Pour ne pas multiplier les signes numériques

(1) En termes de finances, on dit milliard an lieu de billion. /%) 'La valeur du numéraire en circulation en Europe n'est que d'environ vingt miliiards.

NUMÉRATION. 9

on est convenu de donner à chacun de ces chiffres une seconde valeur qui dépendrait du rang (ju'on lui ferait occuper, et que, commençant par la droite, le premier chiffre représenterait les unités simples; le deuxième, les dizaines; le troisième, les centaines; le quatrième, les unités de milk; le cinquième , les dizaines de mille; le sixième, les centaines de mille; le septième, les unités de millions; le huitième, les dizaines de millions, etc....

Il faut donc au moins deux chiffres pour représenter les dizaines, trois pour les centaines, quatre pour les unités de mille , cinq pour les dizaines de mille, six pour les centaines de mille, sept pour les unités de millions, huit pour' les dizaines de millions, neuf pour les centaines de millions, dix pour les unités de billions ou mil- Uards, etc.

Ainsi, par exemple, le nombre quatre cent vingttrois mille sept cent cinquante-six s'écrit 423 756 (quatre centaines de mille, deux dizaines de mille, trois. unités de mille, sept centaines, cinq dizaines et six unités).

Si , dans le nombre proposé , il y a quelque ordre d'unités qui ne soit pas exprimé, on le remplace par le zéro.

D'après ce principe, les nombres

dix, cent ^ mille, dix mille, cent mille, million s'écrivent 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, puisqiie le chiffre 1 occupe le deuxième, le troisième, le quatrième, le cinquième, le sixième et le septième rang.

Et si l'on avait à représenter le nombre trois cent deux mille quarante unités, on écrirait 302040, en mettant des zéros à la place à^^ dizaines de mille, des centaines et des unités qui ne sont pas exprimées.

16. Pour écrire facilement en chiffres un nombre quelconque, on met d'abord autant de points que ce nombre doit avoir de chiffres ; on écrit ensuite chaque chiffre au rang qu'il doit occuper, et Ton met des zéros aux places vides, s'il y en a.

Soit le nombre quatre billions six millions vingts sept mille cinq unités.

Forpez dix points, écrivez le 4 au rang des unités de billions, le G au rang des unités de millions , le 2 au rang des dizaines de milk, le 7 an rang des unités de mille ^

10 ROMiRAIIOlfb

le 5 au lang des unités, et meltez des: zéros aux places Tides de cette manière :

* 17. PDur énoncer aisément! une quantité exprimée par un grand nombre de chiffres, on la partage, au moins par la pensée, en tranches de trois cniflres cha^eune, en commençant par la droite, et on leur donne les noms suivants: tmdtés, mille, millions, billiùns,, trilHons, etc.; la dernière tranche peut n'avoir qu'un ou deux cfaiffi^es.

Ainsi , le nombre 345|678|907|654|326 s'exprime en disant : trois cent quarante-cinq trilUmssts. cent soixantedix-huit biUions neuf cent sept millions six cent cin^ • quante-quatre mille trois cent vingt-six unités.

* 18. On doit conclure de toutce qui précède que les neuf premiers chiffres (14) ont deux valeurs , Tune rffâolue , qui est celle qu'ils ont étant considérés isolément, et Vautre relative, qui est celle que leur donne le rang qu'ils^ occupent ; et qjue le dixième , qui est le zéro, n'a aucune valeur , puisque sa seule fonctbn est d'occuper les places vides (16).

Ainsi , dans 8042 , la valeur absolue du premier chiffre à gauche est 8, et sa valeur relative est 8 unités de mille, parce qu'il est au quatrième rang; la valeur absolue du troisième chififce est quatre y et sa valeur relative 4 dizaines, parce qu'il est au second rang; le % qui occupe le premier rang, a pour valeur absolue i, sa valeur rela^ tive est 2 unités; et le zéro occupe la place des centaines»

Qftestvoiïd sur lia Ifomérataioii.

Qu'ed'Ce que la niiméraHon ? 8. — Comment forme^t^n les nombres ? 9. — (k)mment exprime-t-oii les nombres ? 10. — ComTment représente-t-on tes nombres? 11. — Quels sont les noms de nombres? 12. — La petite quantité des mots affectés à la numé^ ration est-etle suffisante pour exprimer tous les nombres nécessaires? 13. — Combien emploie- 1 -on de chiff'res pour représenter les nom bres ? 1 4 . — Comment , avec ces seuls chiffres , peut-on représenter tous les nombres possibles ? 1 5. — Indiquez une méthode facile pour écrire un nombre exprimé en langage ordinaire. Ift. — Que /!ty/-ûfg.jffour ^umoer aisément une quantité exprimée par un grand ^f^^^^àreû^ecM'^resPn.-^Combie^i les chiffres ont-ils de valeurs? V^i.

* 49. On appelle sâGixALus âes parties dix fois , cent fois, mille fois, etc., plus petites que Tunité, ou qui soat SQCGessi^ment de dix fois eu dix. fois plus petites les nues que les autres.

* 20. Les parties contenues dix fois dans l'unité se nomment dixièmes; les dixièmes de dixièmes, cen-tièmes, parce qu^ils sont contenus cent fois dans Funité; lesdisèmes de centièmes, millièmes, parce qu'ils sont contenus mille fois dans Tunité; les (uxièmes de mil- M^es, dix -millièmes; les dixièmes de dix-millièmes, cerd^millièmes ; les dixièmes de cent-millièmes, miilio^ mêmes; les dixièmes de millionièmes, dix-millionième» ;, les dixièmes de dix- millionièmes,, cent 'millionièmes, etc. (Voyez le tableau. synoptique du système de numération, page U.)

Cîomme on le voit, les décimales, quant à leur nomenclature, suivent le système de numération des entiers, mais en sens inverse; le dixième est dix fois plus petit jue Tunité, tandis que la dizaine est Tunité repétée dix lods; le centième exprime la centième partie de Tunité , et une centaine, est.funité répétée cent fois, etc.

* 21. Là fermation dfes parties décimales est rendue sensible par f exemple suivant :

Si Yan divise une pomme en dix parties égales, chaque morceau représentera la dixième partie de Tunifté, qui est ici la pomme : si Y&a divise ensuite chaque dixième en dix parties égales, on obtiendra des ceur^ lâèmei^. Il en serait de même si, au lieu d'opérer sur une pomme, on opérait sur un mètre., sui ifli litre , ^xa ^osi fframeoe, sxle Jia /roTéC,. etc.

* 22. On écrit les nombres décimaux avec les mêmes caractères que les nombres ordinaires, mais en se conformant à la méthode suivante :

On écrit d'abord le nombre entier, à la droite du-

2uel on met une virgule; puis, allant de gauche. à roite, on écrit successivement les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc.

Ainsi , le nombre A unités 25 centièmes s'écrit 4.^25.

S'il manque quelque ordre de décimales, on le remplace par un zéro.

Par exemple, le nombre 14 unités 5 centièmes s'écrit iAfi^, eii mettant un zéro pour représenter les dixièmes : et 3 unités 5 dixièmes 8 dix -millièmes se représentent par 3,5008.

Si dans le nombre proposé il n'y a pas d'entiers, on met aux unités , et l'on donne aux décimales leurs places respectives.

Soient à représenter, l*» un dixième; 2** cinq dixièmes 8 centièmes ; et 3* 5 millièmes, on écrira 0, 1 | 0,58 | et 0,005.

Si le nombre renferme beaucoup de chiiTres décimaux, comme dans sept cent soixante mille quatorze millionièmes, on écrit d'abord le nombre comme s'il exprimait des entiers 760 01 4, ensuite on met à la place des unités, et l'on obtient 0,760014.

* 23. Il y a quatre principales manières d'énoncer les nombres décimaux :

1** On exprime d'abord le nombre entier, et ensuite on réunit toutes les décimales sous une seule dénomination , qui est celle du premier chiffre à droite.

De cette manière les nombres 4,75 et 7,4 268 s'exprimeront 4 unités 75 centièmes, et 7 unités 4268 dix-millièmes : cette méthode est généralement adoptée.

2** On exprime d'abord le nombre entier, et ensuite les chiffres décimaux, en les désignant isolément.

Par exemple, pour énoncer les nombres 4,75 et 7^4268 y on ait ï unités 7 dixièmes b centièmes, et 7 uni- ^es 4 é/i'ariêmes 2 centièmes 6 mtUièmcs & dix-milU^es.

3® Quand U y a beajicoup de chiffres décimaux, on peut employer le procédé mdiqué n*» 17, en sens inverse, c^est-à-dire qu'après avoir divisé le nombre en tranches de trois chiffres, à partir de la virgule, on énoncera ensuite chaque tranche séparément en lui donnant le nom de la dernière espèce des unités qui la com- 5 osent; cette dernière tranche pourra n'avoir qu'un ou eux chiffres.

Par cette méthode , le nombre 8,476 965 s'énoncera 8 unités 476 millièmes 963 millionièmes, et le nombre 3,604 05, s'exprimera 3 unités 604 millièmes 5 centmillièmes,

4** On pourrait encore joindre les entiers aux décimales, et alors le nombre 4,75 ci- dessus s'énoncerait Albcentièm£s, parce que 4 unités égalent 400 centièmes; mais cette méthode n est usitée que lorsqu'il s'agit d'exereer les élèves sur la numération.

Si le nombre ne contient pas d'entiers, on n'en fait aucune mention dans l'énoncé.

Ainsi, on ne dit pas zéro unité 25 centièmes, mais simplement 25 centièmes, ainsi des ptutres.

* 24. Pourvu que la virgule qui sépare les entiers des chiffres décimaux ne soit pas déplacée , les zéros, en quelque nombre qu'on les écrive à leur droite, n'en changent point la valeur; les parties sont dix fois, cent fois plus nombreuses, mais elles sont dix fois, cent fois plus petites : il y a donc compensation.

Exemple : 0,25 centièmes deviennent , par l'addition d'un zéro, 0,250 millièmes; par celle de deux zéros, 0,2500 dix-millièmes; de trois zéros, 0,25 000 centmillièmes; mais la valeur du nombre est toujours équivalente à 25 centièmes.

-*■ ae- *^ CbntP * qufttriMfatiïs.

w o o Dizaines àti quaCnUions.

S« P P (jDijBEnjJONS.

*. c» o Centaines de

-I o m DizaioËfi de tnlliûm.

w * P Trillions.

cr o Ci Ceâtajoes de billion».

ts ^ œ Dizaines de billions.

r* P S* BiLUONS.

0» œ o Cenlûne& de onillioBS.

A o o Dizaines de minions.

*■ P PMiLiJom,

■^ o K> Centaines de mille.

œ o *< Dizaines de naïto.

» ^ œ Mille.

c> vc- -aCentainâ&.

if, ~t oDizaJgofis,

- tD 0» UNITÉS.

H o 1^ I^xièmes d'unité.

oi o t« Centièmes.

(S ç» p Millièmes.

Qo. -D o Dix-millièmes.

Cl OB o CentrmiUièmes.

W P p Mn-LIONIÈWES.

1^ o -4 Dii-niilliomèmes.

-j (S 01 Cent-millionièmes.

pe p p BlLLIONlÉaES. 1 E

to o 00 Dix-billiomèmes.

œ >^ es Cent-billionièmes.

MÉTHODE FODK AFPRËKDHE LA RtnrtnlTIOH AD MOIEH DE LA HAtN.

Oh ftra regarder ati élères chacun des doigta de leui main gauche, à partir de l'auriculaire, comme représentant les tranches des. tMWft, de» miUe, des millions, des liillioTts on milliards, ainri' qall est marqua k la figure ci - dessus ; les phalanges àes mêmes doigta, à^ partir de celle de l'extrémité, reprËseateront les auités, tes dizaines et les centaines de chaque trancbe.

Cela posé, ^our apprendre à un élève à coimaltre le nom des tanches, en lui fera mettre l'iudei delà maiu droite sur l'auriciilalie de la main gauche, en disant : tranche des unités ; puis, sqi l'aimulaire, tranche des mille; but le majeur, tranche dei milliim,Btc.

La méim cImib «'tèeerrefa pour ^prendre h écrire des setrunea' dictées. Veut-oD, par exempte, bire éciiie se mille: l'élère pop- . taU l'index droit Eur U phalange aitrÉme de l'annuluie gauche, dira : unités de mille; sur la secoude phalange , il dira : dizaines de mille- et coimue c'est U nombre q£on lui demande , il en coor «htra qinl doit placer gantriR téros avant le sii; saTOir : trois' jourjes trois phalanges de l'auriculMre, et un pour l'eitrême de. «Bnulaire, S'il s'agissait cTécrire cent millions, l'élève porterait l'indeT droit sur la dernière phalange du doigt nuijenr, qui repré' sente la tranche des millions-, el les huit phalanges ijui suivent lof: indiqueraient qu'il doit mettre huit zéros. S'il y a.vait des nombre* tolerméliaires , on lui ferait également ohoor ver la place qu'ils doivent occuper, et le nombre des loios à. iuterposeï pour que 1» nombre écrit répondit à la question.

En renouvelant de temps en temps cet exercice, eten ei w» élèves ï le taire entre eu* , ils seront bientôt' er "■' toutes EOTlea de nombres.

16 EXERCICES SUR LÀ NUlliRATION.