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(1058) Cor. 6. Deux pyramides ou deux cônes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et ceux de même base, comme leurs hauteurs.

(1054) Cor. 7. Les pyramides et les cônes sont entre eux comme les produits de leurs bases et hauteurs.

(1055) Sco. L. S'il s'agissait de la solidité d’un cône oblique be-S$, c.-à-d., d’un cône BE-S dont on aurait retranché un onglet ou partie ABE-d par un plan be incliné à l'axe SO du cône, il est clair que l'on obtiendrait encore cette solidité en faisant (437) le produit de sa base curviligue be par sa hauteur &P, ce cône n'étant autre chose qu’une pyramide oblique.

(1056) Soo. 2. Et si la section du cône par un plan ac perpendiculaire à son axe, n'était pas un cercle ; c.-à-d. si le solide be-S ne formait pas partie d'un cône régulier, mais avait au contraire pour base une figure curviligne ou mixtiligne quelconque et pour section ac une figure analogue à celle de la base, on regarderait encore ce solide comme une pyramide dont on obtienderait la solidité comme il a déjà été dit.

(1057) Sco. 8. On peut arriver à la solidité d’un corps polyèdre quelconque en divisant ce corps en pyramides par des plans menées par un même angle solide ; dans ce cas, le polyèdre sera divisé en autant de pyramides partielles que le solide a de faces, moins les faces composantes de l'angle solide dont partent les plans de section; mais si on fait passer tous les plans par un point quelconque situé à l’intérieur du solide, il y aura alors autant de pyramides composantes que de faces composantes dans la surface entière du polyèdre, et comme la solidité de chacun: de ces pyramides sera égale à la surface de sa base (face du

cônes de même ases, et ceux de

nes sont entre t hauteurs.

oblique.

par un plan ac n cercle ; c.-à-d., n cône régulier, re curviligne ou ie figure analogue ce solide comme lidité comme il a

idité d’un corps en pyramides par e; dans ce cas, le :s partielles que le santes de l'angle , mais si on fait pnque situé à l’in- | pyramides com-

la surface entière

chacun: de ces sn base (face du

SOLIDES.—PROPS., ETC. 389

polyèdre) par sa hauteur (perpendiculaire menée du sommet commun de toutes les pyramides au plan de la base de chacune d'elles) il est clair qu’on arrivera à la solidité du polyèdre dont il s’agit en faisant la somme des solidités de toutes les pyramides composantes.

(1058) Sco. 4. Il est à peine nécessaire de remarquer que pour arriver à la surface latérale d’une pyramide ou d'un cône oblique, il y aura à déterminer séparément celle de toutes les faces latérales composantes du solide et à en prendre la somme, et si le solide était de la nature de celui du par. (1056) le même procédé conduirait encore infailliblement au même résultat, la surface latérale plane, courbe ou mixte du solide pouvant toujours être considérée comme composée d’un nombre plus ou moins grand de triangles aboutissant à un scmmet commun et ayant pour bases les côtés plus ou moins grands du .polygone ou de la figure plane servant de base au solide, et pour côtés les arêtes ou côtés du solide.

(1059) Sco. 5. On obtiendra la surface d’un polyèdre quelconque en faisant la somme des surfaces de toutes ses faces composantes.

(1060) Sco. 6. Soit R le rayon de la base d’un cône, H sa hauteur ; la solidité du cône sera rR°X4H ou 7R°H.

PROP. XI. THÉOR.

(1061) Le tronc de pyramide FHG-f 4 À compris (956) entre deux plans parallèles, est équivalent à la somme de

trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur

du tronc, et pour bases, la base inférieure du tronc, la base supérieure et une moyenne proportionnelle entre les

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deux bases. Séparez par le plan F 9H (892) la pyramide triangulaire FGH--c ayant pour base la buse inférieure du tronc et pour hauteur celle du tronc, le sommet g étant dans le plan de la base supérieure.

Cette pyramide enlevée, il restera la pyramide quadrangulaire FH à f-g ayant pour base le quadrilatère F À et g pour sommet. Par les points f, 9, I, menez un plan qui divisera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires F f H-y, fhH-g. Cette dernière a pour base la base supérieure f gh du tronc et pour hauteur la hauteur du tronc, parce que son sommet H est dans la base inférieure. On connaît donc déjà deux des pyramides qui composent le tronc.

Il reste à considérer la troisième pyramide F f H-9. Ayant mené K g parallèle à f F, concevons une nouvelle pyramide F f H-K ayant K pour sommetet pour base le triangle F fH; ces deux ‘pyramides sont équivalentes (1037) ayant même base FfH et même hauteur, car les sommets g, K sont situés dans une même droite 9 K parallèle à fFet par conséquent (887) parallèle au plan de la base et (884) à des distances perpendiculaires égales de cette base. Mais la pyramide FfH-K peut être regardée comme ayant son sommet eu f, et sa hauteur sera de cette manière égale à celle du tronc; il reste donc à démontrer que sa base FKH est moyenne proportionnelle entre les bases FGEH, fg; or, les triangles FHK, f 9 k ont chacun un angle égal en F, jf; de là (586) FHK:f9h:: FKXFH:fgXfh; maïs à cause des parallèles, FK=f9, douc FHK :fgh::FH:fh; on a aussi FHG : FHK :: FG:FK ou fg; mais les triangles semblables FGH, fgh donnent FG:f9::FH:fh; d'où FGH: FHK :: FHK :fgh; c.-à-d. que FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGEH, f 94. Donc, etc.

jour sommet. Par visera la pyramide ingulaires F f H-, ase supérieure f g À rone, parce que son

On connaît donc le tronc.

ide F f H-g. Ayant nouvelle pyramide e le triangle FfH; 1037) ayant mème sommets g, K sont allèle à fFet par base et (884) à des ette base. Mais la comme ayant son e manière égale à

que sa base FKH ses FGH, fgh; or, angle égal en F, j; fh; mais à cause h:FH:fh; ona s les triangles sem- L:fh; d'où FGH:

t moyenne propor- . Donc, etc.

SOLIDES.—PROPS., ETC. 391

On a vu (1088) que le tronc de pyramide triangulaire est équivalent au tronc de pyramide polygone de même hauteur et de base équivalente; cette proposition dont on vient de démontrer la vérité dans le cas d’un tronc de pyramide triangulaire est donc vraie pour un tronc de pyramide quelconque.

(1062) D'ailleurs, on peut aussi déterminer le volume d’un tronc de pyramide AC b en faisant le volume de la pyramide entière AC-S$ et retranchant le volume de la pyramide partielle ac-S. A cet effet, ayant prolongé deux quelconques À a, B 6 des côtés du trone donné jusqu'à leur rencontre en S et mené SO perpendiculaire au plan de la base ; SO sera (957) la hauteur de la pyramide entière, S 0, celle de la pyramide partielle et Oo, celle du tronc; or on a vu (1083) que l: section a b c parallèle à ABC donne AB:ab::SA :Sa::S0:80o et div. (96) AB-ab:ab::S80—$S0o:$80, où AB—ab:ab::00:$S0o, ce qui donnera (1049) le volume du tronc—surf. AC X4SO (ou Oo+$S0o)—surf. acX4S 0.

(1063) Cor. 1. Le tronc de cône compris entre deux plans parallèles est égal en solidité à la somme de trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases, la base inférieure du tronc, sa base supérieure et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases; car, comme on l’a vu (968) le tronc de cône n'est autre chose qu'un trone de pyramide régulière ayant pour bases parallèles des cercles. Soit OA le rayon de la base inférieure du tronc de cône, o a celui de sa base supérieure et O o sa hauteur ; on aura (1024) pour surface de la base inf. x OA”, pour surface de la base sup. rod? et pour moyenne proportionnelle entre ces bases TOA X 0 a; l'expresson de la solidité du tronc sera donc 40 ox OA?, z+4 0 ox 04. r+#0 oXAOXao.r, ou ce qui est la même chose, 4 70 ox(OAŸ+ 0&+OA X 0 a).

(1064) D'ailleurs, on aura encore le volume du tronc de cône en faisant la différence des volumes du cône entier et du cône partiel dont on obtiendra la hauteur en faisant AO—ao:0a::00:80 et on aura 8 O=S 0+- Oo; AO, ao étant les rayons des bases parallèles. |

(1065) Sco. L. S'il s'agissait de la solidité du tronc d’un cône oblique, on ferait tout de même la différence des volumes (1055) des cônes obliquesentier et partiel dont on aurait encore les hauteurs respectives enfaisant AO—a0 :

ao::Pp:Sp ou AP—ap:ap::Pp:Sp et SP=Sp+Pp; AO, ao ou AP, ap étant évidemment des lignes homologues formant partie des droites parallèles (912) AB, ab (prolongées s'il le faut) que déterminera dans les bases parallèles du tronc un plan SBP passant par l’axe SO du cône et par la perpendiculaire SP qui en est la hauteur.

Il est clair aussi (1062) que toutes autres lignes homologues quelconques BC, be des deux bases parallèles donneraient BC—bc:bc::Pp:Sp. ,

(1066) Sco. 2. Et si le tronc Ba était celui du solide du par. (1056) ou aurait encore son volume égal à la diffé. rencé des volumes du sol. entier et du sol. partiel, et les hauteurs de de ces solides en faisant BC—bc:6c::Pp:Sp, et SP=Sp+Pp; BC, bc étant comme auparavant deux lignes homologues quelconques des bases parallèles du tronc.

(1067) Sco. 8. Prob. Déterminer le volume d’un tronc de pyramide ou d’un tronc de cône AC c dont les bases AC, ac ne sont pas des plans parallèles.

8 formant partie des ées s’il le faut) que tronc un plan SBP perpendiculaire SP

»s lignes homologues rallèles donneraient

ait celui du solide plume égal à la difté- \ sol. partiel, et les —be:bc::Pp:Sp, le auparavant deux bases parallèles du

volume d’un tronc AC c dont les bases S.

Ayant prolongé deux quelconques A a, Bb des côtés du tronc de pyramide jusqu'à leur rencontre en $, sommet commun des pyramides entière et partielle, on mènera dans le plan A b la droite ae parallèle à AB.

On aura alors AB—ae:ae::Aa:aS et Aa: AS::ao:SP, les droites a 0,

SP étant (975) toutes deux perpendi-

culaires au plan de la buse AC et par

conséquent (910) parallèles entre

elles. On mènera ensuite Sp per-

pendiculaire au plan, prolongé s'il

le faut, de la base ac et on aura le

volume du tronc=surf., ACX4SP—surf. acx&Syp. Si le point $ était inacessible, on mènerait d’un point quelconque n du côté a S une perpendiculaire nr au plan de la base ac. Il est clair (910) que n r serait alors parallèle à S p et toutes deux perpendiculaires à la commune intersection ap d’un plau $ pa perpendiculaire (924) au plan a c, ce qui donnerait, dans les triangles rectangles semblables anr, a Sp, an: aS:inr:Sp.

(1068) Pour ce qui est du tronc de cône, il y aurait à prendre sur le périmètre de sa base inférieure, deux points quelconques A, B, et à déterminer sur sa surface latérale, la direction de deux droites A a, B b qui étant prolongées, se rencontreraient au sommet commun $S des deux cônes. A cet effet, il suffirait d'appliquer à la surface latérale du tronc une ligne droite À a, Bb passant par le point A, B et touchant dans toute sa longueur à cette surface, comme le fait (968 2°) le côté A a, Bb du tronc de pyramide inscrit. On établirait encore les lignes requises À a, B b en appliquant à la surface convexe du tronc en A et B, respectivement, une surface plane, comme serait (968 2°) une des faces du tronc de pyramide circonscrit, et qui à l'endroit de son contact

nee D - À

avec le périmètre de la base supérieure du tronc, déterminerait un point a, b, dans la direction requise AS, BS. On a meintonant dans le triangle ASB, la base AB ct les angles adjacents A, B, pour trouver AS et par suite aS=AS—A a, et les triangles rectangles semblables À 0 a, APS donnent A a: oa:: AS: PS. Enfin on aura comme auparavant an:nr::af: S p et volume du tronc=æsurf, AC X 4 SP—surf. acx4S p.

PROP. XII. THÉOR.

(1069) Les pyramides semblables AC-S$, « c-S ont l’une à l’autre le rapport composé des rapports AB : «a b, BC: be, BS : bS, etc. de leurs oôtés, hauteurs, ou autres lignes homologues, c'est-à-dire sont entre elles comme les produits continus BA x BOCXBS, b a x bcx bS de ces côtés, ctc,

En effet, puisque les pyramides sont semblables, les angles solides au sommet sont contenus par un même nombre de plans semblables, disposés de la même manière et par conséquent (972) également inclinés entre eux; on pourra donc fuire coïncider ces angles solides et les deux pyramides seront alors disposées, comme dans la fig., de manière à avoir l'angle solide au sommét S coimmun.

Dars cette position, les bases AC, ac seront parallèles, à cause des faces semblables ABS, abS, BCS,bcS, qui donnent : angle Sab=—SAB et Sbc=SBC ; de là le plan ac est (919) parallèle au plan AC. Cela posé, SP étant la hauteur de ls pyramide AC-S ot S p celle de la pyramide ac-S, on aura (1083) SP : 8 p::SB:80:: AB:ab::BC:bc; or les bases équiangles AO, ac sont entre eux (586) comme BAXBC:baxbe, car les triangles équiangles ABC, abc, ont entre eux (586, ce rapport et ces triangles sont (207) des

1 tronc, détermiuise AS, BS. On AB et les angles a S=AS—A a, ct PS donnent À a:

vantaninr::a:

rf. acX4 Sp.

S, « c-S ont l’une >rts AB :a b, BC:

ou autres lignes | comme les prode ces côtés, etc,

eront parallèles, à BCS, bcS, qui de là le plan ac

osé, SP étant la

le de la pyramide

B:ab::BC:be; eux (586) comme angles ABC, abc, ples sont (207) des

SOLIDES.—PROPS., ETC. 395

parties correspondantes ou des sous-multiples égaux des bases AC, a c ; et les pyramides AC-S, a c-S sont entre elles (1054) comme les bases multipliées par les hauteurs ; donc ces pyramides sont aussi entre elles comme SBXABXBC: SbXabxbe.

(1070) Cor. Les pyramides et les cônes (qui no sont autre chose que des pyramides) semblables, sont entre eux comme les cubes de leurs hauteurs, côtés, rayons ou autres lignes homologues ; car, les bases semblables AC, ac sont entre elles comme les carrés AB°, @ b? des côtés homologues :: SB° : S 4° :: SP°: 8 p° :: AP*: a p° et multipliant les antécédents et conséquents par SP, Sp, on a baso ACXSP : base acxS p:: SP: 8 p°:: SB°: 8 L°:: AB: a D: AP3:ap'::ete. ou (78 Ax.) pyr. AC-8 : pyr. a e-S :: SBs: S b3:: etc.

« en + nee nn Ce CR OP à > 0 AE, 2

PROP. XIII. THÉOR.

(1071) La surface d’une sphère est égale au produit de son diamètre par un de ses grands cercles.

Car, le demi-cercle ACF qui en tournant autour de son axe AF engendre (974) la sphère BG, peut être regardé comme un demi-polygoue régulier d'un nombre indéfini de côtés AB, BC, ete. et chacun de ces côtés en conséquence (665) indéfiniment petit. Ja droite DE peut dans ce cas Ôtre regardée (480) comme partie de l'arc générateur °: (667) le rayon ON comme rayon du cercle. Cela posé, on a vu (1044) que la surf. DG décrite par la partie DE du périmètre générateur et qui est celle d'un cône tronqué DG,

d’un cône EFG, ou d’un cylindre CR, est dans ciaque cas égale au produit du côté DE par la circonférence d'une section NV à distances égales des bases parallèles EG, DR; mais à cause des triangles semblables (323) DKE, NMO, on a DE: EK ou HI::ON:NM (4NV); d'où, HIXON=DEXNM.

Le mêrne raisonnement donnera pour surface latérale du cône EG-F le produit FHX cire. OL ou ON et pour surface latérale du cylindre CR on aura IP Xcire.OUÙ ou ON; la surface latérale d’une zone (975) quelconque CG est donc égale à (HI+IP)Xcirc. ON, celle d’une zone quelconque DFR n'ayant (979) qu’une base DR, égale à (FH+HDXcire. ON, et celle de la sphère entière égale à (FH+HI+IP-+-PA) Xcire. ON; c.-à-d. à FAX cire. ON.

(1072) Cor. Puisque la surface d’un grand cercle est égale (431) au produit de sa circonférence par le demi-rayon ou par le quart du diamètre, il suit que la surface d’une sphère est égale à quatre de ses grands cercles ; on à 47.ON* ou 4r.OA*,

(1073) Sco. L. La surface d’une zone est égale à sa hauteur multipliée par la circonférence d’un grand cercle de la sphère.

(1074) Sco. 2. Deux zones prises dans la même sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles comme leurs hauteurs, et toute zone est à la surface de la sphère comme la hauteur de la zone est au diamètre de la sphère.

2° Il est clair aussi, d’après ce qui a déjà été dit que les surfaces de deux sphères sont entre elles comme les carrés des rayons ou autres lignes homologues de ces sphères, et que les surfaces de deux zones semblables sont entre elles comme les carrés des rayons ou lignes homologues de ces zones ou des sphères dont ces zones font partie.

cuaque cas égale d'une section NV EG, DR; mais à NMO, on a DE:

XON=DEX NM.

rface latérale du N et pour surface rc. OU ou ON; la nque CGr est donc zone quelconque à (FH+HDX cire.