H+HI+IP+PA
nd cercle est égale
le demi-rayon ou face d’une sphère s; on à 47.ON* ou
e est égale à sa ence d’un grand
s la même sphère elles comme leurs ace de la sphère
diamètre de la
jà été dit que les elles comme les omologues de ces zones semblables rayons ou lignes es dont ces zones
SOLIDES.—PROPS., ETC. 897
PROP. XIV. THÉOR.
(1075) La solidité d’une sphère est égale à sa surface multipliée par le tiers de son rayon.
En effet, regardant encore comme ligne droite la partie indéfiniment petite AB de l’arc générateur de la sphère et OT en conséquence (667) comme rayon de la si l'on prolonge AB jusqu’à ce qu'elle rencontre en H l’axe prolongé GH de la sphère, le triangle OBH composé des triangles rectangles ONB, HNB, décrira (963) pendant la révolution du périmètre générateur, des cônes qui (1052) les tiers des cylindres correspondants nos les rectangles RN, SN, et le triangle OAH composé des triangles OMA, HMA décrira des cônes qui seront les tiers des cylindres correspondants décrits par les rectangles PM, LM. Le solide décrit par le triangle AOB sera donc égal à la différence des solides ou double-cônes décrits par les triangles OBH, o4E, et ces double-cônes sont entre eux (1053) comme BN° à AM”, c.-à-d. (557) comme les surfaces des cercles décrits par les rayons BN, AM autour de l’axe commun OH; or, ces solides out respectirement pour mesure (1050) surf. BNX4OH (ou ON +NH) et surf, AMX30H (ou OM+MH) ou (1024) rBN°X4OH et rAM*X40H; done, le solide aura pour mesure x (BN?— AM*)X}OH. Mais (370) BN°—AM*—(BN-+AM) x (BN— AM)= (847) 21KXBQ; donc la mesure du solide dont il s'agit est rX2IKXBQX4OH, ou ce qui est la même chose xIKXBQXOH (2X+4 étant=?) ; or, le triangle AOB étant isocèle et OI par conséquent (286) perpendiculaire
a AB, les triangles semblables OIH, AQB donnent BQ: OI :: AB : OH; d'où, ABXOI=—BQXOH, mais ABXOI=2 surf. AOB; de là, on a BQXOH=2 surf. AOB; donc le solide décrit par AOB est encore=37 XIK x 2AOB, ou 4rx AOBXIK, ou ce qui est la même chose AOBX £circ. IK, 4rIK étant=3 cire. IK. Donc le solide décrit par le triangle AOB a pour mesure la surface de ce triangle multipliée par les 4 de la circonféreucs décrite par le point milieu I de sa base.
Maintenant, les triangles AQB, OKI sont (323) semblables et donnent la proportion AB:
AQ ou MN::0I:IK ; , d'où, ABXIK—MNXOI & 0 NKME H et le volume du solide est encore égal (*) à 47X OF MN, c.-àa-d. aux # du produit continu de x par le carré de la perpendiculaire OI menée du centre à la base AB, par la distance MN entre les deux perpendiculaires tombant sur l’axe.
Mais, par hyp. AB est partie de la demi-circonférence génératrice de la surface de la sphère et OI est le rayon de la sphère; le solide décrit par le triangle AOB est donc le secteur sphérique (975) décrit par le sectenr AOB du demicercle générateur de la sphère solide ; or, on prouverait tout de même que le volume du secteur sphérique décrit par B0C ou par AOF=—37Xx OI XON ou 47XOI°XMEF, et la somme des secteurs sphériques composants est égale à lasphère; donc le volume de la sphère—3rOI*X(FM-+MN+N0-+06G) ou gr OL XFG qui est encore égal'à krOI°X2FG ; mais OL est
(*) L'étudiant verra que 4 7 x OI? x MN = AOB x 3 cire. IK, car AOB=} AB x OI; d'où il suit que AOB x $ circ. IK = 4AB x OI x 4 cire. IK=par transp. 4AB x IK x % circ. OI, et puisque AB x IK :: MN x OJ, on a 4ABx IK x % cire. OI= 4 MN x OI x 3 cire. OI= 4 MN x 3 cire. OL? = 4MN x #T O= MN x 37. 0 = 97T.OI ‘MN. .
donnent BQ:
ais ABXOI=2 \OB; donc le 2AOB, ou 47X OBx cire. IK, . par le triangle
multipliée par milieu I de sa
NKME H à 47XxOT MN,
carré de la perase AB, par la res tombant sur
mi-circonférence est le rayon de AOB est donc le AOB du demiprouverait tout > décrit par BOC F, et la somme à lasphère; donc +NO+06G) ou ; mais OT est
.IK, car AOB=} OI x 4 cire. IK.= par x OT, on a 4ABx re. OL = YMN x 4T
la surface d’un grand cercle ; donc la solidité de la sphère est égale à celle d’une cône ayant pour base un grand cercle et pour hauteur le double diamètre de la sphère.
Substituant à FG son égal 2OF, on a pour la solidité de la sphère grOF* XOIou (à cause de OI=OF) #7OF2xO0F qui est égal à 47OF*X3OF. Mais 4rOF* est égal (1072) à la surface de la sphère ; de là, la solidité de la sphère est égale à sa surface multipliée par le tiers de son rayon.
(1076) Autrement. On peut encore concevoir la sphère composée d’un nombre indéfini de pyramides ayant chacune pour base une partie assez petite de la surface de la sphère pour qu'on puisse la considérer comme étant sensiblement une surface plane ; le sommet commnn de toutes ces pyramides étant au centre de la sphère et l’ensemble ou la somme de leurs bases égale à ia surface de la sphère. Or, chacune de ces pyramides est égale (1049) au produit de sa base par le tiers de sa hauteur, c.-à-d. par le tiers du rayon de la sphère ; donc la somme de toutes ces pyramides est égale au produit Je la surface entière de la sphère par le tiers de son rayon ; ma'° la surface de la sphère est ‘égale (1072) à quatre de ses grands cercles ; donc la solidité de la sphère est égale au produit de quatre de ses grands cercles par le tiers du rayon, ou au quadruple du produit d’ur de ses grands cercles par le tiers du rayon, ou au produit des # du rayon par un grand cercle.
(1077) Sco. 1. La solidité de tout secteur sphérique est égale au produit de la zone qui en constitue la base, par le tiers du rayon ; car la mesure du secteur est, par la prop. =}7 OF?XMN qui est égale à 27 OFXMNXYOF. Mais 27 OF est (1024) la circonférence d’un grand cercle de ln sphère et cette circonférence multipliée par MN donne (1073) la surface de la zone qui forme la base du secteur ; et la preuve s'applique également au secteur sphérique
décrit par le secteur circulaire AOF ou par BOC, DOA DOF, etc. ; donc, etc. ‘
(1078) D'ailleurs ; cette conclusion dérive aussi immédiatement du par. (1076) ; car le secteur, comme la sphère peut se décomposer en pyramides ayant leurs sommets au centre de la sphère et la solidité du secteur est égale à la somme de ces pyramides, c.-à-d., à la somme de leurs bases (zone de la sphère) multipliée par 1e tiers du rayon.
(1079) Sco. 2. PROB. Déterminer le volume d’un onglet sphérique ADBF'A et la surface de la lune qui lui sert de base.
Il est clair que ce volume et cette surface sont tous deux en raison directe de la valeur ou grandeur de l'angle DCF qui mesure (878) l'inclinaison mutuelle des deux plans ADB, AFB qui contiennent l'onglet. En effet, si l'on suppose que l'onglet et la sphère entière soient divisés par un nombre indéfini de plans ayant pour intersection commune le diamètre AB et que tous les angles d’inclinaison ECF, FCG, etc., de ces vlans soient égaux (50 et 51) entre eux, l’onglet et la sphère solide seront de cette manière divisés tous deux en unités égales de volume et de surface, c-.à-d. en un nombre d'onglets partiels ARBFA, AFBGA égaux, et leurs surfaces respectives en un nombre correspondant de lunes égales; car, par superposition, du demi-grand cercle (983) AGB d'un de ces onglets au demi-grand cercle ègal AEB d’un des autres, l’autre plan AFB du premier tombera sur le plan correspondant ADB du second, à cause des inclinaisons égales DCE, FCG de ces plans, et comme (974) nul point de la lune ou base du premier n’est plus ou moins éloigné du centre © de la sphère qu’un point quelconque du second, les deux surfaces tomberont entièrement l’une sur l’autre et les onglets coïncideront dans toutes leurs parties et seront
re aussi immé- »mme la sphère ‘urs sommets au r est égale à la .e de leurs bases 1 rayon.
me d’un onglet ne qui lui sert
H mbre indéfini de e diamètre AB et CG, etc., de ces x, l’onglet et la igés tous deux en .d. en un nombre , et leurs surfaces de lunes égales; brele (983) AGB gal AEB d'un des bera sur le plan des inclinaisons e (974) nul point ou moins éloigné
onque du second, une sur l’autre et 8 parties et geront
SOLIDES.—PROPS., ETC. 401
en conséquence égaux. Or, la section DHG .des droites DC, EC, FC, etc., est (900) un plan, à cause de AB perpendiculaire (878) à chacune d'elles ; de plus, ce plan est (981) un cercle et (423) les angles au centre sont proportionnels aux arcs qui les sous-tendent et aux nombres respectifs d'unités de mesure qu'ils contiennent, et chacune de ces unités correspond, comme on vient de le voir, à uneunité de volume et de surface ; donc l’onglet est à la sphère entière comme l'angle qui le contient est à 4 angles droits ou (427) comme l'arc qui mesure cet angle est à la circonférence entière, et la surface de la lune qui en est la base est aussi à celle de la sphère dans le même rapport.
Pour résoudre le prob., il suffira donc d'établir (Dém. de 720) le rapport de l’angle d’une lune ou d’un onglet donné à 4 angles droits. On fera ensuite les surface et volume de la sphère entière qu’on divisera dans le rapport ainsi trouvé, pour avoir la surface de la lune donnée et la solidité de l'onglet. |
(1080) Cor. 1. Deux lunes ou deux onglets sphériques sont l’un à l’autre comme leurs angles respectifs.
(1081) Cor. 2. Le volume d’un onglet sphérique est égal au produit de la surface de la lune qui en est la base, par le tiers du rayon.
D'ailleurs, il est clair que l'onglet, comme la sphère, peut se décomposer en pyramides ayant pour sommet commun le centre de la sphère et dont la somme des volumes est égale à la somme des surfaces de leurs bases, si petites qu'elles soient, multipliée par le tiers de la hauteur de ces pyramides, c.-à-d. par le tiers du rayon.
(1082) Sco. 1. Le volume d’une partie quelconque de la sphère solide contenue par un nombre indéfini de plans passant par le centre de la sphère, est égal (1076) à la surface sphérique de cette partie multipliée par le tiers du rayon; car, quelle que soit la forme de la surface sphérique, elle pourra se subdiviser en triangles ou poly-
gones assez petits pour qu'on puisse les regarder sensible. ment comme surfaces planes et en obtenir en conséquence les surperficies par les règles (437) applicables à ces surfaces ; or ces faces seront les bases d'autant de pyramides ayant pour sommet commun le centre de la sphère et pour hauteur commune le tiers du rayon; donc, etc.
(1083) Sco. 2. Si du secteur et de l’onglet sphériques, ou même de la sphère entière, ou d’une partie quelconque (1082) de la sphère comprise par des plans passant par le centre, on enlevai: une partie par une section parallèle à la surface spi: ;ur ‘le ces solides, il est clair d’après ce qui a déjà été dit : ; suje: des troncs de pyramides, qu’on obtiendrait les volumes de ces solides ou troncs de solides (*) en faisant la différence des volumes des solides entiers et partiels ; or les surfaces de deux sphères sont (1074 2°) comme les carrés. de leurs rayons respectifs, et les surfaces sphériques des solides dont il s’agit sont évidemment des parties correspondantes ou homologues des surfaces des sphères dont ils font partie, et par suite, proportionnelles elles-mêmes aux surfaces de ces sphères ou aux carrés de leurs rayons ; on aura donc pour expression du solide dont il s’agit AXYR—aX4r, À et « étant les surfaces sphériques respectives des bases inférieure et supérieure du solide et KR, r les rayons respectifs des sphères entière et partielle dont le solide entier et le solide partiel font partie. On . aurait aussi surf. a: surf. A ::r° : R° eta=Axr°.
(1084) Soo. 3. Puisque les surfaces des sphères sont (1074) entre elles comme les carrés de leurs rayons, diamètres, ou autres lignes homologues, et que leurs solidités sont (1075) par la prop., comme leurs surfaces multipliées par leurs rayons ; il suit que les solidités des sphères sont entre elles comme les cubes de leurs rayons, diamètres ou autres
(*) Un obus où une partie quelconque d’un obus comprise par des plans passant par le centre de la sphère dont l’obus fait partie, fournit l’idée des solides dont il s’agit dans ce paragraphe.
rdor sensible-
conséquence ces surfaces ; amides ayant pour hauteur
phériques, ou ie quelconque assant par Île | parallèle à la après ce qui a qu’on obtien- > solides (*) en les entiers et sont (1074 2°) et les surfaces videmment des a surfaces des roportionnelles
aux carrés de du solide dont hces sphériques re du solide et re et partielle nt partie. On
ères sont (1074) | diamètres, ou tés sont (1075) liées par leurs res sont entre mètres ou autres
prise par des plans e, fournit l'idée des
SOLIDFS.—PROPS., ETC.
lignes homologues, et il est de plus évident que les solidités de toutes parties homologues ou semblables des sphères sont entre elles comme les cubes des rayons, diamètres, ou autres lignes homologues de ces sphères.
(1085) Sco. 4. Soit R le rayon d’une + ag sa surface sera (1072) 4 7 R° et sa solidité 47 R°X4R ou ‘rR°. Soit D le diamètre, on aura R=3D et R°=4 D; d' où la solidité de la sphère peut encore s'exprimer $TX# D} x D°.
(1086) Sco. 5. On a vu (1072) que la surface d’une sphère MNPQ est égale à quatre de ses grands cercles, et la surface latérale du cylindre circonscrit AC est égale (993) à Ja circonférence de sa base AB par sa hauteur AD ; or cotte base est évidemment égale à un grand cercle de la sphère et cette hauteur au diamètre de la sphère ; donc la surface latérale ou convexe du cylindre est égale à quatre grands cercles ou sa surface entière à six
grands cercles ; la surface de la sphère est donc à celle du cylindre circonscrit comme 2 est à 8.
2° De plus, la solidité de la sphère étant égale à sa surface par le tiers du rayon, et cette surface elle-même égale à quatre grands cercles, il suit que la solidité de la sphère est égale à quatre cônes ayant chacun pour base un grand cercle et pour hauteur ie rayon de la sphère ou ce qui est la même chose à deux cônes ayant pour base un grand cercle et pour hauteur le diamètre de la sphère ou la hauteur du cylindre circonscrit; or le cône est (1052) le tiers du cylindre circonscrit et la sphère par conséquent vaut les 4 du cylindre circonscrit. Les solidités du cône, de la sphère et du cylindre sont donc entre eux comme 1: 2 :8.
3° Les solidités de la sphère et du cylindre circonscrit étant entre elles comme 2:38 et les surfaces de ces corps
aussi comme 2:8; il suit que les solidités de ces corps sont entre elles comme leurs surfaces.
(1087) Sco. 4. Concevez un polyèdre dont toutes les faces soient tangentes à la sphère; ce polyèdre peut être regardé comme composé de pyramides ayant toutes leur sommet au centre de la sphère et pour bases les faces du polyèdre ; or il est évident que toutes ces pyramides ont pour hauteur commune le rayon de la sphère; de là, chaque pyramide sera égale en solidité à une face du polyèdre maultipliée par le tiers du rayon, et le polyèdre entier sera égal en solidité au produit de sa surface par le tiers du rayon de la sphère inscrite. Il est donc évident que les solidités des polyèdres circonscrits à la sphère sont entre elles comme les surfaces de ces polyèdres. Ainsi, la propriété dont on x démontré la vérité dans le cas du cylindre circonscrit s’entent également d’une infinité d’autres corps.
2° On aurait pu aussi tirer directement du par. (663) que les surfaces des polygones circonscrits au cercle sont entre eux comme les périmètres de ces polygones.
PROP. XV. THÉOR.
(1088) Tout segment (975) d’une sphère a pour mesure la demi-somme de ses bases parallèles multipliée par sa hauteur EF, plus la solidité d’une sphère ayant pour
diamètre cette hauteur.
Il est clair que le segment sphérique est composé du cône tronqué eugendré par la révolution du trapèze BEFD et du solide engendré par la révolution du segment de cercle BMD. Menez au centre C de la sphère les rayons BC, DC et aux lignes DF, BD, les perpendiculaires BO, CI.
ces corps sont
toutes les faces it être regardé eur sommet au u polyèdre; or t pour hauteur aque pyramide multipliée par égal en solidité n de la sphère des polyèdres omme les surjété dont on « circonscrit s’en-
u par. (663) que au cercle sont >olygones.
> a pour mesure multipliée par ère ayant pour
NX
En premier lieu, la solidité du cône tronqué décrit par DE est (1063) égale à 4 r.EF (BE?+DF*+BE.DF).
(1089) En second lieu, le volume du solide décrit par le segment BMD est égal à la différence entre le secteur sphérique décrit par le secteur BCD et le solide décrit par le triangle isocèle BCD; or (1077) le secteur vaut 3rCB°.EF et le sol. décrit par le triangle a pour mesure 47CI°.EF de là, le solide décrit par le segment=37CB°.EF—37C LEF ou #7 (0B*—CI)EF. Maintenant le triangle rectangle CIB donne CB?—CI*—BI*=}BD*; de là, le sol. décrit par le segment BMD a pour mesure 37. }BDŸ%EF ou 4x BD°EF c.-à-d. le produit continu de #7 par le carré de la corde BD par la distance EF entre les perpendiculaires BE, DF abuis sées des extrémités de la corde sur l'axe.
(1090) Sco. Le solide décrit par le segment BMD est à la sphère qui a BD pour diamètre comme 47.BD°.EF : 4 xBD° ou comme EF à BD; car BD°.EF : BD° ù ..
M (ouBD”.BD)::
(1081) En troisième lieu, le segment dont il s'agit, et qui, comme on vient de le voir, est équivalent à la somme du cône tronqué et du sol. décrit par le segment BMD), a pour mesure 47.BD°.EF+47.EF (BE°+DF°+BE.DF) ou 4rEF. (2BE°+2DF°+2BE.DF+BD*) car il est clair qu }(BE°+DF*+BE.DF)=4 (2BE°+2DF"+2BE.DF) Mains tenant, menant BO parallèle à EF, on aura DO=DF-BE d où DO*=DF*-—2DF.BE+BE? (865) ; et en conséquence, BD'=B0%+DO*=EF?+DF#—2DF.BE+BE?. Mettant cette valeur de BD° à la place de BD° dans l'expression 4r.EF (CBE°+2DF°+2BE.DF+BD?) de la solidité du segment, supprimant les quantités +2BE.DF, —2BE.DF qui e détrui. sent, On sara pour solidité du segment 4x EF. (8BE°?+8DF* +EF”), expression que l’on peut décomposer en deux parties ; l'une, àr.EF. (8BE°-+-3DF°) ou EF. (x.BE°--n.DE?), c.-à-d,
la demi-somme des bases multipliée par la hauteur; l’autre, k x EF,EF®? ou \rEF la sphère dont EF est (1085) le diamètre ; done, etc. (57).
(1092) Cor. Si l'une ou l'autre des deux bases est nulle, le segment dont il s'agit devient uno calotte (975) sphérique, ou un segment sphérique n'ayant qu'une soule base ; de là, tout segment sphérique À une senle base est équivalent À la moitié du cylindre de même base et hauteur que le segment, plus la sphère ayant pour diamètre cette
hauteur.
PROP. XVI. THÉOR.
(1093) Le volume d’un tronc ABC-DGF ou ABC-DGH de prisme triangulaire ABC-DEF, c.-à-d., d'un prisme triangulaire dont on a enlevé une partie DEFG ou DEFHG, par un plan DGF ou DGIT non parallèle à la base ABC du
prisme, est égal au produit de sa base par le tiers de la somme des hauteurs de ses côtés ou arêtes, ou des perpendiculaires DP, GP, FP ou DP, GP, HP abaissées des sommets D, G, F, ou D, G, IH, du tronc sur le plan de la
base.
En premier lieu, pour ce D EEE qui est du tronc ABC-DGF SZ qui a deux AD, CF, de ses r' côtés égaux et le troisième côté BG moindre que chacun des deux autres, la différence DEFG entre le tronc et le prisme entier, n’est autre chose qu’une pyramide triangulaire ayant pour base la base DEF du prisme et pour sommet le point G; or le volume du prisme — (1020) surf. ABCxX DP (ou EP ou FP)=ABCX4%(DP+EP+FP) et le volume de la
tuteur ; l’autre, est (1085) le
lieux bases est o calotte (975) it qu'une soule , senle base est base et hauteur diamètre cette
F ou ABC-DGH d., d'un prisme FG ou DEFHG, la base ABC du ar le tiers de la îtes, ou des per- P abaissées des r le plan de la
al
C pe
pp laire ayant pour
met le point G; . ABCXDP (ou
le volume de la
SOLIDES.—PROPS., ETC. 407
pyramide == (1049) DEF (ou ABC)X}(EP—GP) ou E 7; d'où il suit que le vol. du tronc =ABCX4(DP+EP+FP —Æ£ q) ou, ce qui est la même chose : vol, ABC-DGF=ABC x 4 (DP+GP+FP).
(1084) En second lieu, la diflérence entre le prisme entier et le tronc ABC-DGH dont deux BG, CH, des côtés sont égaux ou inégaux entre eux, mais chacun d'eux moindre que le troisième côté AL), est la pyramicie quadrangulaire EFHG-D qu'on réduira (1087) en une pyramide triangulaire équivalente EFK-D, en remplaçant (292) par untriangle équivalent EFK, le quadrilatère EFHG qui lui sert de base. Mais la pyramide EFK-D peut être considérée comme ayant pour base ia base DEF du prisme et pour sommet le point K,
Soit 9 k=G 4, FP—HP=F 1=GK, à cause de GK=FI par construction (292); on aura E g+F A=Eg+g4k=E kæhauteur de la pyramide DEF-K ; or vol. DEF-K=DEF (ou ABC)X#E 4=DEFxX#(Eg+F A) et le volume’ du prisme entier étant ABCX4(DP+4EP+FP), il restera, comme auparavant, pour vol. du tronc, ABCXY4 (DP+GP+HP).
(1095) Sco. L. Il est clair, d’après ce qui a été dit au par. (1025) que le volume du tronc de prisme est encore égal au tiers du produit de la somme de ses trois côtés AD, BG, FC, ou AD, BG, CIT par la surface d’une section perpendiculaire à ces côtés.
2° Il est de même évident que l’on prendrait indifféremment ponr base du tronc, le plan DGF ou DGH et pour hauteurs, les perpendiculaires abaïissées des sommets À, B, CC, sur ce plan.
(1096) Sco. 2. Le volume d’un parallépipède tronqué AG est égal au produit de sa base ABCD par la demisomme des hauteurs EP, GP ou FP, HP de deux de ses côtés non adjacents AE, CG ou BF, DEL. (*)
(*) Dans la pratique, les surfaces EFGH étant rarement des plans parfaits, il vaut mieux prendre la moyenne des quatre hauteurs que la demi-somme de deux seulement de ces hauteurs.
En effet, la section, par le plan EFGH, du parallépipède dont le tronc fait partie, est (912) un parallélogramme dont les diagonales EG, IF se bissectent mutuellement (283) en O; et parce que les droites EP, GP et FP, HP sont perpendiculaires (945) à un même plan ABCD, et par conséquent (910) parallèles entre elles, les figures EPPG, FPPH sont (894) des figures planes, et ces figures soat (172) des trapèzes.
Menant OP perpendiculaire au plan de la base et par conséquent parallèle à EP, FP, etc, OP sera (825) la moyenne ou demi-somme des hauteurs EP, GP, ainsi que de celles FP, HP, des côtés correspondants du tronc ; or, le vol. du prisme tronqué ABD-EFH=(par la prop.) ABDX# (EP+FP+HP), le vol. du tronc BOD-FGH=BCDX # (FP +GP+IIP) et parce que (FP+HP)=(EP+GP) à cause de OP commune aux deux trapèzes FPPH, EPPG, il est clair que la somme des volumes des deux troncs composants =(ABD+BCD) x 4(EP+GP,=ABCDXY(EP+GP)=ABCD X+4 (FP+IHP)=AG.
Il est a peine nécessaire de remarquer que toute autre position du plan de section EFGIT autour du point O (OP demeurant constant) donnerait le même volume.
(1097) Sco. 8. Il suit assez directement du dernier par. que le volume d’un tronc de prisme ayant pour base un polygone régulier quelconque ou toute auire figure ACE capable d'être divisée par une diagonale ou un diamètre AD, BE, etc.
en deux figures égales (203 DÉF.)
ABCF, DEFC est égal à sa base multipliée par la demi-somme des hauteurs de deux quelconques F,C ou
elles, les figures 1es, et ces figures
le la base et par P sera (825) la , GP, ainsi que de du tronc ; or, le la prop.) ABDX# +H=BCD X $ (FP +GP) à cause de EPPG, il est clair oncs composants
P+GP)=ABOD
que toute autre
du point O (OP plume.
du dernier par.
nt pour base un utre figure ACE
SOLIDES.—PROPS., ETC. 409
À, D, etc. de ses côtés opposés, ou de deux autres points opposés quelconques G, TH, à cause de } (A+D)=0=+(B+E) =} (G+H)=+# etc.
On peut aussi dire de tout tronc de prisme do cette espèce, que son volume est égal À la surface de sa base (supérieure ou inférieure) par la porpendiculaire abaissée du point milieu O de sa base opposée sur le plan de la première ; énoncé, qui s'applique également à tout tronc de parallépipède.
(1098) Sco. 4. En générul, on fera le volume d’un tronc de prisme quelconque, en calculant séparément (1093) celui de tous les troncs de prismes triangulaires composants, pour prendre ensuite la somme de ces volumes. (*)
(1099) Sco. 5. Le cylindre droit ou oblique n'étant uutre chose qu'un prisme ayant pour section AB un cercle ou polygone infinitaire, et pouvant se diviser par un plan CDNR, GHKL, ete., en deux demi-cylindres ou demi-prismes égaux, ot ses bases, en figures
(*) Rem. Si l'étudiant était d’abord tenté de croire que l'on dût arriver au volume d’un prisme quelconque, comme on le fait pour un tronc de parallépipède ou de tout autre prisme ayant pour bases des figures divisibles par un diamètre en parties égales, c.à-d., en prenant pour hauteur moyenne la demi-somme des hauteurs de deux de ses côtés opposés ou, ce qui est ln même chose, le quotient de la somme des hauteurs de tous ses côtés par le nombre de ces côtés ; il lui suffira de considérer le cas d’un tronc de prisme ayant pour base un quadrilatère irrégulier ABCD, pour s'apercevoir que la règle applicable au tronc de parellépipède ne peut donner qu’un résultat plus où moins approximatif.
En effet, il est clair que si, pendant que la sur. face ADC, par exemple, excède ABC, on a «à à même tempe la hauteur DB, cette plus grande bi \ | surface affectée de la plus grande hauteur, donnera =. au tronc composant ADC un volume plus grand
égales RKN, RLN ou LKN, LKR, etc.; il suit que l'on obtiendra le volume d’un trone CE de cylindre droit ou oblique, en multipliant la surface de sa base par la demisomme OP de sa moindre et de sa plus grand: hauteur FP, EP ou des hauteurs de deux points L, K situés aux extrémités d’un même diamètre quelconque LK ; ou ce qui est (1026) la même chose, en fuisant le produit d’une section AB perpendiculaire à son axe par la demi-somme O0 de ses côtés CF, DE ou HK, GL, etc., l'onglet LKNE qu'on enlève du tronc, d’une part, étant évidemment égal en tout à celui LKRF qu'on lui ajoute d'autre part.
(1100) Soo. 6.
Le coin À, B, C, est un solide ayant pour base abcd un rectangle et dont l'arête ef (parallèle à a d'et à bc) est plus grande que ad
(fig. A), plus petite que ad (fig. B), ou égale à ad (fig. C). Les solides A, B ne sont donc autre chose que des prismes triangulaires tronqués, et le sol. O, un prisme triangulaire entier (on un demi-parallépipède) dont les volumes sont respectivement égaux (1095) à la surf. d’une section o mn, perpendiculaire aux côtés parallèles du solide, X 4 (a d+b c+ef).
que celui qu’on obtiendrait en faisant entrer en compte la moindre hauteur B, c.-à-d. en multipliant la base ADC par le quart de la somme des quatre hauteurs À, B, C, D ; et de même, si pendant que la base ADC excède ABC, on a D<B, il est non moins évident que le vol. du tronc composant ADC affecté de la moindre hauteur du point D, sera plus petit que celui que donnerait le produit de la base ADC par une moyenne à la ques la plus grande hauteur B aurait servi d'élémen,
De plus, la somme des volumes des troncs cGmposants ADC, ABC ou DCB, DAB, étant tantôt plus grande et tantôt moindre que le volume que l’on obtiendrait en faisant le produit de la base ABCD par le quart de la somme des hauteurs des quatre côtés À, B, C, D; il arrivera quelquefois que la plus grande base affectée d’une moindre hauteur donnera un résultat exact.
suit que l'on ndre droit ou e par la demiand: hauteur K situés aux ue LK ; ou cv > produit d’une la demi-sommie onglet LKNE idemment égal e part.
grande que ad eàad (fig. C).
que des prismes me triangulaire 8 volumes sont lectiono mn, per-
& (a d+b c+ef).
k Ja moindre hauteur a somme des quatre e ADC excède ABC,
bne composant ADC petit que celui que
e à la quelle la plus
sants ADC, ABC ou
que le volume que ‘D par le quart de la ivera quelquefois que donnera un résultat
SOLIDES.—PROPS., ETC. 411
Or, surf. omn—m n ou a‘b, largeur de la base, par 40 p, perpendiculaire menée d’un point quelconque o de l'arête e f au plan a c de la base. L'expression, surf. om n x 4 (a d+be+ ef) peut donc se traduire : & (ad+bc+ef)xabxop, ou @ cause de a d=b c) & (2ad+efXo à Xo p}.
(1101) Sco 7. Le prismoïde rectangulaire B d est un solide dont les bases opposées AC, ac sont des plans parallèles et des rectangles à côtés parallèles. Le prismoïde se décompose en deux coins ou troncs de prisme triangulaire ABCD-6 c et abcd-AD.
Soient M et N, m et n, S et s les longueurs et largeurs respectives de la base inférieure AC, de la base sup. ac et d'une section EG à distances égales des bases parallèles et elle même parallèle à ces bases et soit À la hauteur du solide ; on aura par le dernier par. : vol. B d=}(2M+mx NXh)+4(2m+Mxnxh) ou, ce qui est la même chose, 4h @MXN+mXN+2 mXn+MXn) ; mais (825) S=} MFm ets—kN+n, ce qui réduit l'expression pour le volume du prismoïde à (MXN+mxn+48xs)X#h; car, après avoir retranché MXN+mxXn, il reste MXN+mXN+mxn+MXn, ou M+nXN et M+mxn, ou M+mXN+n, c.-à.d. 28X25s ou 4SXs8. Pour obtenir le volume du prismoïde rectangulaire, il faut donc à la somme des surfaces de ses bases parallèles, ajouter 4 fois la surface d’une section parallèle à demi-distances entre ces bases, multiplier le
tout par la hauteur du solide et prendre la 6ième partie du résultat, ,
412 GÉVUMÉTRIE.
(1102, Sco. 8 Le volume d’un prismoïde quelconque (*) ABCDE -abcde,c.-à-d. d'un solide ayant pour bases parallèles, des figures planes quelconques AD,
a d, à côtés parallèles
AË,ae DE,de AB,ab etc., est égal au 6ième du produit de sa hauteur ou de la distance perpendiculaire qui sépare ses bases parallèles par la somme des surfaces de ses bases plus quatre fois la surface d’une section parallèle à demi-distance entre elles.
Car les deux bases peuvent se réduire en triangles correspondants BCD, bcd BDE,bde ABE,abe et chacun de ces triangles en deux ou plusieurs triangles rectangles ABH,abh EBH,ebh GDE,gde ete. Maintenant, il est clair que chacun des solides cou posants ABH-a b }, EBH-eb#, etc. peut être regardé comine un demi-prismoïde rectangulaire, et puisque (78. Ax.) les moitiés sont comme les t uts et que ce qui est vrai de chaque prismoïde :riangulaire composant, l’est également de la somme de ces solides, il suit que la règle prur obtenir le vol. du prismoïde rectangulaire s'applique ‘:‘“éremment à tout autre prismoïde quelconque.
