DES POLYÈDRES RÉGULIERS

(1118) Un polyèdre régulier est un solide dont toutes les faces sont des polygones réguliers et égaux, et dont les angles solides sont en conséquence (935, 938 Cor.) tous égaux entre eux. Il y a cinq polyèdres de cette espèce.

(1119) En premier lieu. Si les faces composantes du solide sont des triangles équilatéraux, on pourra en former des polyèdres dont les angles solides seront contenus par trois de ces triangles, par quatre, ou par cinq: de là, il résulte trois corps réguliers, le trièdre, l’octaèdre et l’icosaèdre. L'on ne peut en former aucun autre avec des triangles équilatéraux ; car six angles d’un triangle équilatéral valent quatre angles droits et ne peuvent (981) former un angle solide.

(1120) En second lieu. Si les faces sont des carrés, leurs angles pourront se disposer trois à trois; d’où il résulte l’hexaèdre ou cube (949). Quatre angles d’un carré font quatre angles droits et ne peuvent former un angle solide.

(1121) En troisième lieu. Si les faces sont des pentagones réguliers, leurs angles pourront s'adapter trois à trois, et il eu résultera le dodécaèdre régulier.

On no saurait aller au-delà, trois angles d’un hexagone régulier étant égaux à quatre angles droits et les trois d'an heptagone, plus grand.

(1122) Donc, il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers, trois formés par des triangles équilatéraux, un par des carrés et un avec des pentagones.

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(1123) Tout polyèdre régulier peut se diviser en autant de pyramides régulières (959) que le polyèdre a de faces. Lo sommet commun de ces pyramides est le centre du polyèdre et en même temps (1087) celui des sphères inscrite et circonscrite.

(1124) La solidité d'un polyèdre régulier est égale (1087) à sa surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite.

(1125) Deux polyèdres réguliers de même nom sont (972) deux solides semblables et leurs dimensions homologues sont proportionnelles : de là, les rayons des sphères inscrites ou circonscrites sont entre eux comme les côtés des polyèdres,

(1126) Si l'on inscrit dans une sphère, un polyèdre rés. les plans menés par le centre et les côtés ou arêtes du polyèdre, diviseront la surface de la sphère en autant de parties ou de figures (triangles (1148) ou polygones (1150) sphèriques) semblables et égales, que le polyèdre a de faces; car, les côtés égaux des faces composantes sont en même temps les cordes des arcs de grands cercles (983) qui mesurent les angles plans contenants de chaque pyramide composante du polyèdre, et ces ares sont égaux puisque les côtés ou cordes qui les sous-tendent sont égaux et les rayons égaux; ce qui permet de comparer par superposition et de prouver l'égalité des surfaces sphériques dont il s'agit.

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