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autant de faces. Lo u polyèdre rite et cir-
est égale ayon de la
\ sont (972) 1omologues es inscrites
côtés des
lyèdre rég.,
arêtes du n autant de ones (1150) a de facrs; nême temps mesurent les composante les côtés ou ons Égaux ; de prouver
DU TÉTRAËDRE.
(1127) Pour construire le tétraèdre, on élèvera au point milieu P du triangle équilatéral ABC qui doit lui servir de face, une perpendiculaire indéfinie PS et du point À, avec un rayon AB, on intersectera la perpendiculaire en $, d'où l’on mènera SB, SC et la pyramide ABC-S sera le tétraèdre voulu; car, puisque PA—PB= PC, on a (901) SA=SB--SC et comme AS=AB-BC=AC, les quatre faces du solide seront des triangles égaux à ABC et tous les angles solides À, B, C, 8 scront aussi égaux, (935) étant formés chacun do trois angles plans égaux l’un À l’autre.
(1128) Trouver le centre commun (1123) O des sphères inscrite et circonscrite. À cet effet, dans le triangle APS, rectangle en P, on a l'hypoténuse AS, côté ou arête du tétraèdre et l'on obtient facilement AP=BP=CP, pour trouver la perpendiculaire SP et l'angle ASP ; or, le triangle AOS est isocèle, à cause de OA=OS ; d’où, l'angle SAC= ASO pour trouver OS, rayon de la sphère circonscrite, et par suite OP=SP—-O0S=rayon de la sptère inscrite.
N A (] (1129) Soit s la surface développée
du tétraèdre ; cette surface est égale à
4 ABC, et le volume du solide est égal B C à sa surface s multiplié par le tiers du
rayon de la sphèra inscrite=sxX4OP.
re mc Émrmreeenmiriqerrsagpninne
L'HEXAËDRE.
(1130) N'étant autre chose que Île | cube (949) et le cube un prisme droit, jh sa construction est facile (941) et ses faces composantes étant toutes des carrés égaux, ses angles solides sont égaux, étant formés chacun de trois angles droits.
I est clair (1006) que le rayon (à OA de la sphèr* circonscrite à l'hexaèdre rég. vaut la demi-diagonale AG du solide et qu’on peut trouver facilement le rayon OP de la sphère inscrite.
Comme on l’a déjà dit (992. REM.) on aura la surface s de HARRIersE AC et son volume=sx } OP=ACxX AE= AB*.
L'OCTAËDRE.
(1181) Dont la coupe a bcd est évidemment un carré et le rayon de la sphère circonscrite=O a=0 c=0 e=la demi-diagonale du carré bd, n’offrira dans sa construction aucune difficulté, et on obtiendra Op, rayon de la sphère inscrite, à l’aide du triangle O pe, rectangle en p et dans lequel on connaît l’hypoténuse Oe y ae )* et un côté pe=(902) p a=p b.
La surface s de l’octaèdre —8abe et son volume=sX # Op.
(11 de ot quan mn, nr, d il de mine deux les.
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M de la triang nUxX, aura
(11 o le Auto point sectid du ca extré des c l'opé
, surface s ACX AE=
F oténuse Oe
LE DODÉCAËDRE.
(1132) Pour coustruire ce solide ou pour en obtenir le volume, quand on en connaît le côté ab, mn, bn, ou la surface (679) db m, nr, d'un des plans composants ; il devient nécessaire de déterminer l’angle ptp formé par deux f À, f d de ses faces adjacentes. À cet effet, menez par la droite n s un plan n vs perdiculaire à l'intersection b m prolongée des faces mb, m h et intersectant en vn, vs, les plans prolongés de ces faces; nvs sera (878 et 882) l'angle requis et n vx la moitié de cet angle. Dans le triangle n v m, rectangle en v (882), on a l’hypoténuse m n et l'angle nmv=—
supplément de !mn, pour trouver nv, et dans le triangle
rectangle nxv on a nv et nz=kns, demi-diagonale du pentagone nr, pour trouver l'angle voulu nv x.
Maintenant, soit O le centre du polyèdre et O p le rayon de la sphère inscrite: pour trouver ce rayon, on a dans le triangle O pt, rectangle (977) en p, l'angle O {p=+}ptp= nvx, et le côté p{, rayon droit du polygone composant. On aura le volume=surface X 4 rayon=12nrX+4 0 p.
(1183) Construction. Soit encore O le centre du solide et o le centre d’un polygone composant, on aura O 0=0 p. Autour du centre o, décrivez dans un plan perpendiculaire à Oo, le polygone nr, égal au polygone demandé; par les points milieux w de ses côtés, menez des plans dont l'intersection commune soit O o et dans chacun de ces plans menez du centre O un rayon Op tel que l’angle 00 p—pOp. Les extrémités p de ces rayons seront (902) les centres respectifs des cinq autres polygones du demi-dodécaèdre. On répétera l'opération à l'extrémité opposé o du diamètre 00, faisant
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attention seulement de disposer le polygone opposé à nr de manière que le rayon droit de l’un corresponde au rayon oblique de l’autre.
D'ailleurs, on construirait aussi le dodécaèdre, en décrivant d’abord douze polygones égaux entre eux et au polygone voulu, et en disposant ensuite ces faces de manière à former entre elles des angles chacun égal à ptp.
De plus, il suffit de faire attention que les sommets de tous (vingt) les angles solides du polyèdre sont situés, deux à deux, sur dix plans passant par le diamètre o o et formant J’un avec l’autre un angle=:5 quatre angles droits, et que l’on obtient facilement les angles au centre oO s, 00h, 00 9, pou» s’apercevoir de suite comment on établirait sur la suilece d’une sphère donnée les points nécessaires à la construction du solide.
L'ICOSAËDRE.
(1134) Il suffit de ce qu’on vient de dire relativement: À la construction du dodécaèdre, pour faire comprendre de suite celle du solide dont il s’agit ici. Soit n le sommet d'un des angles solides du polyèdre, ae la’ diagonale du pentagone régulier a g h ef formé par les côtés des plans composants de cet angle, et soitave un plan mené par la droite ae perpendiculairement à l'intersection fn des faces adjacentes afn, efn du solide. Il est clair que le plan ave intersectera
sé à nr de au rayon
| ie a
les chacun
ommets de itués, deux et formant its, et que oO h, 0 0 4; rait sur la saires à la
à droite ae s adjacentes
intersectera
le côté fn au point milieu v de ce côté, et on aura alors dans le triangle isocèle ave, la base ae et les autres côtés, a v, e v, chacun égal au rayon droit du triangle équilatéral composant du solide, pour trouver l'angle d'inclinaison ave des faces adjacentes, et par suite, dans le triangle O p t rectangle en p, le rayon O p de la sphère inscrite.
La surface S de l’icosaèdre —20 gjhn, et son volume=S X40 p. (?)
(1185) Dans ce polyèdre et # le dernier, on trouve au besoin le rayon Or ou Ok de la sphère circonscrite, à l’aide du traingle Opr, O ph, dans lequel on a l'angle droit Opr ou Op, le côté O p, rayon de la sphère inscrite, et le côté pr ou p h, rayon oblique du polygone composant hr ou ehn.
