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PROP. II. THÉOR.

(1165) Tout arc ADB de grand cercle, moindre qu’une demi-circonférence, est moindre qu’un arc quelconque ACB de petit cercle sous-tendu par la même corde AB.

Il est clair, tout d’abord (228) que l’arc ACB enveloppe dans toute sa longueur l'arc ADB, puisque tout point d du premier autre. que À et B est en dehoïs de l’arc ADB, à cause de O > OB (269), l’angle boO du triangle de même nom étant plus grand que l’angle B o O du triangle OB 0 et les côtés de l’un égaux à ceux de l’autre, savoir O o commun et o B— ob. Maintenant soit « b tangente à l’arc ADB, on aura (108) a b<a Cb ; soit encore A e, c d, etc. tangentes à ADB, on aura ae<A a+a e, c d<c b+b d et ainsi desuite. Donc l'arc ADB est moindre (Dém. de 661) que le polygone circonscrit Aec dB et à plus forte raison moindre que l’arc ACB.

(1166) Cor. Le plus court chemin d’un point À à un autre B sur la surface d’une sphère, est l'arc ADB de grand cercle qui joint les deux points donnés.

Car, la sphère est telle (Dém. de 977) qu’une ligne droite ne peut la toucher qu’en un seul point; d’où, il est clair que

pour parvenir d'un point à un autre sur la surface de ce corps, il faut nécessairement décrire une courbe qui sera ou un arc de grand cercle, ou un are de petit cercle, ou qui pourra se décomposer en arcs de grands ou de petits cercles ou les deux. Or, on vient de voir que tout arc de grand cercle est moindre qu’un arc de petit cercle reliant les mêmes points ; donc, il est plus court d'aller A d'un point à un autre en parcourant des arcs de grands cercles qu’en passant par Cè.

des arcs de petits cercles. Mais on a démontré (1164) que l’arce AB<AC+CB et CB< CD+DB ; à plus forte raison donc AB est i1LAC+CD+DB ; donc un seul et même arc de grand cercle, reliant deux points, est moindre que deux ou un plus grand nombre d’arcs partiels non situés dans un même plan; donc le plus courttrajet entre les points donués est l’arc d'un seul et même grand cercle; donc, etc.

PROP. III. THÉOR.

(1167) La somme des trois côtés d’un triangle sphérique, est moindre que la circonférence d’un grand cerlcle.

Car, la somme des angles plans AOB, É

ACC, BOC de l’angle solide au centre O RU de la sphère est (931) moindre que quatre “0

angles droits; or un angle droit a pour mesure un quart de-circ. ; donc la somme des arcs AB, AC, BC, qui mesurent les angles composants est moindre que quatre quart-de-circ. c.-à-d. moindre qu’une circonférence entière.

(1168) D'ailleurs, ayant prolongé c jusqu’à leur rencontre en D deux quelconques AB, AC des côtés du triangle, les arcs ABD, ACD seront snsgairinnesgneens des demi-circonférences, puisque À 2

(984) ment dre < AB+ férenc

(116 les cô ABCI confé:

prolor qu'à 1 côtés ] contre un tri aux CÔ BK et FGH.

cercle

droits, du pol

e de ce sera ou , OU qui s cercles le grand liant les

ndre que on situés les points onc, etc.

t-de-circ.

(984) deux grands cercles se bissectent toujours mutellement; mais on a (1164) BC, côté du triangle DBC, moindre que BD+CD, somme des deux autres côtés; d’où, AB+AC+BC<ABD+ACD, c.-à-d. moindre qu'une circonférence entière.

(1169) Cor. La somme de tous les côtés d’un polygone sphérique, ABCDEF, est moindre que la circonférence d’un grand cercle; car, prolongeant les côtés CB, FA, jusqu’à leur rencontre en K, puis, les côtés DC, AF, FF, jusqu’à Jeur rencontre en G et H, on obtient enfin un triangle FGH dans lequel on a AF, FE, CD communs aux côtés FG, FH et GI, et on a DE<DH+EH, AB<AK+ BK et CK<CG+KG; or, la somme des côtés du triangle FGIH. est, par la prop., moindre qu’une circonférence de cercle ; à plus forte raison donc la somme des côtés du polygone est-elle moindre qu’une circonférence entière.

(1170) D'ailleurs, on a encore (931) la somme des angles en O, centre supposé de la sphère, moindre que 4 angles droits, et par conséquent la somme des côtés AB, BC, etc., du polygone, moindre qu’une circonférence de grand cercle.

PROP. IV. THÉOR.

(171) Si des sommets A, B, C, des trois angles d’un triangle sphérique ABC, pris pour pôles, on décrit trois arcs EF, DF, DE, de grands cercles ; formant ainsi un second triangle EDF ; les sommets des angles de ce second triangle seront respectivement les pôles des côtés du premier ; et chaque angle A, D, de l’un des triangles, aura pour mesure une demi-circonférence moins le côté EF, BC qui lui est opposé dans l’autre

triangle. En d’autres termes, les deux triangles ABC, EDF sont tels que les côtés de l’un sont les suppléments des arcs qui mesurent les angles de l’autre.

En premier lieu. Puisque A est le pôle de l’arc EF, la distance ou l'arc AE est un quart-de-circ. ; le point C, pôle de ED, donne aussi EC=quart-de-cire.; donc le point E est éloigné d’un quartde-cire. de chacun des points À, C; donc E est (1154) le pôle de l'arc AC. On démontrerait de même que D est le pôle de l’arc BC, et F le pôle de l’are AB.

(1172) Cor. Donc on peut, à l’aide du triangle DEF, décrire le triangle ABC, comme on a décrit DEF à l’aide de ABC. De là, on donne à ces triangles le nom de polaires ou supplémentaires.

(1173) En Second lieu, ayant prolongé s’il le faut les côtés AB, etc. du triangle ABC, jusqu’à ce qu’ils rencontrent en G, K, etc., les côtés de l’autre triangle, l’are GIX dont le pôle est À sera (1160) la mesure de l’angle A. Mais l'arc EH est un quart-de-circ. et il en est de même de l'arc GF, puisque E est le pôle de AIT et F le pôle de AG; donc EH+ GF vaut une demi-cire. Or, EH+GF est la même chose que EF+GH ; d'où, l'arc GH qui mesure l’angle A vaut une demi-circ. moins le côté EF. De même, l'angle Ba pour mesure + circ.—DF'; et l'angle C, 4 cire.—DE.

Et cette propriété est réciproque aux deux triangles, puisque chacun d’eux est décrit de la même manière à l’aide de l'autre ; c'est ainsi que l’on aura respectivement pour mesure des angles D, E, F, £cire.—BC, + cire.—AC, &cire.—AB. L'angle D, par exemple, aura donc pour mesure l'arc M]; mais MI+BC—MC+BI-t cire. ; de là, l'arc MI, mesure de D, vaut 4 circ.—BC, et ainsi des autres.

(117 même ment respec

Eu BC, B.

tenden angles BOD' on & v

plans c sont res les plar eux, et plans, s donc, 1 donc, et

(1175 triangles où les c logues angles C sens ; la la supe côtés éo superpos

Dans 1 seulemer symétri

(1176) sommet

CO, EDF

des arcs

le de l'arc

gle DEF, F à l’aide > nom de

le faut les encontrent I dont le Mais l'arc b l'arc GF, lonc EH+ ême chose ole À vaut ‘angle B a IH.

gles, puisà l’aide de pur mesure cire.—AB.

l'arc MI; mesure de

SPHÉRIQUE. 443 PROP. V. THÉOR.

(1174) Si les côtés de deux triangles ABC, ABD, sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont respectivement égaux; les angles de ces triangles seront aussi respectivement égaux et opposés aux côtés égaux.

Eu effet, les ares égaux AC, AD’ BC, BD' et l'arc commun AB soustendent en O, centre de la sphère, les angles égaux AOC, AOD' BOC, BOD' et l'angle commun AOB; et on à vu (933) que quand jies angles plans composants de deux angles solides sont respectivement égaux l’un à l’autre, les plans des angles égaux sont également inclinés entre eux, et ces inclinaisons, c.-à-d. les angles formés par ces plans, sont (1148) les angles des triangles dont il s’agit ; donc, l'angle D'=C, l'angle BAC=BAD' et ABC=ABD'; donc, etc.

(175) Sco. 1 L'égalité de ces triangles n’est absolue que dans le cas où les côtés correspondants ou homologues AC,AD BC, BD ou les angles C, D, sont tournés dans le même C!

sens ; la construction admettant alors | “ la superposition des angles et des côtés égaux, l’un à l’autre, c.-à-d. la B superposition des triangles eux-mêmes.

Dans le cas contraire (986) l'égalité en est une de symétrie seulement et on donnera à ces triangles le nom de triangles symétriques.

(1176) Sco. 2. PROB. Il suffit de remarquer que le sommet D, D', du triangle sphérique ABD, ABD', égal ou