SOLUTION DES TRIANGLES RECTILIGNES
(1302) Le problème général que la trigonométrie «e pro
pose de résoudre, est : Dans tout triangle reciiigne, etant donnés trois, d’entre les trois côtés et les trois angles, et l’une des trois parties données étant (1206) un côté ; trouver l’une, quelconque, des trois autres parties.
(1303; Les données sont censées être représentées par leurs valeurs numériques; savoir: les angles en dégrés, minutes et secondes, et les côtés en pieds ou tout autre mesure connue,
(1804) La restriction du problème, aux cas où on connaît au moins un côté du triangle à résoudre, est due à ce que les angles seuls ne suffisent pas pour déterminer les dimensions des côtés ; car il peut exister un nombre indéfini de triangles, dont les angles de l’un soient respectivement égaux à ceux de tous les autres, sans que les côtés de l’un ne soient égaux à ceux d'aucun autre ; quoique cependant, les
. rapports des côtés aux angles soient (520) égaux dans tous.
Done, si l’on ne conuaît que les trois angles d’un triangle, on ne saurait en déterminer autre chose que les rapports entre les côtés ; ces rapports étant (1285) égaux aux rapports qui existent entre les sinus des angles opposés. On trouverait encore les rapports entre les trois côtés d’un triangle, dont on ne connaîtrait que les angles, en supposant, comme on l'a fait au paragraphe (674), à l’un des côtés, une valeur numérique quelconque, pour en déterminer ensuite, par calcul trigonométrique, la valeur correspondante ou proportionnelle des deux autres côtés.
(1305) On a déjà fait remarquer (1264) que dans le but d'abréger les calculs nécessaires pour déterminer les parties inconnues d’un triangle, on se sert des logarithmes des parties, au lieu de se servir des parties elles-mêmes ou de de leurs représentants numériques.
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D'ailleurs, l'étudiant se servira, à volonté, des logarithmes des côtés d’un triangle et de ceux des sinus, etc, des angles de ce triangle; ou des valeurs numériques mêmes, de ces côtés et des sinus, etc., de ces angles, c’est-à-dire, des sinus, etc., naturels, de ces angles ; suivant qu'il le jugora convenable, eu égard à la nature de l'opération à faire; car l'usage, et même la connaissance des logarithmes, n'est aucunement essentielle à la trigonométrie.
(1306) Pour la commodité du calcul, il est d'habitude de diviser le problème général qu'on vient d'énoncer (1296) en deux problèmes, suivaut que dans le triangle à résoudre il y a, ou non, un angle droit.
(1307) Dans un triangle rectangle quelconque ARC,
étant donnés, outre l'angle droit, deux quelconques d’en- :
tre les trois côtés et les trois angles, et l’un de ces deux étant un côté; trouver le reste.
Il est évident, tout d’abord, que quand on connaît l’un des angles aigus d’un triangle rectangle, on connaît aussi l’autre, puisque ces angles sont (1212, 2°) compléments, l’un de l’autre. Il est de plus évident (1224) que le sinus, la tangente ou la sécante, de l’un quelconque des deux angles aigus, est le cosinus, la cotangente ou la cosécante de l’autre.
Ce problème admet plusieurs cas, suivant la nature des données; et les solutions, règles ou formules, lesquelles dépendent toutes dee conclusions déjà établies, aux paragraphes (1225 à 1231), peuvent avantageusement se disposer en
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forme de table; où, la première colonne contiendra Îles choses données; la seconde, les choses requises ; et la troisième, les règles ou propositions servant à les trouver.
DONNÉS. | REQUIS. SOLUTION. n°
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*IBC et B,c.|AC, c-à-d.| R: sin. B :: BC : AC = K il ” mehr l'hy-Île côté op- 8o à @|poténuse et|posé, : ; DU, __ BC * tang.
à l'un He hs PP ou Séc. B: tang. B:: BU + AC = "8 | 2 * |gles aigus.
AB, eàd) R:c0s. B:: BC : AB me 3 ie côté ad- BC x BR Jacent. ou Séc. B : R:: BC : AB= M D rte 4 | AB et B, LAC, cd) Ritang. B::AB 4 AC = AB *tang. B .lc-a-dire, un/l’autre , st rai @ |côté et l’un côté. :
&| des angles ou Cos. B : sin. B:: AB: Ac= AB * sin. B 6 @ aigus. cos. B @ ë BC, cdd) Cos.B:R::AB:BO=ABX R |, . l'hypoté- cos. B M (ou R : séc. B:: AB: pÜs 2 md 2 ER 8 a et AB,C, c-à-d. * ai ABxR geèd l'hy- angle aigu BC: AB::R: sin. C— 1: à Étui Cat a 9 @ |poténuse etloppose.
Euncôté. |Ac,cad,| R: cos. C::BO: A0= OX 080 10 ps l’autre È ee ou Tang. C:R::AB: AC= RG ASS AE 11 ou AC=4Y8c? AB? = (871) (BC + AB) x 12
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(1308) Rem. Dans le dernier cas (16) où BC=V AB°+AC?, on ne peut, comme dans la formule 12, séparer AB*+AC* en deux multiplicateurs linéaires, pour opérer immédiatement par logarithmes ; au contraire, il est clair, qu’il faut dans ce cas, carrer AB et AC, et chercher ensuite le logarithme de la somme de ces carrés, dont la moitié sera le logarithme de BC, le côté voulu ; ou l'on procédera d’abord à trouver la tangente de B (formule 13) pour obtenir ensuite BC par la formule 15; ou encore, sans chercher l'angle B. on prendra dans la table le cosinus correspondant à tang. B, pour trouver BC par la formule 14.
(1309) Quant au choix à faire des formules à employer, lorsqu'il y a plus d’une manière d'obtenir la chose requise, et que les conditions sont d’ailleurs égales, c’est-à-dire, que les angles sur lesquels on opère ne sont ni trop petits ni trop grands ; on verra de suite que toute expression dans laquelle le rayon (R) entre, soit comme multiplicateur, soit comme diviseur, présente nécessairement moins de travail dans le calcul; puisque quand on procède par nombres naturels, la multiplication ou division par 1, n’altère en rien la valeur des quantités sur lesquelles on opère, et que quand on procède par logarithmes, l'addition ou la soustraction de 10 (log. de R) est plus expéditive que celle d’une caractéristique suivie d’une partie fractionnaire ; sans compter que dans les deux cas, il y a un nombre naturel de moins ou un logarithme de moins à chercher dans les tables. Sous ce rapport donc, on préférera les formules 1, 5 et 8 aux formules 2, 6 et 7.
2° Mais en :° rappelant ce qui a été dit aux paragraphes (1300) et (1801), on verra que dans certains cas, le choix des formules reposera, sur des considérations bien autrement importantes ; ainsi, dans le cas où l’angle B serait presque égal à un angle droit, il est avantageux d'éviter l'emploi ües formules 2, 4, 5, 8, 15, dans lesqueiles entrent la tangente où la sécante.
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(1310) Enfiv, quand on ne pourra arriver directement, on par une seule opération, à déterminer un angle on un côté voulu, sans éviter l'usage de lignes trigonométriques dont l'emploi n'offrirait pas les garanties nécessaires à une exactitude suffisante dans le résultat qu'on se propose, on réussira, néanmoins, le plus souvent, par une opération moins directe, ou par une suite d'opérations, à obtenir correctement la chose désirée.
1° Si l'angle C, par exemple, B du triangle rectangle ABC, Cr ent n’était que de 9’ et l'angle B, par conséquent, de 90° — 9/ == 89° 51’ et si lo côté AC était donné pour trouver l’hypoténuse BC; au lieu de faire la proportion (8) R : séc. C :: AC : BC ou (7) cos. C: R:: AC: BC, formules qui, avec les tables à 5 décimales, ne donnent absolument aucune différence entre le rayon et la sécante, ou entre le cosinus et le rayon, et par conséquent, aucune différence entre le côté donné et l’hypoténuse cherchée, et qui même, avec des tables à 7 décimales, ne donneraient pas l'exactitude nécessaire; on procéderait d’abord À trouver AB par la formule 5, R:tang. C:: AC: AB; puis on ferait sin. C:R:: AB : BC; et si l'angle C contenait des secondes, on employerait de préférence (1800) les sinus, etc., naturels.
2° $i l'hypoténuse BC était donnée pour trouver AC, on ferait les proportions R: sin. C:: BC : AB, puis tang. C:R::
AB: AC, avec le même avantage dans l'emploi des lignes naturelles au lieu des logarithmiques, dans lo cas où l'angle C contiendrait des secondes.
3° Si l'angle B était donné, lequel est de près de 90°, il est clair qu’on n’aurait qu'à lui substituer son complément C pour éviter l'usage de la tangente trop indéfinie AC.
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