RE ——— — == SE

mais les demi-parallépipèdes droits B de, Bd g sont égaux (1002) leurs bases B da, Bdce étant égales (270) et leurs hauteurs aussi égales ; donc (68 Ax.) les deux prismes triangulaires composants du parallépipède BH soit égaux.

PROP. VI. THÉOR.

(1014) La solidité (120) ou le volume d’un parallépipède rectangulaire AF est égale au produit de sa base DE par sa hauteur AC.

Pour comprendre la nature de ce mesurement, il est nécessaire de se rappeler (383) que le nombre d'unités linéaires Ce dans une dimension CE de la base, multiplié par le nombre d'unités linéaires Cd dans l’autre dimension CD de la base, donnera le nombre d'unités de surface dans la base DE du parallépipède, Pour chaque unité en hauteur Ca, il est clair qu’il y aura autant d'unités solides ou cubiques (24) db que d'unités de surface dans la base; d’où il suit que le nombre d'unités superficielles dans la base multiplié par le nombre d'unités linéaires dans la nauteur, donne le nombre d'unités de volume dans le parallépipède.

2° En d'autres termes, la solidité du parallépipède rectangulaire est égale au produit continu (41) de ses trois dimensions EC, DC, AC.

(1015) Sco. I. Cette mesure du parallépipède n’est absolue qu'autant que l’on suppose à l’unité de mesure d b ou à sa racine (40) ab certaine valeur définie comme celle d’un mètre, pied, pouce, ligne, etc. (384) ; dans ce cas l'unité de volume db vaudra un mètre, pied, pouce, ligne, etc. cubique

, Bd g sont égaux les (270) et leurs deux prismes tri- H soit égaux.

"un parallépipède e sa base DE par

du parallépipède.

clair qu’il y aura b que d’unités de > nombre d'unités nombre d'unités mbre d'unités de

du parallépipède 1 (41) de ses trois

ède n’est absolue Lesure d b ou à sa mme celle d’un ce cas l’unité de gne, etc. cubique

SOLIDES.—PROPS., ETC. 375

et le produit EC X DC X AC donnera évidemment le nombre de mètres, pieds, pouces, lignes, etc., cubiazes contenus dans le parallépipipède, c.-à-d. la solidité ov ie volume du corps dont il s’agit.

(1016) Sco. 2. Si l’on ne suppose pas à l'unité de mesure une valeur définie, le prrduit de la multiplication ne signifiera rien par lui même, puisque, etc. par. (835),

(1017) Sco. 8. Ki les trois dimensions d’un autre parallépipèdie sont divisées en unités linéaires égales à celle du solide dont il s'agit et multipliées ensemble la même manière, ies deux produits seront entre eux (886) comme les solides et serviront à exprimer leur volume, étendue, grandeur ou solidité relative.

(1018) Sco. 4, Le cube, ayant toutes ses dimensions égales, si le côté est 1, la solidite sera 1X 1X1=1 : si le côté est 2, la solidité sera 2X2X 2=8 : si le côté est 8, la solidité sera 3X3X 3—27 et ainsi de suite ; de là, si les côtés d’une série de cubes sont entre eux comme les nombres 1, 2, 8, etc. les cubes eux-mêmes ou leurs solidités ou volumes seront entre eux comme les nombres 1, 8, 27, etc. C’est de là qu'en arithmétique, le cube d’un nombre est le nom qu’on donne à un produit résultant de trois facteurs (23) chacun égal à ce uombre.

(1019) Sco. 5. S'il s'agissait de trouver un cube qui fût double d’un cube donné, le côté du cube requis devrait être à celui du cube donné comme la racine cubique de 2 est à l'unité. Il est facile par construction géométrique de trouver la racine carrée de 2 (810) ; mais on ne peut de même en trouver la racine cubique, au moins‘on ne peut le faire par les opérations de la géométrie élémentaire, qui consistent à n’employer que des lignes droites dans les quelles on connaît deux points, et des cercles dont les rayons et les centres sont déterminés.

Par suite de cette difficulté, le problème de la duplication du cube devint fameux parmi les anciens géomètres, ainsi

16 GSOMSÉTRIK,

que celui do la triseotion d'un angle (note, page 830) qui ont à pou près de ln même nature, On à vependant depuis longtompa découvert lou nolutionn dont ceu problèmes ont auaceptiblon, et quoique moins amples que lou conatructions do la géométrie élémentaire, ellen n'en nont pas pour cola moina rigoureuen où moins aatiathinanton,

(1090) Cor, & La nolidité d'un parallépipède et généraralement d'un prime quelconque ent égale au produit de na bane par na hauteur,

Car, en premier Heu, tout parallépipède eat (1008) équivalent Àun parallépipède rectangulaire avant la même hauteur ot une buse équivalente, Or ln solidité de ve dernier eat, par ln prop, égale à an base multipliée par an hauteur; de Là, ln aolidité du premier ost de même égale an produit de an base par aa hauteur, À

(OM) En second leu, tout priameo triangulaire eat (101) moitié du purallépipède de même hauteur et de base double de velle du priame: mais la solidité du parallépipède ont (O0) égale à sa base multiplie par au hauteur; de À, velle du priame triangulaire est ausni égale au produit de sn base, qui est moitié de vole du parallépipède, par sa hantour,

(OM) En troisième lieu, il est elair (907 et 894) quo tout prisme pout se diviser on autant de prismes triangulai: res de même hauteur qu'on peut former de triangles duns le polygone qui lui sert de base, Mais la solidité de chaque priame triangulaire est (OM) égale au produit de aa base par sa hauteur; ot cette hauteur étant la même pour tous los priames composante 11 suit que la somme de tous les prismes partiels doit être égale à celle de tous les triangles composants de là base, multipliée par la hauteur commune,

Done la solidité d'un prisme polygone quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur,

(1098) Cor, à La solidité du cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur; oùr, on a vu (91) que

ote, page #40) qui vopendant depuis veu problèmen nont » lou conatruotion dont pas pour cola

pipède et généraégale au produit

ipède ont (1008) vo avant la mêmo idité de ee dernier € par aa autour; gule au produit de

ugulaire eat (101) ot de base double parallépipède ont a hautour; do HA, Lo nu produit do en de, par aa hauteur,

(307 et 884) que rismes triangulai:

> triangles duns le vlidité de chaque nvduit de sn base mème pour tous umo de tous les tous los triangles huteur commune,

> quelconque est

re est égale au on à vu (961) que

SOLIDES, PROPS,, ETO, 977

lo cylindre n'eat autre chose qu'un prisme droit ayant pour buse un corele ot pour hautour lo oûté du eylindre ou ln perpondioulaire menée entre non banon parallèles,

(1094) oo, 6, Noit AT où R lo rayon do ln bune du cylindre, Fan hauteur y ln aurfhoë de ln bano oran #, R° ou + AB: on, ai l'on représente (671) par # ln ciroonféroncc du vorele dont le diamètre ont 1, alors, parce quo los cireon- (bronvos aont entre elles (BBD) comme lon rayons ou dinmdlos, on aura lo dinmôtre Là an ciroonféronce # comme lo dintudtro LAB oat À lu circonféronco dont lo rayon eat AB, dd, Limit LAB: oire, AB: done cire, A #X2A1, Multipliant de part ot d'autre par FAB, on à fABXoire. Abus AD où auvfuco A Best X AB: do là, la surfhoo du corole ent égale au produit du ourré du rayon pur le nombre constant # (3, 14109 ote,) qui représente ln circonférence dont le diumètro est 1 ou le rapport de ln olroontérence au diamètre,

On aura done pour base du oylindre l'expression x R°, \ n ‘ \ \ # R° où (80) # KR° ot pour aa solidité, RSC où # RH,

(1095) Soo, 7, Lu solidité du prisme Al est oncoro égale au produit de sa hauteur inolinée ou oôté Al ou BG où ete, par la aurfhoe d'une seotion «4 ou ji perpendioulaire à ce côté.

En etlot, ayant mené par les points B, Q, les plans a d, fi, tous doux pers pondioulaires À BG, le nouveuu solido ai sorn (044, 3°) un prisme droit /946), et ce prismo a t sera équivalent à AL: car les points D, G servent chacun de sommet à autant de pyramides que le prisme a de fnces latérales, moins deux, et ces pyramides sont respectivement égales deux À deux (Dém. du par, 1018) savoir : a E-B À ÎK-Q, eD-BA4I-G et d C-B À à H-6G (et ainsi de suite

si les bases AD, FI des prismes étaient des polygones d'un plus grand nombre de côtés); donc le solide f K iG qu'on retranche du prisme AI d'une part est égal en tout au solide a E d B qu’on lui ajoute d'autre part, étant composé d'un même nombre de pyramides égales disposées de la même manière dans chaque solide; donc le prisme a à est équivalent au prisme AI; or le prisme droit ai a pour mesure sa base a d multipliée par sa hauteur perpendiculaire BG ; donc aussi le prisme oblique AI qui est équivalent à «i a pour mesure sa hauteur inclinée ou son côté BG. multiplié par la surface d’une section a d ou fi perpendiculaire à ce côté.

(1028) Sco. 8. Le cylindre oblique (997) n'étant autre chose (951) qu’un prisme À base curviligne, on aura (1020) sa solidité en faisant le produit de sa base par sa hauteur ou (1025) le produit de son côté par la surface d’une section perpendiculaire à ce côté ; cette section étant, par la déf. du cylindre, un cercle.

(1027) Sco. 9. Et si le solide était celui du par. (998) on en obtiendrait tout de même la solidité par la méthode du dernier par., ce solide n'étant encore autre chose qu'un prisme.

(1028) Cor. 3. Comparant deux prismes ou deux cylindres, ou un prisme avec un cylindre, droits ou obliques et de même hauteur ; les produits des bases par les hauteurs ou les produits des côtés par des sections perpendiculaires à ces côtés, sont entre eux comme ces bases ou sections, et si les bases ou sections sont égales, les prismes et cylindres seront entre eux comme leurs hauteurs ; et si les bases ni les hauteurs ne sont égales, les solidités de ces corps seront entre elles comme les produits de ces bases ou sections par les hauteurs ou côtés de ces solides.

(1029) Cor. 4. Les prismes et cylindres droits et obliques dont les bases et hauteurs ou sections perpendiculaires et côtés sont réciproquement proportionnels, sont

les polygones d'un solide f K i G qu'on

gal en tout au soli-

tant composé d'un posées de la même sine «a à est équivaia pour mesure sa diculaire BG ; donc ivalent à ai a pour 3G multiplié par la ilaire à ce côté.

997) n'étant autre ne, on aura (1020) ase par sa hauteur r la surface d’une e section étant, par

i du par. (998) on par la méthode du autre chose qu'un

nes ou deux cyliniroits ou obliques les bases par les des sections pert comme ces bases ls sont égales, les

rs ne sont égales, elles comme les * les hauteurs ou

res droits et oblitions perpendicu- Dportionnels, sont

ux comme leurs

SOLIDES.—PROPS,., ETC. 279

équivalents, et s'ils sont équivalents, leurs bases et hauteurs ou côtés et sections sont réciproquement proportionnels.

PROP. VII. THÉOR.

(030) Les prismes triangulaires semblables CPB, cpb ont l’un à l’autre le rapport composé (81) des rapports BC:be, BD:46d, BA : ba, de leurs côtés ou autres lignes homologues ; c'est-à-dire sont entre eux comme les produits continus (41) BA x BCXBD, ba x b c Xbd, de ces côtés.

En effet, puisque les prismes sont semblables, les plans qui contiennent les angles solides homologues B,b sont (972, Déf.) semblables, et semblablement situés. Les angles solides B, b sont donc (935) égaux et étant appliqués l’un à l’autre, l’angle chd coïncidera avec CBD, le côté b a avec BA et le prisme c pb prendra la position cpB. Du point À menez AH perpendiculaire à la base commune des prismes ; le plan ABH sera alors (924) perpendiculaire au plan de la base commune. Par le point a, menez dans le plan ABH la droite a k, perpendiculaire à BH ou parallèle à AH et par conséquent (926 ou 908) perpendiculaire à la base BDO, et AH, a seront (945) les hauteurs des deux prismes.

Maintenant, à cause des triangles semblables ABH, « B À et CBD, cB d, et des parallélogrammes semblables AC, a e, on # AH:ah::AB:aB::BC:Bc::BD:B d; or les bases équiangles CBD, c B d sont entre eux (586) comme BCXBD à BcxBdet les prismes CPB, cpB sont eutre eux (1028) comme CBDXAH:cBdXah; donc, CPB:cpB::BCx BDX AB : BcxB dXa B.

ee me

RER

(1031) Cor. L Les prismes triangulaires semblables sont entre eux comme les cubes (36) de leurs hauteurs, côtés ou autres lignes homologues; car, les bases semblables des deux prismes donnent (552) base CBD : base c B d':: BC*: Bec” ; donc base CBD : base c Bd:: AH° : a h°, et multipliant les antécédents par AH et les conséquents par a }, on obtient (105\ base BODxX AH: base bcdxa h:: AH: a 5 :: BC : bc :: ete. ; mais la solidité du prieme est égale a sa base multipliée par sa hauteur (1020); donc, prisme CPB : prisme c p d:: AH° : ah° :: BOŸ : b c° :: AB° : a b?:: ete.

(1032) Cor. 2. En général, les prismes et les cylindres semblables quelconques, (le cylindre n'étant autre chose qu'un prisme) sont entre eux comme les cubes ou produits continus (41) üe leurs hauteurs, côtés rayons ou autres lignes homologues ; car, les prismes ou cylindres étant semblables, leurs bases sont (971) des polygones semblables composés (207) d’un même nombre de triangles semblables, semblablement situés ; les deux prismes ou les deux cylindres pourront donc se diviser en un nombre égal de prismes triangulaires, dont les faces seront semblables et disposées de même dans les deux solides ; donc les prismes triangulaires seront semblables ; mais ces prismes triangulaires sont entre eux comme les cubes ou comme les produits continus de leurs côtés homologues, et ces côtés étant proportionnels, les sommes des prismes triangulaires, c.-à-d. les prismes polygones eux mêmes et les cylindres seront entre eux comme les produits continus ou cubes de leurs côtés homologues.

PROP. VIII. THÉOR.

(1053) Si une pyramide AC-$S est coupée par un planac parallèle à sa base AC ; sa hauteur SO et ses côtés ou arêtes SA, SB, $ etc. seront divisés proportionnellement; et la section «a c sera un polygone semblable à la base.

aires semblables > leurs hauteurs, les bases sembla- CBD : base cB d::

AH :ah*, et mulnséquents par à À, sbedxah:: AH:

prisme est égale a D); donc, prisme : AB : a bŸ::ete.

, et les cylindres étant autre chose cubes ou produits rayons ou autres ju cylinâres étant ygones semblables ingles semblables, ou les deux cylinre égal de prismes lables et disposées 8 prismes triangumes triangulaires mme les produits t ces côtés étant iangulaires, c.-à-d.

s cylindres seront ou cubes de leurs

bée par un plan ac D et ses côtés ou bortionnellement ; able à la base.

En premier lieu, on aura S a: SA ::

Sb:SB::80:SO::etc.; car les plans parallèles AC, a c coupés par un troisième plan ASB donuent (912) ab parallèle à AB ; les triangles SAB, S a b sont done semblables et donnent (529) Sa:SA::8b:SB; on a de même Sb:

SB::8 c: SC::8 e: SE:: et ainsi de suite. De là les côtés SA, SB, $ etc.

sont coupés proportionnellement en a, b,e, etc. La hauteur SO est aussi coupée dans la même proportion en o; car BO et Bo sont (912) parallèles et donnent $S0 : So:: SB : S 0.

(1034) En second lieu, concevons la pyramide divisée par les plans ESB, DSB ; on aura (912) e b parallèle à EB et db parallèle DB et comme on a déjà a b parallèle à AB, les triangles semblables ASB, aS6, ESB, e$ 6, donnent ab:

AB::86:8B ct eb: EB::8b: SB ; d'où og obtient (75. Ax.)

ab: AB::e0: EB et alt. (94) ab:eb:: AB:EB. On prouverait de même que ab:ac:: AB : AE; les triangles a eb, AEB sont donc équiangles et semblables, leurs côtés étant, comme on vient de le voir, respectivement proportionnels l'un à l’autre. Un raisonnement analogue ferait voir que les autres triangles composants ed d, EBD, cbd, CBD sont respectivement semblables; les polygones ac, AC sont dono composés d’un même nombre de triangles semblables disposés de Ia même manière dans chaque fig. ; donc (207) ces polygones sont semblables ; donc, etc.

= ne NE A RON EN “M MERE 0 . CR D RD 2 RE, A A CS .

En ee 2 AC RD | MAS Û .

(1035) Cor. 1. Si deux pyramides AC-$S, XYZ-S de même hauteur, ou dont les bases AC, XYZ sontsituées dans un même plan et les sommets $S, S aussi dans un même plan parallèle au premier, sont coupées par un troisième plan parallèle aux deux autres, les sections a c, x y2 faites par ce plan seront entre

elles comme les bases; c.-à-d., les surfaces de ces sections seront proportionnelles à celles des bases ou ac:xyz:: AC: XYZ. Eneïfet, les polygones a c, AC étant par la prop, semblables, leurs surfaces sont (554) comme les carrés des côtés homologues a b, AB ; mais a b: AB::$ a : SA ; d'où, ac: AC::8a@:SA* Pour la même raison cyz: XYZ::S x": SX?2, Mais puisque ac, xyz sont dans un même plan parallèle à celui des bases et sommets on a aussi (922) Sa: SA::8x:SX; donc (75. Ax.) ac: AC::xæy2:XYZ ou alt, ac:æyz:: AC: XYZ; donc etc.

(1036) Cor. 2. Si les bases AC, XYZ de deux pyramides de même hauteur sont équivalentes, toutes sections ac, xyz de ces pyramides faites par des plans parallèles aux bases et à des distances égales de ces dernières, seront aussi équivalentc:.

(1037) Cor. 3. Deux pyramides de même hauteur et de bases équivalentes, sont équivalentes ou égales en volume; car, en concevant les bases de ces pyramides sur un même plan et les pyramides elles-mêmes coupées par des plans parallèles aux plans des bases, les sections correspondantes a ce, x yz seront égales (204) par le dernier corallaire. La même chose aura lieu pour toutes les sections correspondantes, faites par d’autres plans parallèles à celui de la base; donc puisqu'on peut (119) concevoir les pyramides divisées dans

ices de ces sections jouac:xyz:: AC:

étant par la prop, mme les carrés des :5 a : SA ; d'où, a c:

cyz:XYZ::S x":

ns un même plan | a aussi (922) S a:

xzyz:XYZ ou alt.

le deux pyramides outes sections ac, s plans parallèles de ces dernières,

ême hauteur et de ou égales en volupyramides sur un upées par des plans ns correspondantes orallaire. La même s correspondantes, de la base; donc aides divisées dans

SOLIDES.—PROPS., ETC. 353

tonte leur hauteur par des plans infiniment rapprochés l’un de l'autre et en conséquence composées de tranches ou sections d’une même épaisseur infiniment petite, et que ces sections sont en nombre égal, puisque les pyramides ont même hauteur, il est visible que ces pyramides sont égales.

(1038) Cor. 4. De deux pyramides AC-$S, XYZ-$S de hauteur égale et de bases équivalentes, les troncs compris par un même plan parallèle à celui de la base ou par des plans parallèles à ceux des bases et à des distances égales de ces dernières, sont équivalents ou égaux en volume ; car, par le dernier cor. la pyramide a c-$ est équivalente à la pyramide x y z-$ et comme les pyramides entières AC-$, XYZ-$ sont aussi égales par le même cor. ; il suit que si des pyramides entières on retanche les pyramides partielles, les restes, c.-à-d. les troncs AC-b et XZ-y seront équivalents.

PROP. IX. THÉOR.

(1039) La surface latérale ou convexe d’une pyramide regulière AD-S est égale au périmètre de sa base AD multiplié par sa demi-hauteur inclinée SF,

En effet, dans la pyramide régulière le point P où la perpendiculaire SP rencontre la base est (959) le centre du pol. rég. AD ; et (555, 2°) les rayons PA, PB, P eto. du pol. sont égaux entre eux. Dans les triangles rectangles SPA, SPB, SP etc., les côtés sont donc égaux et les hypoténuses SB, SC, Setc. en conséquence égales (811). Les triangles ASB, BSC, ete. qui composent la surface latérale de la pyramide sont donc égaux entre eux puisque leurs côtés sont égaux et leurs bases AB, BC, etc.

aussi égales. Mais la surface le l’un quelconque ASB de ces triangles est égale (844) à sa base par la demi-perpendiculaire SF qui est (960) la hauteur inclinée de la pyramide ; de là, la surface de tous les triangles composants ou la surface latérale de la pyramide est égale au périmètre de sa base par sa demi-hauteur inclinée.

(1040) Cor. L La surface convexe d’un tronc A De de pyramide régulière AD-S$ est égale à la demi-somme des périmètres de ses bases supéreure et inférieure a d, AD multipliée par sa hauteur inclinée f F.

Car, la section a d est semblable (1034) à la base AD et cette base étant un polygone régulier, il suit que a b=bc= cd=etc. De plus, on a (912) ab, bc, etc. respectivement parallèles à AB, BC, e.*. La surface latérale du tronc de cône est donc composée des trapèzes (172) égaux AB b a, BC c b, etc. et la hauteur perpendiculaire f F de tous ces trapèzes est égale, puisqu'elle n’est que la différence entre les hauteurs égales des triangles composants ASB, BSC, etc. etaSb,bSc, etc. des pyramides régulières AD-S, ad-$; mais la surface d’un de ces trapèzes, comme AB ba, est (346) égale à }(AB+ab)XfF; de là, la surface de tous ces trapèzes ou la surface latérale du tronc est égale à la demisomme des périmètres des bases inférieure et supérieure multipliée par la hauteur inclinée du tronc.

(1041) Cor. 2. On a vu (961) que le cône n’est autre chose qu’une pyramide régulière ayant pour base un cercle ; donc, la surface latérale du cône est égale au périmètre ou à la circonférence de sa base par son côté ou (962) sa hauteur inclinée.

(1042) Cor. 8. La surface latéra-

le du tronc de cône Beest égale

1elconque ASB de * la demi-perpendiée de la pyramide ; composants ou la au périmètre de sa

un tronc AD-e de demi-somme des inférieure a d, AD

4) à la base AD et 1 suit que a b=bc=— etc. respectivement térale du tronc de ) égaux AB ba, BC de tous ces trapèzes nce entre les hau- S ASB, BSC, etc.

res AD-S, ad-8; comme AB ba, est surface de tous ces est égale à la demieure et supérieure

SOLIDES.—PROPS., ETC. 886 .

au produit de son côté ou de sa hauteur inclinée À a par la demi-somme des circonférences de ses bases parallèles BE, be; car, le tronc de cône n’est autre chose (968 2°) qu'un tronc de pyramide régulière, et tout ce qui est vrai du tronc de pyramide, l’est également du tronc de cône.

(1043) Cor. 4. Soient K, G, les points milieux des côtés 0 0, D d du trapèze générateur (966) O d du tronc de cône; GK sera (825)=(O0D+0 d) et puisque (557 et 559) les cir-

conférences des céroleé sont entre elles comme les rayons, on a cir. GK=4(cir. OD+cir. o d) ; donc la surface convexe du tronc de cône est égale à son côté multiplié par la circonférence d’une section à distances égales de ses bases parallèles.

(1044) Sco. L. Si une ligne Dd située entièrement du même côté de la droite O o.et dans le même plan, tourne autou' de l’axe Oo, la surface décrite par D d aura pour mesurc (1043) D dX(cir. O ea od) ou D dXcir. KG, les

lignes OD, od, KG étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de D d sur l'axe Oo; car, si l'on prolonge © o, D d jusqu’à ce qu'elles se rencontrent en $, il est évident que la surface décrite par D d est celle d’un tronc de cône ayant pour rayons respectifs de ses bases les droites OD, o d et pour sommet du cône entier le point S. Donc, etc.

Cette mesure vaudra toujours, même quand le point o tombera en $S, formant aïnsi un cône complet, ou encore quand la ligne D d sera parallèle à l'axe, formant »insi un cylindre. Dans le premier cas 0 d n'aurait aucune valeur et dans le second cas l’on aurait o d—OD=KG.

(1045) Sco. 2. Soit L le côté d’un cône, R le rayon de sa base; la circonférence de cette base sera (671) 2r.R, et la surface du cône sera 27RX 4L, ou x RL.

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PROP. X. THÉOR.

(1048) Toute pyramide triangulaire ABC-F est le tiers d’un prisme trianguluire ABC-DEF de même base et dé même hauteur.

Menez le plan FAC qui enlèvera du prisme la pyramide ABC-F'; il restera la pyramide quadrangulaire ACDE-F ayant F pour sommet et pour base le parallélogramme AD.

Menez la diagonale EC et le plan EFC qui partagera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triaugulaires ACE-F, DCE-F. Ces deux dernières ont bases égales ACE, DCE dans un même plan et ont même hauteur (la perpendiculaire abaissée du sommet F sur le plan AD de la base) ; ces pyramides sont donc (1037) équivalentes. Mais les pyramides DCE-F et ABC-F ont bases égales ABC, DEF et même hauteur, savoir, la perpendiculaire monée entre les bases parallèles ; de là, les deux pyramides sont équivalentes. Or, on vient de voir que la pyramide DCE-F est équivalente à ACE-F; donc les trois pyramides ABC-F, ACE-F, CDE-F qui composent le prisme BED sont toutes équivalentes l’une à l’autre. Donc la pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur.

(1047) D'ailleurs, on a vu (1006) que le cube peut être décomposé en six pyramides égales entre elles et chacune par conséquent équivalente à la sixième partie du cube ou au tiers du demi-cube, c.-à-d. au tiers d’un prisme ayant pour base, la base de la pyramide ou du cube et pour hauteur la hauteur de la pyramiüe ou (1006) la demi-hauteur du cube. Or, (1037) les pyramides dont les hauteurs sont égales et les bases équivalentes sont .elles-mêmes équiva-

ABC-F est le F de même base

B ns un même plan baissée du sommet

mides sont donc DCE-F et ABC-F auteur, savoir, la allèles; de là, les vient de voir que ACE-F; donc les qui composent le À l’autre. Donc nême base et de

le cube peut être e elles et chacune partie du cube ou d’un prisme ayant cube et pour hauÿ) la demi-hauteur les hauteurs sont es-mêmes équiva-

SOLIDES, —PROPS., ETC. 887

lentes ; et (1028) les prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases ; donc si ces bases sont équivalentes, les prismes eux-mêmes seront de volume égal; donc, toute pyramide est le tiers d’un prisme de même hauteur et de base égale ou équivalente.

(1048) Cor. L. Il suit du par. (1046) que la solidité d’une pyramide triangulaire est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

(1049) Cor. 2. Il suit du par. (1047) que la solidité de

toute pyramide est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

D'ailleurs, on arrive encore à cette conclusion sans l’aide du par. (1047) en supposant la pyramide dont il s’agit divisée en pyramides triangulaires ABE-S, DBE-S, etc., par des plans ESB, DSB passant (893) par ses arêtes opposées ES, BS, etc. ; cette construction donnera autant de pyramides partielles que le pol. AC contient de triangles et ayant toutes une hauteur commune SO. Mais chacune de ces pyramides composantes a pour mesure (1048) le tiers du produit de sa base par sa hauteur; de là, la somme des pyramides triangulaires ou la pyramide polygone entière AC-$ aura pour mesure le tiers du produit de la somme des bases partielles par la hauteur commune; donc, etc,

(1050) Cor. 3. Le cône n'étant (961) qu’une pyramide, sa solidité est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

(1051) Cor. 4. Toute pyramide est le tiers du prisme de même hauteur et de même base; conclusion déjà établie au par. (1047).

(1052) Cor. 5. Tout cône est le tiers du cylindre de mêmes base et hauteur.

a me + cire me RE =

Dee cm. tie nee nn creme

se à