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ennemi

constituent les côtés ; car la tangente A AD menée dans le plan OAC du côté D ou de l'arc AC est (466 et Dém. de 977) perpendiculaire au rayon AO de la sphère, et la tangente AE dans le plan OAB du côté AB est perpendicu- | laire au même rayon AO, intersection al commune des grands cercles ABF, .

ACF, dont les côtés de l’angle sphéri- L que font partie ; or l'angle DAE mesure (878) l’inclinaison des plans des deux ares et cet angle est par la déf. (1146) celui de ces arcs.

(1148) Céf. Un triangle sphérique est une partie ABC de la surface d’une sphère terminée par trois arcs AB, AC, BC, de grands cercles. Ces arcs sont les côtés du triangle, chacun d’eux étant moindre qu'une demi-circonférence ; et les angles À, B, OC, que forment entre eux les plans AOB, AOC AOB, BOC AOC, BOC de ces côtés, sont ed les angles du triangle.

(1149) Déf. Un triangle sphérique, comme un triangle rectiligne, est appelé rectangle, quand un de ses angles est droit ; isocèle, quand deux de ses côtés sont égaux ; équilatéral, quand tous ses côtés sont égaux, ou équiangle, quand tous ses angles sont égaux.

(1150) Déf. Un polygone sphéri- B que ABCDE est une partie de la surface d’une sphère terminée par plusieurs arcs de grands ce“cles, et peut évidemment se décomposer en autant de triangles sphériques ABE, EBC, ete. que le polygone a de ÿ côtes moins deux. 0.

(1151) Déf. Une pyramide sphérique est (1076) une partie ADB-O de la sphère solide comprise entre les plans

AOB.

est at polye pyrar ques sphér (1] cercl aebs C ou ment À, E, confé est cl que ce mité dont tout « cercle a b pe (UE etc.

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e ABC B, AC, riangle, nce ; et s AOB, t (1146)

triangle igles est

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)76) une les plans

AOB, BOC, etc. d'un angle solide (891 Déf.) dont io sommet est au centre O de la sphère. La base de la pyramide est le polvgone sphérique AD.

2° Il est clair que les plans BOE, COE décomposent la pyramide sphérique polygone en autant de pyramides sphériques triangulaires, et la base AD en autant de triangles sphériques, que cette base contient de côtés moins deux.

(1152) Déf. Le pôle d’un cercle, grand AEB ou petit a eb de la sphère est un point C ou D dans sa surface, également éloigné de tous les points A,E,ete. a,e, ete. de la circonférence de ce cerle; car il est clair (Dém. de 901 et 902) que ce point est situé à l’extrémité du diamètre CD perpendiculaire au plan du cercle dont il s’agit, et comme tout diamètre à deux extrémités, tout cercle de la sphère a deux pôles.

2° Il est de plus évident, (986) que le pôle d’un grand cercle AB est en même temps celui de tout petit cercle a b parallèle au grand.

(1153) Cor. L Puisque les distances ou cordes AC, EC etc ac,ec, ete. sont égales, les arcs AC, EC, etc. ac, ec, etc. que sous-tendent ces cordes sont (403) égaux, et quand (882) les angles AOC, EOC sont droits, leur sommet commun © étant en même temps le centre commun des arcs égaux AC, EC, il est clair que ces arcs sont des quart-de-circonférences, comme le sont aussi les arcs AD, ED, etc. Donc, tout arc EC de grand cercle mené d’un point quelconque E sur la circonférence d’un autre grand cercle, au pôle C ou D de ce dernier, est un quartde-cire.; et ce quart-de-circ. fait en même temps un angle droit avec le grand cercle ou arc AE, car la droite CD étant perpendiculaire (1152) au plan AEB, tout plan

CED passant par CD est (924) perpendiculaire au plan

ABB ; donc l'angle de ces plans, c’est-à-dire l'angle AEC est un angle droit.

(1154) Cor. 2. Réciproquement, si la distance du point C aux points A, E, est égale à un quart-de-cirg., le point C sera le pôle de l’arc AE et les angles CAE, CEA seront des angles droits ; car les angles droits AOC, EOC donnent OC perpendiculaire à AO, EO, et par conséquent (895) perpendiculaire au plan ABE de ces lignes. Donc le point C est le pôle de l’arc AE et les angles en À et E son droits.

(1155) Sco. L PROBS. Les propriétés de ces pôles nous permettent de décrire des arcs de cercles sur la surface d’une sphère, avec la même facilité que sur une surface plane. Il est clair, par exemple, qu’en faisant tourner autour du point CO, un arc C e ou toute autre ligne s'étendant à la même distance, l'extrémité e décrira le petit cercle aeb; et en tournant le quart-de-circ. C e E autour du point C, son extrémité À décrira l’arc de grand cercle AEB.

(1156) Sco. 2. PROB. Pour trouver le pôle C ou D d’un grand cercle AB, on mènera, prenant pour centre un point quelconque P sur la circonférence de AB et pour rayon un arc — quart-de-cire., un arc indéfini EC ou ED qui sera (1153) perpendiculaire à AËEB et on prendra EC, ou ED, égal à un quart-de-circ.

2° Autrement. On déterminera le pôle d’un grand cercle AB à l'endroit C ou D de l’intersection de deux arcs AC, EC ou AD, ED perpendiculaires au premier.

(1157) Sco. 3. PROBS. Si l'on demandait à prolonger un arc AE, de grand cercle, les seules données étant les deux points de trajet A, E ; il y aurait à déterminer d’abord le pôle C ou D de cet arc à l'endroit de l'intersection de deux arcs décrits des poiats À, E, comme centres, avec une dis-

tance de « qu'au (1 surfa arc d avec ou 80 pôle a (IL!

cercl O de et on (1152, 2° le tria

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and cercle arcs AC,

tance égale à un quart-de-circ. Le pôle trouvé, on décrirait de ce point pris pour centre, et avec la même distance qu'auparavant, l'arc AE et son prolongement.

(1158) Sco. 4. PROB. D'un point quelconque € sur la surface d’une sphère, mener une perpendiculaire à un arc donné AE de grand cercle. Du point e comme pôle, avec un rayon—quart-de-circ., intersectez l’arce donné AE ou son prolongement (1157) en un point P. Ce point sera le pôle d’où on décrira un arc e E perpendiculaire à l’arc donné.

(1159) Sco. 5. PROB. Déterminer le pôle d’un petit cercle a b de la sphère. A cet effet on mènera par le centre O de la sphère, un plan AB parallèle à celui du petit cercle et on établira (1156) le pôle du petit cercle à l'endroit (1152, 2°) de celui du grand.

2° Si le rayon 0e du petit cercle est connu, on a dans le triangle Ooe, rectangle en 0, le côté oe et l’hypotéause-O e, rayon de la sphère, pour trouver l'angle eOo oueoC et par conséquent l’arc eC, et des points quelconques 4, e, comme centres, avec un rayon=e C, on décrira des arcs qui s'intersecteront en OC, le pôle voulu.

3° Si on a la distance O o du plan du petit cercle ab au centre de la sphère, on aura o C—OC—0 0 et o D—OD +0 0, pour trouver oe ou oa—(580, 2°) vo DXoC, et par suite, l'arc e C mesure de l’angle e OC.

(1160) Cor. 8. Puisque l’angle sphérique C est égal (Dém. de 1147) à l'angle formé par deux droites menées d’un même point, l’une dans chacun des plans des côtés et toutes deux perpendiculaires à la commune intersection de ces plans, et puisque les droites AO, EO sont (1154) perpendiculaires à CO quand les arcs AC, EC valent chacun un quart-de-cire. ; il. suit que l'angle AOË mesure aussi l’angle sphérique C ; maïs la mesure de l'angle AOE est (425) l'arc AE décrit du centre ou sommet O, c’est-à-dire (1152) l’arc de grand cercle, AE, décrit du sommet C de l'angle; donc la mesure d’un angle sphérique quelconque a C 2 est l’arc

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AE de grand cercle décrit du sommet de l’angle comme centre, et terminé par les côtés a C, eC de l’angle, prolongés s’il le faut.

(1161) Cor. 4. On peut comparer ensemble les angles de triangles sphériques, au moyen des arcs de grands cercles décrits de leurs sommets, comme pôles, et compris entre leurs côtés; de là il est facile de faire un angle de cette sorte qui soit égal à un angle donné.

On pourrait aussi dans la comparaison de res angles se servir indifféremment d’arcs de petits cercles décrits avec un même (425, 2°) rayon quelcouque, si ce n’était que les relations intimes qui existent, comme on le fera voir par la suite, entre les côtés et les angles d’un triangle sphérique, c.-à-d. entre les angles que mesurent ces côtés ou arcs et les angles que forment entre eux les plans de ces côtés, rendent avantageux et nécessaire de n’employer que des arcs d’un même rayon que celui des côtés, c.-à-d. d’un rayon égal à celui de la sphère sur laquelle on opère.

(1162) Cor. 5. Lies angles opposés au sommet tels que AEC, DEB sont égaux, car chacun de ces angles est celui des plans AEB, CED de la dernière figure.

(1163) Cor. 6. Il est de plus évident que dans l'intersection de deux arcs AEB, CED, les deux angles adjacents ARC, AED, ou AEC, BEC, valent ensemblent deux angles droits, c.-à-d., sont supplémentaires l’un de l’autre.

PROPOSITION I. THÉORÈME

(1164) Dans tout triangle sphérique ABC, l’un quelconque des côtés est moindre que la somme des deux autres.

Car, les an, l'angle côtés c sphériq plans « (930) n chacun des der

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Il est que l’ar sa long tout po Aet B à cause boO d étant p de l’un ob. M:

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Car, O étant le centre de la sphère, les angles plans AOB, AOC, BOC de l'angle solide O ont pour mesure Îles côtés ou arcs AB, AC, BC du triangle Be sphérique ; maïs chacun des trois angles ee plans composants d’un angle solide est s (9380) moindre que la somme des deux autres ; de là aussi, chacun des côtés du triangle est moindre que la somme des deux autres.

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