue et de l'essieu, et nous avons comme précédemment ( art. 113 ),

Pi X ( rajon de la roue ) = P. X (rayon de l'essieu ).

329. Prenons le plan incliné pour second exemple, et supposons que la force N {/ig. 57 ) agisse parallèlement an plan , et aussi qne l'on omette la considération du frottement.

Supposons qne la masse flï descende toute la longueur du plan. Etant en équilibre dans une position, il sera évidemment en équilibre s'il se maintient dans une autre position, les farces conservant toujours leur parallélisme. Le cas rentre donc dans celui où l'on û démontré que s'applique le principe des vitesses virtuelles, quelle que soit l'étendue du mouvement. La viteue virtuelle du poids M est, aussi dus ce cas, ta hauteur du plan, et la vitesse virtuelle de » est la longueur du plan. On a donc

N X ( longueur du plan ) = M X ( hautenr du plan ). Ce qni se rapporte à ce que nous avons prouvé préecdeanuent ( art. 85 ).