ON'=NG

d'où

PiM. m, + P.M.m 5 + P- M.m. + elc.

PiG =

P* +P. + P. + elc.

et de même

P. M. +P, M.- ,+P. M.»', + etc.

P.+P- + P. + etc.

11 s'ensuit que la dislance N G du centre de gravité d'un nombre quelconque de corps dans le même plan , à partir de la ligne O x, dans ce plan, s'obtient en prenant la somme des produits de lous tes corps composant le système, chacun multiplié par sa dislance de celle ligne, et divisant celte somme par la somme des corps eux-mêmes.

ïfaintenanl, il y a une propriété précisément analogue i celle-ci pour lecerjtrede gravité d'un nombre quelconque de corps qui ne sont pu dans le mime plu.

PROPOSITION 10. — Pour un nombre quelconque de corpt, situés d'une manière quelconque dans l'espace, la distance de leur centre de gravité, à partir d'ttm plan quelconque , ett égale à ta tomme det produits qu'on obtient en multipliant chaque corpt par ta distance de ce plan, die i lie par la somme du, corpt.

Soient P,, p t . P», etc. [fig. 235) , les corps situés d'une manière quelconque dans l'espace, el y O x un plan quelconque. Menons par chacun des deux corps P. et P i , elpar leur centre de gravité Gi, des perpendiculaires Pi|>, , P'j>, t et Gi g, sur le plan xO y.

Puisque P> P* el la ligne P, P> sont dans le même plan Pi p t P.p^ils'ensuil, en ?ertude la proposition précédente, que

Supposons les corps Pi et Pi réunis à leur centre de gravite G., el que G ■ soit le centre de gravité de ces corps, ainsi réunis , el de Ps;

Consèquemmenl , et précisément comme dans le cas précédent , on voit, puisque Gi el Pi et la ligne g,p s sont dans le même plan, que l'on a

G. îl .P. + P. + P.=P, + P..G-f,4P'P'P, Et dès-lors on a, en y suhsliLuant les valeurs tirées de Fè> quatiun précédente.

G. g,. P. + P S + P, = P,P, P , + p a . P.^ + P^.P.p, et ainsi de snile; de sorte que si G g représente la distance du centre de tout le système, à partir du plan y 0 x, alors

P.. Pip, + P>. P JPa +P.. V.p,

P. + P, + Ps +e.lc.

te plan x Oy étant quelconque, on peut donc, par les moyens ci dessus, trouver In distance du centre de gravité de chacun des trois plans yOx, zQx.zOy. Ces trois distances détermineront sa position exacte.

Si , au lien d'un système composé de corps détachés dans le même plan , on vent déterminer le centre de gravité d'nn corps pesant continu, dont toutes les parties sont dans le même plan , on peut opérer de la manière suivante :

Prenons deux lignes 0* et Oy perpendiculaires i'une à l'autre [fig. 254) , et divisons l'une d'elles 0 x en parties égales m s m 1 ,m s m l . Menons les lignes M i p, , m 1 p jf etc. , en divisant la figure en autant de parties distincte* ou élèmens m, p t , m t p jt etc. Alors si les ligne» M, M., etc., sont très-petites m, p ( , m ( p jt etc. , peuvent être considérées comme ne différant pas d'un rectangle, d'une manière appréciable ; chacune d'elles pourra être considérée comme ayant son centre de gravité à son centre de hauteur.

Divisons en deux également», j» ,,*»,*),, etc., «ng.,g , etc., et considérons ces points comme les centres respectifs de gravité des élèmens. On peut donc supposer que les poids de ces élèmens sont rassemblés en ces points.

Or les masses et les poids des élèmens sont représentés par les produits

m, m, X P.M,,t» | M,X P.™,, etc.

Si donc les poids sont supposés agir perpendiculairement à 0 X , et que G soit le centre de gravité , on a

m, m,. Pi»,. Om~ +m m . P 5 m Ôm~

ok= : — - — ~ - — ; l__

du puisque Jit 1 «,=iftj «i, = «1,111, etc.

P. m.. Om, + P.m,, Om,+.. .

on= : !

et supposant que les poids des élèmens agissent perpendiculairement à Oy ,

d'où , «n observant que

et qmm, », = m, m, = elc.