CF : FD

(928) Cor. Si le nombre des plans coupants était plus grand que trois, on prouverait tout de même que les parties d’une des lignes sont proportionnelles à celles de l’autre; et s’il y avait plus de deux lignes, un raisonnement analogue ferait voir que toutes ces lignes sont divisées proportionnellement ; donc en général, si un nomtre indéfini de lignes droites sont coupées par plus de deux plans parallèles; les parties de l’une, quelconque, de ces lignes seront proportionnelles à celles de toutes les autres.

PROP. IX. THÉOR.

(924) Tout plan AB passant par une ligne AP perpendiculaire à un plan MN, sera perpendiculaire à ce plan.

‘ Soit BC l'intersection des plans AB, MN ; dans le plan MN menez DE perpendiculaire à BP ; alors AP perpendiculaire au plan MN, sera (882) perpendiculaire à chacune des deux lignes BC, DE ; mais l’angle APD), formé par les droites AP, PD toutes deux perpendiculaires à la commune inter-

upants était plus me que les parties elles de l’autre; et nement analogue ées proportionnelindéfini de lignes plans parallèles ; es lignes seront utres.

ligne AP perpenulaire à ce plan.

section BC, mesure (878) l'angle d’inclinaison des plans AB, MN, l'un à l’autre; et puisque cet angle est droit, les deux plans sont perpendiculaires l’un à l’autre.

(925) Sco. Quand trois droites telles que AP, BP, DP, sont perpendiculaires l’une à l’autre ; chacune de ces lignes est perpendiculaire au plan des deux autres, et les trois plans sont en conséquence perpendiculaires l’un à l’autre.

PROP. X. THÉOR.

(t26) Si deux plans AB, MN, sont perpendiculaires l'un à l’autre ; une ligne AP menée dans l’un de ces plans, perpendiculaire à leur commune intersection BC, sera perpendiculaire à l’autre plan.

Car, ayant mené dans le plan MN, la droite DP perpendiculaire à BC ; alors, parce que les plans sont perpendiculaires, l’angle APD est droit et la ligne AP est perpendiculaire à chacune des deux droites BP, DP et par suite (895) perpendiculaire au plan MN de ces lignes.

(927) Cor. L. Si un plan AB est perpendiculaire à un plan MN, et qu’en un point P de la commune intersection, l’on érige une perpendiculaire AP à l’un d’eux ; MN, cette dernière sera dans l’autre plan AB; car, si non, alors dans le plan AB on pourrait mener AP perpendiculaire à la commune intersection BP, et cette AP seraït en même temps perpendiculaire au plan MN; il y aurait alors au même point P deux perpendiculaires au Las MN, ce qui (898) est impossible.

(928) Cor. 2. Si deux plans AB, AD sont perpendiculaires à un troisième plan MN ; leurcommuneintersection

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AP sera aussi perpendiculaire à ce plan; car,ayant élevé au point P la perpendiculaire AP au plan MN, cette perpendiculaire sera, par le des” cor., en même temps dans le plan AB et dans le plan AD, «onc, elle est leur commune intersection.

PROP. XI. PROB.

(929) Mener une droite HK qui soit perpendiculaire à chacune de deux lignes AB, CD non situées dans un même plan.

Ayant mené en un point quelconque E de l’une AB des deux lignes, une parallèle EF à l'autre ligne CD, et élevé (909) une perpendiculaire EG au plan BEF, on fera passer (893) par la perpendiculaire EG et la ligne AB un plan GK qui, à l'endroit de son intersection avec l'autre ligne CD, déterminera un point H d’où on mènera HK perpendiculaire à AB; la droite IK sera la perpendiculaire voulue par le problème.

Car, HK perpendiculaire à AB et dans le même plan que EG, est (150) parallèle à cette dernière ; or EG est perpendiculaire au plan BEF et par suite (914) au plan parallèle (919) GHD des lignes HG, ID parallèles à EB, EF; donc, HK qui est parallèle à EG, est aussi (908) perpendiculaire au plan GHD et (882) à la ligne HD qu’elle rencontre dans ce plan, et elle est par constr. perpendiculaire à la ligne AB; donc, elle est perpendiculaire à chacune des deux lignes AB, CD.

PROP. XII. THÉOR.

(930) Dans tout angle solide $ formé de trois angles plans (ou rectilignes) ASB, ASC, BSC, la somme de deux, quelconques, de ces angles est plus grande que le troisième.

n; car,ayant élevé an MN, cette per-

même temps dans » est leur commune

Jerpendiculaire à situées dans un

—— D erpendiculaire EG it de son intersecn point IT d’où on lroite HK sera la

le même plan que br EG est perpenau plan parallèle à EB, EF; donc, 3) perpendiculaire Île rencontre dans culaire à la ligne hacune des deux

trois angles plans e de deux, quelque le troisième.

Il est clair, tout d'abord, que cette prop. u’exige une démonstration que \ dans le cas où l'angle plan que l'on com- É à: pare à la somme des deux autres, est /. D -X plus grand que chacun de ces derniers. 7 Soit douce ASB plus grand que ASC ou BSC ; il est à démontrer que ASB<ASC+BSC,

Dans le plan ASB, faites l'angle BSD=BSC ; prenez SD à volonté, menez par le point D, la droite ADB, faites SC=SD et joignez AC, BC. Les deux côtés BS, SD sont égaux aux deux BS, SC; l'angle BSC=BSD ; les triangles BSD, BSC sont donc égaux (287) et on a BD=BC; mais AB<AC+BC ; ôtant d'un côté BD et de l'autre, son égale BC, il reste AD<AC. Les deux côtés AS, SD, sont égaux aux deux AS, SC; le troisième côté AD est moindre que le troisième côté AC; done (269) l'angle ASD<ASC. Ajoutant BSD=BSC, on a ASD+BSD ou ASB<ASC+BSC.

PROP. XIII. THÉOR.

(981) La somme des angles plans ASB, BSC, CSD, etc. qui forment ou qui contiennent un angle solide quelconque S, est moindre que quatre angles droits.

Ayant coupé l'angle solide $ par un plan AD mené à volonté, et tiré d'un point quelconque O dans ce plan aux angles de la fig. les droites OA, OB, O ete. ; le nombre des triangles AOB, BOC, etc, formés par ces lignes sera égal à celui des triangles composants ASB, BSC, etc. de l'angle solide S ; or la somme des angles des triangles ASB, BSC, etc. formés autour du sommet $, est égale à la somme des angles d’un nombre égal de triangles

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AOB, BOC, etc., formés autour du point O ; mais au point B, la somme des angles ABO, CBO égale à ABC est moindre (930) que celle des angles ABS, CBS; de même, au point C, on a BCO+DCO<BCS+DCS; et il en est ainsi de tous les angles du polygone ABCDE ; d'où il suit que la somme de tous les angles aux bases des triangles ayant leurs sommets en O, est moindre que la somme des angles aux bases des triangles dont les sommets sont en 8 ; de là, pour suppléer au défaut, la somme des angles en O est plus grande que celle des angles en $. Mais la somme des angles en U vaut (140) quatre angles droits; donc, la somme des angles plans qui contiennent l'angle solide S est moindre que quatre angles droits.

(982) Sco. Cette démonstration est fondée sur la supposition que l'angle solide dont il s’agit est convexe, ou que le plan d'aucune des surfaces composantes ASB, BSC, etc. ne puisse rencontrer l’.ngle solide ; s’il en était autrement, comme dans la fig., où la base ABCDEF formée par le plan coupant ÀE est un polygone concave (256) et l'angle solide S par conséquent lui même concave, la somme des angies plans ne serait plus limitée, mais pourrait atteindre une valeur quelconque, augmentant indéfiniment, suivant le nombre et la grandeur (122) des angles rentrants BOD du pol. AE.

PROP. XIV. THÉOR.

(933) Si deux angles solides $, T, sont contenus chacun par trois angles plans respectivement égaux l’un à l’autre; savoir: ASC à DTF, ASB à DTE et BSC à ETF, les plans ASB, ASC et DTE, DTF, des angles égaux seront également inclinés entre eux.

. mais au point ABC est moin- ;; de même, au il en est ainsi où il suit que la ngles ayant leurs > des angles aux n $ ; de là, pour s en O est plus 8 la somme des 3; donc, la s0migle solide 8 est

) et l'angle solide somme des angies ait atteindre une iment, suivant le rentrants BCD du

contenus chacun at égaux l'un à E et BSC à ETF, des angles égaux

Ayant pris SB à volonté, menez (902) BO perpendiculaire au plan ASC; du point O où la perpendiculaire rencontre le plan, menez OA, OC perpeudiculaires à SA, 6J et joignez ce Le. prenez maintenant :

=$SB, menez EP perpendiculai PF, perpendiculaires À TD, TF don vi a

Les triangles SAB, TDE sont (904) respectirement re tangles en A, D, et puisque l'angle ASB=DTE et le Hu SB=TE, les triangles sont égaux en toutes choses et donnent l'angle SBA—TED et les côtés AS, AB respecti ment égaux à DT, DE. On prouverait de mêmo que CRT et BC=—EF. Cela posé, le quadrilatère AOCS est égal au quadrilatère DPFT ; car, par superposition des pr a ASC, DTF, et à cause de l'égalité des lignes AS, DT à CS FT et des angles droits SAO, TDP et SCO TFP. il est c! ke que les points À, O, C, tomberont reayaotivenent sur D PF. et qu'on aura AO=DP. Mais les triangles AOB DPE 30 t rectangles en O, P ; l'hypoténuse AB=DE et le côté A0— DP ; d’où, (312) ces triangles sont égaux et l’angle OAB— PDE. Or, l'angle OAB est (8178) l'inclinaison des deux plans ASB, ASC et l'angle PDE, celui de deux plans DTE DTF ; donc, ces deux inclinaisons sont égales entre elles

(884) Si la perpendiculaire BO tombait en dehors 4 la base ASC, il est clair que l’angle BAO serait obtus au li 4 d’être aïgu et l'angle obtus ajouté à l'angle À vaudraient 4 ms bd droits; mais dans ce cas il en serait …

me de la perpendiculaire E ; ; n del pqRe jou P et de l'angle EDP ; de sorte

(985) Sco. Si deux angles solides sont contenus par trois angles plans respectivement égaux l’un à l’autre et disposés de la même manière dans chaque figure ; ps deux angles solides seront égaux et étant sunligués lun à l’autre, coincideront dans toutes leurs parties.

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On a déjà vu que les quadrilatères AOCS, DPFT peuvent être superposés à l’un l’autre, les points A, O, OC, tombant respectivement sur D, P, F; mais les triangles AOB, DPE sont égaux en toutes choses et OB perpendiculaire au plan ASC, se confondra avec PE et le point B avec le point E; de plus BS tombera sur ET et les deux angles solides coincideront entièrement.

(936) Rem. Si les plans composants, au lieu d’être disposés d’une manière correspondante dans chacun des deux angles solides, étaient placés dans un ordre inverse, comme ile le seraient si les perpendiculaires OB, PE tombaien’ de côtés opposés des plans ASC, DTF, on ne pourrait plus faire coincider les angles solides; mais les plans composants n’en seraient pas moins également inclinés entre eux, et les angles solides égaux dans toutes leurs parties, sans cependant admettre la superposition. On donnera à ces sortes d’angles le nom d’angles symétriques.

(937) La même remarque s'applique aux angles solides formés de plus de trois plans composants A, B, OC, D, E, etc, et des mêmes angles disposés en ordre inverse À, etc. E,D,B,C. Ces angles solides sont encore égaux sans être capables de superposition et on leur donne de même le nom d’angles solides symétriques.

(938) Il en est autrement des figures planes dans lesquelles l'égalité par symétrie ne peut, à proprement dire, exister, toutes ces figures pouvant se renverser pour admettre la superposition, tandis que dans le cas des solides, la troisième dimension ou épaisseur peut être prise dans deux directions différentes.

Cor. Les conclusions de ce théorème, relativement aux angles solides qui ne sont contenus que par trois plans composants, s'appliquent également à tout autre angle solide, quelque soit le nombre des angles plans qui le contiennent ; car, tout angle solide polyèdre peut évidemment se décomposer en autant d'angles solides trièdres qne l’angle polyèdre a de faces moins deux.

S, DPFT peuvent À, O, C, tombant ngles AOB, DPE ndiculaire au plan 3 avec le point E ; gles solides coin-

au lieu d’être dischacun des deux e inverse, comme PE tombaien’ de pourrait plus faire 8 composants n’en entre eux, et les arties, sans cepennnera à ces sortes

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