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(961) Déf. Le cône ACE-S n'est autre chose qu'une pyramide régulière ABCDE-S ayant pour base un cercle ACE ou (4380 et 655) un polygone régulier ABCDE etc. d'un nombre indéfini de côtés et ces côtés en conséquence indéfiniment petits.
(862) Sco. 1. Quand le côté, l'arc ou l'unité (430) AB du périmètre de la base est indéfiniment petit, le rayon droit (175) FP du pol. devient égal (667) au rayon oblique (555, 2°) AP, et il est clair que la hauteur inclinée SF de la pyramide devient en même temps la hauteur inclinée ou apothème SA du cône, dont on peut en conéanence regarder la surface latérale ou convexe comme somposée d’un nombre de triangles égal à celui des côtés du polygone qui lui sert de base et ayant chacun pour hauteur la hauteur inclinée SA ou le côté du cône et pour bases les côtés indéfiniment petits du polygone.
(963) Sco. 2. On peut encore concevoir le cône engendré par la révolution d'un triangle rectangle APS autour du côté immobile SP qu'on nomme axe du cône. Dans ce mouvement, le côté AP décrit le cercle ACE, base du cône, ct l'hypoténuse AS en décrit la surface latérale.
(964) Déf. Comme pour la pyramide, S est le sommet du cône et la perpendiculaire SP en est la hauteur.
(965) Déf. Si dn cône ACE-$8 on retranche le cône ace-s par un plan be parallèle à celui BE de la base, on donne au solide BE-ed qui reste le nom de cône tronqué ou tronc du cône. es
(966) Sco. On peut le concevoir engendré par la révolution d’un trapèze rectangulaire AP pa autour de l’axe Pp qui est en même temps la hauteur du tronc; les cercles ACE, a ce étant ses bases et À a ou (962) SA—S$ a, son côté ou sa hauteur inclinée.
gal (667) au rayon a hauteur inclinée temps la hauteur nt on peut en conu convexe comme il à celui des côtés chacun pour haucône et pour bases
r le cône engendré e APS autour du
ône. Dans ce mou-
%, base du cône, et
ale.
est le sommet du
auteur.
retranche le cône BE de la base, on de cône tronqué
ndré par la révoluitour de l’axe P»
tronc; les cercles | SA—S$ a, son côté
SOLIDES. DÉFS., ETC. 359
(967) Cor. Il suit de ces définitions que toute section d’un cône ou d’un cône tronqué par un plan be perpendiculaire à l’axe, c.-à-d. (915) parallèle à la base ou aux bases, est un cercle, car, pendant que le triangle rectangle APS tourne autour de PS, la ligne a p perpendiculaire à PS, décrit un cerele, et ce cercle n’est autre chose que Ja section faite par un plan be perpendiculaire 4 l’axe au point p. Toute section passant par l’axe PS ou P p, est un triangle isocèle ASD double du triangle générateur APS ou un trapèze AD d a double du trapèze décrivant AP pa.
(968) Sco. Il est clair, comme pour le prisme et cylindre (954) que les côtés AS, BS, etc. de la pyramide sont dans la surface latérale du cône, la pyramide étant inscrite dans le cône, ou le cône inscrit à la pyramide ; et si le polygone servant de base À la pyramide était circonscrit au cercle servant de base au cône, la pyramide serait circonscrite au cône ou le cône inscrit dans la pyramide.
2° De même, pour le tronc de cône, les côtés À a, Bb du tronc de pyramide sont dans la surface latérale du premier et le tronc de pyramide peut être regardé comme inscrit au tronc de cône ou le tronc de cône circonscrit au tronc de pyramide, et si les bases polygones du tronc de pyramide
étaient circonscrites aux cercles servant de bases au tronc de cône, on aurait un tronc de pyramide circonscrit au tronc de cône ou tronc de cône inscrit au tronc de pyramide. Il est donc clair que le tronc de cône n’est autre chose qu’un tronc de pyramide régulière ayant pour bases parallèles des cercles (967).
(969) Déf. Deux cylindres ou deux cônes sont dits semblables, quand leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases,
(970) Déf. Deux prismes droits ou pyramides régulières sont semblables quand leurs bases sont des polygones semblables et leurs hauteurs respectivement proportionelles
aux côtés homologues de ces bases.
(971) Déf. Deux prismes ou pyramides quelconques sont semblables quand leurs bases sont des polygones semblables, leurs hauteurs proportionnelles aux côtés homologues des bases et les inclinaisons des divers plans composants égales dans chaque figure ; ou, en général :
(972) Déf. Deux polyèdres sont semblables lorsqu'il sont contenus par un même nombre de plans semblables, disposés de la même manière et ayant en conséquence entre eux (PROP. XIII, LIVRE IL.) des inclinaisons égales, à cause des angles plans correspondants des faces ou plans sembla-
bles de ces polyèdres.
(973) Déf. La diagonale d’un polyèdre est une droite reliant les sommets de deux angles solides non adjacents.
(974) Déf. La sphère est un solide terminé par une surface courbe dont tous l:8 points sont également éloignés d’un point intérieur appelé centre.
On peut la concevoir en- R gendrée par la révolution d'un demi-cercle DAM autour de son diamètre DM; car la surface décrite dans ce mouvement par la courbe DAM aura tous ses points H, F, etc. également éloignés du centre C.
(975) Déf. Le solide décrit dans le même mouvement par le secteur (192) DCF ou FCH, etc. est appelé secteur sphéri- . que. Celui que décrit le demi-segment (191) FOD ou AND et la demi-zone (202) ANOF est la calotte sphérique FDG, ADK et le segment sphérique AG, et la surface décrite par la circonférence AF, AD ou FD est la zone sphérique AG, ADK ou FDG.
des quelconques 8 polygones semx côtés homoloplans composants
bles lorsqu'il sont ablables, disposés quence entre eux 8 égales, à cause ou plans sembla-
e est une droite les non adjacents.
terrniné par une ralement éloignés
é secteur sphéri- .
1) FOD ou AND otte sphérique .G, et la surface FD est la zone
SOLIDES.—DÉFS., ETC. 361
(976) Déf. Le rayon d’une sphère est une droite CD, CF, ete. menée du centre à un point quelconque D, F, de la surface ; le diamètre ou axe DM est une ligne passant par le centre et terminée de part et d'autre par la surface.
Tous les rayons d’une sphère sont égaux, et tous les diamètres égaux, étant chacun double du rayon.
(977) Déf. Un plan RS est tangent à une sphère quand leurs surfaces respectives n'ont qu'un seul point commun D ; ce qui a lieu quand le plan est perpendiculaire à un rayon CD de la sphère à l'extrémité D de ce rayon, car (882) CD perpendiculaire au plan RS est perpendiculaire à toute ligne DB qu'il rencontre dans ce plan et tout autre point B du plan touchant, RS, donne CB, hypoténuse du triangle rectangle CDB,>CD, côté de ce dernier ; et par conséquent >CI et hors de la sphère.
Il est de même évident (476. 2) que deux sphères n’ont qu'un point commun et par conséquent se touchent, quand la distance entre leurs centres est égale à la somme ou différence de leurs rayons.
(978) Sco. 1. Le segment sphérique (975) est donc une partie de la sphère solide comprise entre deux plans parallèles et, de même, la zone (975) sphérique est une partie de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles ; car les demi-cordes génératrices FO, AN sont (410) perpen-
. diculaires au diamètre ou à l’axe DM, et par suite (882) les
plans FPE, AQL sont perpendiculaires à ce même diamètre et en conséquence (915) parallèles l’un à l’autre.
(979) Soo. 2. Les plans parallèles qui terminent les segment et zone qu’on vient de définir en sont les bases et quand la corde génératrice FO devient la tangente BD, et le plan PE, le plan RS, le segment et la zone n’ont dans ce cas qu'une seule base.
(980) Déf. La hauteur d'une zone ou d’un segment est la distance (889) entre les deux plans parallèles qui .en forment les bases.
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(981) Cor. L. Il suit du mouvement générateur (974) d’une sphére que toute section d'une sphère par un plan est un cercle ; car, il est clair qu'on peut supposer l'axe DM dans une direction quelconque dans la sphère et la demi-corde génératrice FO ou AN en un point quelconque de cet axe ; or la demi-corde perpendiculaire à l’axe dans toute sa révolution autour de ce dernier, engendre un plan (882) FPE, AQL et le point F, À, extrémité du rayon FO, AN, décrit dans ce plan la circonférence FPE, AQL.
(982) D'ailleurs, soit PE une section faite par un plan dans une sphère dont C est le centre. Du point C ayant mené (902) CO perpendiculaire à ce plan et les rayons CP, CE, CF, etc. à divers points de la courbe qui termine cette section ; les lignes obliques CP, CE, etc. sont égales, étant rayons de la sphère ; elles sont donc (902) également éloignées de la perpendiculaire CO ; donc les droites OP, OE, O etc., sont égales et la section PE est un cercle dont le centre est O.
(983) Cor. 2. Un grand cercle est une section qui passe par le centre de la sphère et son rayon étant égal à celui de la sphère, il suit que tous les grands cercles sont égaux.
(984) Cor. 8. Deux grands cercles se bissectent toujours mutuellement, car leur commune intersection passe par le centre et est en conséquence (976) un diamètre.
(985) Cor. 4. Il est clair que tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux parties égales ; car si on séparait les deux hémisphères pour les placer ensuite sur la base commune avec leurs convexités tournées dans le même sens, les deux surfaces coïncideraient entièrement, nul point de l’une étant plus près du centre qu’un point quelconque de l’autre.
(986) Cor. 5. Un petit cercle de la sphère est nne section qui ne passe pas par le centre; et il suit de la démonstration du par. (981) ou (982) que le centre d’un petit cercle et
générateur (974) hère par un plan ut supposer l'axe s la sphère et la point quelconque aire à l'axe dans ngendre un plan ité du rayon FO, PE, AQL.
faite par un plan Du point C ayant lan et les rayons ourbe qui termine , etc. sont égales, (902) également c les droites OP, st un cercle dont
section qui passe nt égal à celui de les sont égaux.
issectent toujours tion passe par le nètre.
nd cercle divise sgales ; car sion cer ensuite sur la ées dans le même rement, nul point point quelconque
re est une section la démoustration \ petit cercle et
SOLIDES.—DÉFS., ETC. 368
celui de la sphère sont dans une même ligne perpendiculaire au plan du petit cercle.
(987) Cor. 6 Les petits cercles sont d'autant plus petits qu’ils sont plus éloignés du centre de la sphère ; car, plus CO est grand, plus la corde FG, diamètre du petit cercle FPE, est petite (461).
(988) Cor. 7. On peut toujours faire passer un arc de grand cercle par deux points quelconques de la surface de la sphère ; car ces deux points, avec le centre de la sphère, font trois points qui déterminent (892) la position d'un plan; mais si les deux points donnés étaient à l'extrémité d’un diamètre, ces deux points et le centre seraient alors dans une seule et même ligne droite, et cette ligne pourrait servir de commune intersection à un nombre indéfini de grands cercles.
(989) Déf. La lune sphérique DAMBD est cette partie de la surface d’une sphère qui est comprise entre deux demi-grands cercles se rencontrant en un diamètre commun et sert de base à
(990) Déf. L’onglet sphérique DAMBD D qui est cette partie de la sphère solide comprise entre les mêmes demi-grands cercles.
(991) Rem. Le cylindre, le cône et la Ÿ sphère sont les trois corps ronGs dont traitent les éléments de la géométrie.
PROPOSITION I. THÉORÈME
(992) La surface convexe ou latérale AG+BH+etc. (940) d’un prisme droit AI est égale au périmètre AP+ BC+etc. de sa base AD ou FI multiplié par sa hauteur
AF; c.-d. qu'on aura la surface du prisme=(AB+BC+ CD+etc)XAF,
Car, les hauteurs AF, BG, etc. des faces composantes sont toutes égales à la hauteur AF du prisme et toutes ces faces sont (946) des rectangles ; d'où il suit que ABX AF+BCXBG+CDxCH +ete=(AB+BC+CD+etc)XAF. Ajontant à cette surface latérale, la double surface de la base AD, on aura la surface totale du prisme.
Rem. Il est à peine nécessaire de dire que la surface du cube (949) est sextuple de celle d’une de ses faces.
(9938) Cor. 1. On a vu que (951) le cylindre n’est autre chose qu'un prisme droit ayant pour base un polygone d'un nombre indéfini de côtés, c.-à-d. (665) un cercle; donc, la surface latérale d'un cylindre est égale au rérimètre ou à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur : et si à cette surface on ajoute celles de ses bases parallèles, on aura la surface totale du cylindre.
(994) Cor. 2. Si deux prismes droits ou deux cylindres ont même hauteur, leurs surfaces convexes seront entre elles comme les périmètres ou circonférences de leurs bases, et réciproquement si les périmètres ou circonférences des bases sont égales, les surfaces seront entre elles comme les hauteurs.
(995) Cor. 3. Les surfaces latérales de deux prismes droits quelconques ou de deux cylindres, sont entre elles comme les périmètres de leurs bases multipliés par leurs hauteurs respectives, c.-à-d. comme les produits de ces périmètres et hauteurs.
(996) Sco. L. La surface latérale d’un prisme quelconque AÏ est égale au produit de son côté AF par le périmètre d’une section LMNRS faite par un plan LR
isme=(AB+BC+
que la surface du de ses faces.
ylindre n’est autre un polygone d’un un cercle; donc, la
au rérimètre ou e par sa hauteur :
es bases parallèles,
ou deux cylindres rexes seront entre nférences de leurs ètres ou circonféfaces seront entre
de deux prismes es, sont entre elles aultipliés par leurs les produits de ces
1 prisme quelcon- 1 côté AF par le e par un plan LR
SOLIDES.—PROPS,, ETC. 865
perpendiculaire à l’un des, et par conséquent (908) à tous les côtés du prisme.
Car, LM, ligne dans le plan LR, est | perpendiculaire (882) à AF et égale TES y par conséquent (180) à la hauteur ou 4 largeur du parallélogramme AG ; on a de même MN perpendiculaire à BG, hauteur du parallélogramme BH, NR largeur du parallélogr. CI et ainsi de suite, et puisque AF=BG=CH=ete., il est clair que la surface latérale du
prisme=(LM+MN+NR-+etc.)x AF.
(997) Sco. 2. S'il s'agissait d’un cylindre oblique, c.-à-d d’une partie de cylindre comprise entre deux plans parallèles AD), FI non perpendiculaires à l’axe OP, il est clair que comme dans le cas du prisme oblique (996) on en obtiendrait la surface latérale en multipliant la longueur de son côté AF ou sa hauteur inclinée par le périmètre ou la circonférence d’une section LR perpendiculaire au côte ou à l’axe, cette section étant par la déf. (950) du cylindre, un cercle.
Rem. La méthode du par. (437) servira à trouver au besoin les surfaces AD, FI, des bases parallèles.
(998) Sco. 3. Et si la section LR n’était pas un cercle ; c.-à-d., si le solide AI ne formait pas partie d’un cylindre régulier, mais avait au contraire pour bases parallèles des figures curvilignes ou mixtilignes semblables quelconques et pour coupe perpendiculaire LR une figure analogue à celles des bases ; il est évident qu’on en obtiendrait tout de même la surface latérale en faisant le produit de son côté AF par
le périmètre de la section LR faite par un plan perpendiculaire à ce côté, le solide dont il s’agit n'étant autre chose qu'un prisme.
On aurait encore la surface totale du solide en ajoutant à sa surface latérale, la double surface d’une de ses bases que l’on obtiendrait par le procédé du par. (487).
(999) Cor. 4 Les surfaces latérales de deux prismes quelconques ou de deux cylindres obliques quelconques soit régulièrs (997) ou irréguliers (998) sont entre elles comme les produits des côtés ou hauteurs inclinées de ces solides par les périmètres des sections faites dans ces corps par des plans perpendiculaires aux dits côtés.
PROP. II. THÉOR.
(1000) Si les trois plans b 4; , b k, a d qui constituent un des angles solides d d’un prisme ai sont respectivement égaux aux trois, BF, BH, AD qui forment l’angle solide B d’un autre prisme AL, et sont situés d’une manière correspondante dans chaque figure ; les deux prismes seront égaux l’un à l’autre.
Car, ayant superposé K
la base ad à son égale
AD, ces deux bases F coïncideront ; mais les
trois angles plans ab 9,
cbg, abc qui forment
l'angle solide b sont
égaux aux trois ABG, A D CBG, ABC qui for- B
ment l'angle solide B, d et ils sont disposés de la même manière; donc (985) les angles solides à et B sont égaux ; donc le côté b 9 tombera sur son égal BG. Il est de plus évident, à cause des
plan perpendicutant autre chose
ide en ajoutant à de ses bases que 1).
> deux prismes ues quelconques sont entre elles urs inclinées de tions faites dans aux dits côtés.
i constituent un respectivement ent l’angle solide d’une manière s deux prismes
; donc (935) les Ôté bg tombera nt, à cause des
SOLIDES.—PROPS,., ETC. 367
parallélogrammes égaux bf, BF, bh, BH, que le côte gf tombera sur GF et 9 sur GH; donc (893) le plan fi de la base supérieure coïncidera avec le plan FI de la base inférieure. Maintenant les deux bases supérieures étant, par la déf. du prisme, égales à leurs bases inférieures, sont égales entre elles ; donc À coïncidera avec HI, ÿ 4 avec IK, etc. ; donc les faces latérales des deux prismes coïncideront, et les deux prismes coïncideront en entier et seront en conséquence (85 Ax.) égaux.
(1001) Cor. I. Si les trois plans a b 4, cb q, a d qui constituent un des angles solides à d’une pyramide abcde-q sont respectivement égaux aux trois ABG, CBG, AD qui contiennent l'angle solide B d’une autre pyramide ABCDE-G, et sont situés d’une manière correspondante dans chaque figure ; les deux pyramides seront égales l’une à l’autre.
Car, par la démonstr. du théor., on aura l’angle solide b=B et comme le sommet g tombera en G, les deux pyramides coïncideront entièrement et seront (85 Ax.) égales.
(1002) Cor. 2. Deux prismes droits ayant leurs bases et hauteurs respectivement égales, sont égaux. Car, le côté a b étant=AB et la hauteur b g—BG, le rectangle bf sera=BF ; de même, on aura le rectangle b A=BH ; et de cette manière les trois plans qui forment l’angle solide à seront égaux aux trois qui forment l'angle solide B. De là, les deux prismes sont égaux.
PROP. III. THÉOR.
(1003) Les faces opposées AI, BG de tout parallépipède AG sont égales et parallèles.
Par la déf, de ce solide (948), lea bases BD, FI sont des parallélogrammes égaux ot les côtés en sont parallèles. Il reste donc à démontrer qu'il en est ainai den faces latérales opposées AH, BG et AF, DG. Or, AD étant égal et parallèle à BC et AE à BE, on a (918) l'angle CBF égal à l'angle DAE et le plan CF parallèle au plan DE ; done le parallélogramme BG est égal et parallèle au parallélogr. AH; et on démontrerait tout de même l'égalité et le narallélisme des faces opposées AF, DG.
(1004) Sco. 1. Puisque le parallépipède est un solide borné par six plans, dont ceux qui sont opposés entre eux sont égaux et parallèier, il suit qu'on peut prendre pour bases du parallépipède, lune quelconque de ses faces avec celle qui lui est opposée.
(1005) Cor. Les diagonales d’un parallépipède se bissectent mutuellement. Car, soient menées les diagonales AG, EC relian: les sommets opposés À, G, E,C. Puisque AË est égale et parallèle (911) À CG, la figure AEGC est un parailélogramme ; done les diagonales AG, EC 8e bissectent (283) mutuellement, On démontrerait ainsi que les diagonales EC, DE se bisscctent ; done les quatre diagonpies se bissectent mutuellement en un même point qu'on eut regarder comme centre du parallépipède.
(1006) Sco. 2. L'intersection O des diagonalea est évisommot de six pyramides ayant pour bases s six faces du parallépipède et si le parallépipède était un eube il est elair (311) que ses quatre diagonales seraient égales, et les six pyramides seraient égales et régulières, ayant pour bases des carrés égaux et pour côtés on arêtes les demi-
demment Île
le
| Rx Ièle au plan DE ; et parallèle au de même l'égalité JG.
de est un solide )pposés entre eux eut prendre pour de ses faces avec
lépipède se bis- 6es les diag'onales 1, E,C. Puisque ure AEGC est un \G, EC se bissccait ainsi que les quatre diagonries point qu’on peut
jagonales est éviayant pour bases lépipède était un les seraient égales, lières, ayant pour \ arêtes les demi-
diagonales égales (1005) du solide ; car,
soit ABOD-8 une de ces pyramides, les
plans composants ABS, CBS, ABCD d'un
des angles solides B de cette pyramide sont égaux aux plans composants homologues de l'angle solide correspondant de toutes les autres, les bases étant toutes des carrés égaux, comme il a été dit, et les faces latérales des triangles isocèles égaux, à cause de AB—BC et de AS=BS=CS, De plus, ayant mené SP perpendiculaire au plan de la base, le pied P de la perpendiculaire sera (Dém. de 901) à cause de AS=BS=etc, également éloigné des points angulaires À, B, O, D du pol, rég. ABCD et la pyramide sera en conséquence régulière par la déf. (958) et aura pour hauteur la demihauteur SP du cube,
(1007) Soo. 8. Si ou a trois lignes droites AB, AT, AD, passant par un même point À, et faisant l’une avec l'autre des angles donnés, on peut former sur ces lignes un parallépipède. À cet effet, on mènera par l'extrémité de chaque ligne un plan parallèle au plan des deux autres lignes ; savoir : par le point B, un plan parallèle à DA, par le point D, un plan parallèle à BAE et par le point ÆE, un plan parallèle à BAD. Les intersections mutuelles de ces plaus formeront le parallépipède demandé,
PROP, IV. THÉOR.
(1008) Tout parallépipède AG est réduisible, c.-à-d, équivalent ou égal en solidité à un parallépipède rectangulaire de même hauteur et de base équivalente.
tds r cesser enmesenent À
WT0 GROMRTRIN,
Tous lon plans composnnte d'un parallépipède rectangulinire étant (B48) perpendiontaires entre eux, il ont À démontrer que lo puinllé.
pipôde oblique eat méduiaible À un parallépipède roetnngulnire de même base et de hauteur équivis lonte,
À cet etlot, ayant mené par lon droitua puinllôlos AB, DC lon plan A ?, Dy pérpondioutaires nu plan AO de ln bin dt en conréquence évidemment parallles entre eux, le ouvrent aolide À 9 roïn (Bd A9) un parallépipode et on nurn (BAS où P4Ë) ef, À y 'oapootivemont parallôlea À A, DC ot PRE CONRÉQUENT (PAL) parallôles À ER, HG 5 où nur de méme (BAY) A parallèle ot édulo À Dh ut domine Al val Hinal parallèle 66 égale À DIE, los doux Uianulos A 6, TD 4 auront QUO et M7) cpu, ot donneront Re I h\ lon parallé low mon KA 9 root done ÉLuUX, et donne lun pavallélogene, ER, UC gont aussi égunx (008! 6t lou triangles LA e HD égaux, los deux primes trangulairon ER, Co soront (1000) CLAUx ot loa parallépipèdon AG, À PAU) vonaCœqUenNLE gaux Lun À l'autre; ler too coniponantes A f, Do étant on méme temps, perpendioutairos, Par consth au plan AC de ln base,
Maintenant, Si los autres fhoos du parallépipède A y étaient toutes perpondieulaires entre clos, lo purallépipède sort tootangulaire ; mais ai elles ne l'étrient pas, on procéde: rait comme on vient de le thire, À 9 la réduotion du parallépipède À g K \ en un parallépipède équivalent | 4 9, en lui retranehant d'un eûté le prisme triangulaire À de pour lui ajouter de l’autre le prisme triangulaire égal Be j
parallèles AT, DC lan AO de ln bn \Voa entre oux, lo Hépipède ot on aura des À A, DCot + on ut de même one A cat num à \ [A \l D'À auront \ lun puralté login \uù lun prtallélog, innwlua LA e, D) h EU f, WC y Külont \ y on conséquence ton À 7, 9 étant one au plan AC
parallépipède À 9 w, le parallépipède nt pas, on procède:
KOLIDNA,. PROPA,, NTO, Ni
tof ai lon banon parallèles ee, eg n'étilont pa don roc:
danglon ou eo qui (B48) roviant au Moose f, dy N'étaient pa purs pendiculaires aux fon parut:
Laloa eh, bu, où réduimmitenuure le aolide eg en un paratlépipède équivalent ee en ui rotran chant d'un côté Le priame trim:
gututre de pour le reniplinour
même, al lon doux dernièron
| & g Ph 4
1 # | Ÿ 4 L Ent es | /
V4 af / n À , ï l
du côté opposé par le priame trinngnlnire égal a b lo qui ao Coralt on menant par lon droites ee, d'A les plans & à, d GA porpendientuiren au plan à h ou bg,
(1009) Autrement, On peut encore concevoir le parnllépl:
pède oblique AT réduit en un
on sa rappelant ce qui n été dit
nippon CONpPoRé d'une eérie infiniment mincon aupot post en lonunes nux nutron et en laiauntatianer (*)o08 tranches l'une sur l'autre parallèles meut À elles-mêmes juaqu'à de qu'elles rencontrent ut
> L'étudiant re fera une excellente idée de ve mouvement de tranches min con L'une aur l'autre en conaldérant lon fouilles auporposden d'un livre ouvert A que l'action de fornint le livre for glisser aur ellesæmémen juaqu'à ce que in fhoe oblique A devienne ln face perpendiculaire AC,
parnlépipède roctangulnire, nu pur, (119); e,-h.d,, en le do aurinces où de tranchon
D. eu OONMMR r
rame een
au plan AE ou PE de la base. Il est clair que de cette manière le parallépipède oblique AB deviendra le parallépipède droit AC, et si les bases parallèles PD, OF de ce dernier n'étaient pas des rectangles, on répéterait l'opération en prenant pour base une des faces rectangulaires AO ou AF du solide et en supposant encore le sol. composé detranches parallèles à cette base.
(1010) Cor. Deux parallépipèdes ayant une base commune ou des bases égales ou équivalentes situées dans un même plan et leurs bases opposées (parallèles) aussi situées dans un même plan, c’est-à-dire, (888) ayant même hauteur, sont équivalents.
PROP. V. THÉOR.
(1011) Tout prisme tringulaire ABC-EFG est moitié d’un parallépipède correspondant BH, c.-à-d. d'un parallé-
pipède décrit avec le même angle solide B et les mêmes cotés BA, BC, BF (1007).
Les côtés AE, CG tous deux parallèles (948) à DH, sont en conséquence (911) parallèles entre eux et le plan EC de ces parallèles divise le parallépipède BH en deux prismes triangulaires équivalents ACF, ACH; car AC, EG, diagonales des parallélogrammes BD, FH, partagent (270 et 281) ces bases égales (1003) en triangles égaux ABC, ACD, EGF, EGH ; de plus, les faces opposées BG, AH sont égales et les faces AF, DG aussi égales ; done les plans qui contiennent les angles solides B, H des deux prismes sont respective. ment égaux, et les angles plans correspondants de ces angles solides sont en conséquence égaux, savoir: ABC à GHIE, ABF à GHD et CBF à EHD; mais les plans composants
clair que de cette endra le parallépiles PD, OF de ce éterait l'opération gulaires AO ou AF mposé de tranches
nt une base comtes situées dans (parallèles) aussi lire, (888) ayant
-EFG est moitié .-à-d, d'un paralléle Bet les mêmes
gaux ABC, ACD, G, AH sont égales s plans qui contiennes sont respectivedants de ces angles ir: ABC à GHE, plans composants
SOLIDES.—PROPS., ETC. 373
des deux angles solides sont situés dans un ordre inverse dans les deux prismes et ces angles ne peuvent en con: séquence être superposés l'un à l'autre, mais n’en sont pas moins égaux par symétrie (986); on prouverait de même l'égalité des angles solides D, F ainsi que de ceux en C, E, et en À, G; les deux solides sont donc sous tous les rapports symétriques et équivalents l’un à l'autre, et par conséquent équivalents chacun à la moitié du parallépipède correspondant BH.
(1012) D'ailleurs, regardant le parallépipède comme composé de tranches infiniment minces ou (119) de surfaces superposées ; il est clair que le plan coupant AG intersectera chacune de ces surfaces BD, bd, FH, etc. dans sa diagonale respective AC, ae, EG, etc., partageant ainsi toutes les surfaces ou t:anches composantes en deux parties égales ABC, ADC, abc,ade, EFG, EHG, etc. et par suite le parallépipède lui-même aussi en deux parties égales.
(1013) Autrement encore, ayant H
fait passer par les sommets B, F, les {
plans ac, eg perpendiculaires au |
côté BF et par conséquent (915)
parallèles entre eux, le solide Bh sera (944. 8°) un parallépipède droit (946) équivalent à BH ; car on aura (912) a B, a d respectivement parallèles et égales à eF, eh, ce qui donnera a e=BF=AE et par conséquent «a A=e E; on aura aussi dh=BF=—DH cet par suite d Dh H et comme AD=EH et ad=eh, les plans composants & BA, ABD, Ad, eFE, EFH, ER des angles solides correspondants À, E des deux pyramides A d-B, EhA-F seront respectivement égaux et disposés dans le même ordre ; ces pyramides seront donc (1001) égales et le demi-parallépipède Bde=BDE; on prouverait de même l'égalité (de volume) des demi-parallépipèdes B 49, BDG;
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