ON
Celle dernière formule fournit une règle-pratique facile pour trouver le centre de gravité d'uoe aire de forme quelconque, quelqu'irrégulière qu'elle soil ; et il est facile de se la rappeler.
Divisons, comme ci- dessus , les èlèmens par des lignes Équidislantes , appelées ordonnées, perpendiculaires k on axe donné. Prenons la somme des carrés de ces ordonnées, el divisons-lo par leur somme. La moitié du quotient sera la distance du centre de gravité à partir de l'axe.
Sur la direction de la rétislance d'une turface. (note sur l'art. 72.)
Représentons par f le coefficient du frottement, et soil P M P ' = 8 ( fig. SS ) ; ia force P M ou P est équivalente k QM «P M.
or Q M = P M sin. S
P'M=PMcos-9
Donc décomposées suivant les directions QMet P' M, les valeurs de P sont : P sin. 6 elP cos. 9. ^
Or le pouvoir do résistance produit par le frottement est égal au produit du coefficient de froitemenl f, par la fores perpendiculaire en P' M. Il est.donc égal à fP cos. 6
La force tendant a mouvoir le corps est la force suivant la XUcaniqw ituhulritlle, V partie. 86
Si l'on suppose maintenant que les forces agissent perpendiculairement k quelqu'autre axe perpendiculaire au premier, la distance du centre de gravité , A partir de cet axe , peut aussi se trouver, et s? position effective se déterminer
direction QM et égale à P tin. 6. Couséquemraent le corps se mouvra, on ne se mouvra pas, suiraulque
Pain. 8 \ f 8t , i >/-Pcas8; J on est pas (
ou suivant que
im- s \ ? l >f
6 ) ou n'est pas t ' '
Soit F l'angle dont la tangente est f. Le corps se donc, on ne se inonvra pas,
>l«ng. F;
i est l 1 on n'est pas (
ou suivant que
| on est pas "
F est appelé l'angle limite de résistance, et par consè.___ le corps restera en repos tant que la direction de P ne sera pas inclinée, par rapport à la verticale, sous un angle plus grand que F.
Le Tait d'expérience que le frottement est toujours pour le même corps] la même fraction de la pression perpendiculaire, quoiqu'une grande approximation de la véritable loi du frottement ne peut pas être prise exactement pour formuler cette loi.
On voit par les expériences de M. Rennie, que le rapport du frottement à la pression perpendiculaire est un peu plus grand pour les hautes que pour les basses pressions. Celle variation de la loi du frottement ne paraît d'ailleurs pas asseï considérable pour prendre place dans la discussion de la question, taul que la pression n'excède pas une certaine limite. Coulomb a trouvé que pour les pressions variant de 400 a 1300 kilogrammes, le coefficient de frottement de
chêue sur chêne variait seulement de — — k — L 2.36 2,40 La véritable loi do frottement serait peut-être mieux ex-
primée en considérant le coefficient de frottement, comme une fonction de la pres«ir>n perpendiculaire, qui, étncl développée, a, pour les coefficiens de ses lermes, après le premier, d'eicessivement petites quantités.
Le Plan incliné. [Note sur l'art. 80. 1
Représentons par S l'inclinaison de F Q à la verticale, et soit i égal à l'élévation du plan, F étant égal à l'angle limite de résistance. Alors quand la masse M est sur le point de glisser en bat, puisque l'angle que fait G c aiec la perpendiculaire a A C (on. 80) est égal h l'angle F, et que l'angle que fait GH avec la perpendiculaire à A C est égal à • ; l'angle cad qui est, dans ce cas, ladiffèrence de ces angles.est égal ai — F. De même, quand la masse M est sur le poirt de glisser mm le haut {fig. 38), l'angle ead est égal k i + F.
Donc, en général,
cad = (i±V).
Le double signe étant, pour les deux cas, où la niasse est ir le point soit de descendre, soit de r
Or, dans le triangle a h d.
a d sin. abd
Et aussi adb = cadz= (»'±F) abd = t.— cab — ît — ( i ± F x 9 ) ; et comme » i et a i (art. 80) représentent les poids de AI et de H,
N sin. (i±FJ
stn. (i±F + 9) sin. (i±F) sin. (i±F+ 8)
ad lin. [*±F + 9}
Et comme dh et ad représentent la résistance 9 H C poids M,
sin. (ï±F+fi) Si L'on veut que la force N agisse dans une telle à quels moindre Force possible puisse faire mouvoir le corps; il est clair qne l'on doit prendre 3 de manière que sin. (t"± F + S ) soit le plut grand possible; ou, en d'autres termes, que S soit tel que
ou 3 =1 i ± F
Les deux états où M se trouve sur le point de glisser Ten le liant, ou vers le bas, sont dits ses deux états voisins du
Si l'on suppose que la direction de la résistance soitptrpendiculaire a la surface du plan, comme dans le cas de l'essieu de roue (art. 83), il faut alors, dans les expressions pour N et S, faire F = O, et l'on aura
sin. (6+i M. sin. 9
sin. (6 + i)
Si la force N agit dans une direction parallèle an plan « w
6 — I et f + . = ;
D'où
N = Msin. i et S=Msin.fl
te Coin.
La démonstration suivante de la théorie du coin Mra peut-être mieux comprise que celle du texte (art. 81 et 89). Elle nous servira d'ailleurs d'exemple et de vérification du principe de moindre preuion.
Soit P l/tg. 2551 la force agissant sur le dos du coin, et Q Q' les résistance* sur ses côtés. Par le principe de moindre pression, Q et Q' doivent être le moins possible sujettes h la condition que leur résultante soit P. Il est évident que pour satisfaire à celle condition, ces forces doivent avoir une direction parallèle h la direction de P, ou du moins aussi peu inclinée que pottible, par rapport à cette direction.
Si donc les surfaces en contact en Q et Q' sont telles qu'elles produisent des résistances à ces points parallèlement àP; alors le système sera un système de forces parallèles, et les points Q et Q' seront situés semblablement par rapport à P A, chacun supportant moitié de la force P. Mais si, a raison de la nature des surfaces en contact en Q etQ', elles sont incapables de faire résistance en directions parallèles a P A, alors les directions de Q et de Q' seront celles que les •urfaces donneront le plut prêt de la direction P A.
Or, comme on l'a vu (art. Tî), il y a une certaine direction telle qu'enlr'elte et la perpendiculaire à la surface a chaque point, si l'on applique une force quelconque, les surfaces fourniront une résistance opposée à cette force; mais si la . force est appliquée plus loin de la perpendiculaire que cette direction , alors il n'y a plus de résistance égale apportée par les surfaces dans uue direction oppotée. L'angle que cette direction fait avec la perpendiculaire est appelé l'angle limite de rétiitance. Les résistances Q et Q' auront évidemment leurs directions inclinées à l'A, sous les moindre! angle* possibles, qnand elles sont effectivement dans les directions ci-dessus, elfont, chacune avec la perpendiculaire à son point d'application, un angle égal a l'angle limite de résistance. Telles sont alors, par le principe de moindre pression, les aQel Q'.
t sont les conditions d'équï-
libre résultant de celle conclusion. Soit F égal a l'angle limite de résistance, 2 » égal a l'angle A dn coin.
L'angle que fait Q avec leeolé du coin est -1-— F; et par
conséquent l'angle Qui, qu'il fait avec P A, est
El par suite, cette partie décomposée de Q dans la direction P A est
Q.sin. (FH-i).
El le coin êlanl symétrique par rapport k P A, la partie décomposée de Q est la même. D'où
SQain. (F + <) = p ; P
El Q =
2 sin. (F +<) Si F-f-i= — ,Q = «/aP.
C'est le cas dont nous avons parlé, lorsque les directions de QetQ' sont parallèles.
On peut arriver à ces résultats par nn autre raisonnement tout -à- fa il indépendant.
Soient P et P' égaux chacun à la moitié de P, et appliquons-les immédiatement au-dessus des points Q et Q ' ; ils peuvent alors remplacer P sans altérer en rien les circonstances de l'équilibre. Or si la direction de P'Q est dont les limites de résistance des surfaces en Q, la pression P' sera tonte entière supportée par cette résistance, et la direction de la force Q sera en même ligne droite avec P' Q; le coin ne supportant aucune pression latéralement, on en direction perpendiculaire a P A. Mais si la direction de P' Q esl hors des limites do résistance en Q, alors qnelqu'aolre force en Q doit suppléer au maintien de l'équilibre. Cette force peut résulter seulement de l'action de la force P" en Q'. Elle agit donc dans ta ligne Q' Q, et par conséquent dans One direction perpendiculaire a P A. Celte force résnliant de la tendance du coin à se mouvoir en Q", esl simplement égale à celte tendance ; ou bien, en d'autres termes, elle est égale
4 11 moindre forcé qui maintiendrait re point en repos. Puisqu'alors elle est égaie à la moindre Force qui maintiendrait le puint Q' en repos, elle est égale aussi à la moindre force qui tiendrait le point Q en repos; or la moindre force qui tiendrait Q en repos est évidemment celle qui amène la direction de la résistance en Q juste dans l'angle limite de résistance en ce point. On voit ainsi que les directions de Q et de Q' sont inclinées aux perpendiculaires en ces points sous des angles dont chacun est égal à l'angle limite de résistance. C'est précisément ce même résultat qui nous était donné parle principe de moindre pression.
La Balance. [Notent fit*. 103.)
Pour déterminer les conditions mathématiques de l'équilibre de la balance,
Supposons que les poids mis dans les plateaux de la balance ne diffèrent que de la petite quantité ta , l'un étant représenté par M, et l'autre par M + m.
P ai squ 'alors la résultante de ces forces passe par K ( ail. 50), on a
M X SR = M+ "» XS'R; un bien M. SK' + KK' — M + m, SK' — KK' faisons SK' = S'K' = «; alors
M. a + KK' = M + m. a — KK* KK'. 2 M +m = m a m a
